建立空间直角坐标系,解立体几何题

1、建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、 求两异面直线的夹角、 求二面角、 证明平行关系和垂直关系等.常用公式:1、2、求线段的长度： AB =卜B=x-22-2 标系 B-xyz ,由 CM=BN=a M(a , 0, 1 - a ),N ( a , a , 0) 2222 + y2 +z2 = J(x2 -x1 f +(y2 -y1 )2 +(z2 -4 2cz |PM n|-求P点到平面a的距离：PN =- , （N为垂足，M为斜足，n为平面a的法向量）|n|一 ,|PM n|3、求直线l与平面a所成的角：1sin9

2、 |= , （ PM u l , M Wa , 3为a的法向量）|PM| |n| AB CD|4、求两异面直线 AB与CD的夹角：COs =|AB| |CD|Q 门215、求二面角的平面角 日：七。«|=一h, （ n1 , n2为二面角的两个面的法向量）| R | | 必 |S寸影6、求二面角的平面角 日：COS0 =,（射影面积法）S7、求法向量：找；求：设 a,b为平面a内的任意两个向量，门=（乂,丫,1）为U的法向量,a n = 0则由方程组1- -，可求得法向量n.b n = 0高中新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行、垂直、 角、距离等问题

3、避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行 定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角 坐标系。一、直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. （2002年全国高考题）如图，正方形ABCD ABEF勺边长都是1,而且平面ABCDABEF互相垂直。点 M在AC上移动，点N在BF上移动，若 CM=BN=a0<a<J2）。（1）求MN勺长；（2）当a为何值时，MN勺长最小；（3）当MNR小时，求面MN/Af面MN所成二面角a的大小。解：（1）以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC为

4、x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐2MNa 一产('和/'2 2(a - 2)1 , + (0<a<v2)2(2)由(1) MN=8 2)21,22所以，当a二，时, 2MN一五.，min 2(3)取MN勺中点 所以AP,MNMN勺长最小时即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN勺长最小，最小值为P,连结 AP、BP,因为 AM=AN BM=BN BP,MN /APB即为二面角a的平面角, M(： 0,!),N (2，:，。)22220, 0)由中点坐标公式P(1 ,-2411),又 A (1, 0, 0), B 44)PB二(PA PB cos / APB=4

5、1616PA PB面MNAf面MNB5T成二面角a的大小为兀-arccos例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD1边长为4的正方形, 的中点，GCL面ABCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。E、F分另1J是AB、AD解：建立如图所示的空间直角坐标系 由题意 C (0, 0, 0), G (0, 0, 2),C-xyz,E (2, 4, 0), F (4, 2, 0),B (0, 4, 0)GE = (2, 4,-2), GF = (4, 2,设平面EFG的法向量为n= (x, y, z)12x 4y-2z=0得 4x+2y-2z=0 ,令 z=1,得 x=1 , y=1 33-2

6、) , BE = (2, 0, 0)AEBgc在n方向上的射影的长度为例3. （2000年二省一市高考题）在直三棱柱 ABC- A1B1G中CA=CB=,1 /BCA=90,棱 A A1=2, M、N分别是 A1B1、A A 的中点。 ,11即 n =（1，1）, 33解：建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,则C（0, 0, 0）, B（0, 1, 0）, N(1)求 BN 的长；(2) 求 cos< BA,CB1 a ; (3)求证：AB，GM(1)求 cos <BE,DE A;0),a h、一,-)22=-1 X -+1X - +(-2) X0=022A 1B±

7、 GM、利用图形中的对称关系建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系 来解题。例4. （2001年二省一市高考题）如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABC面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz,其中Ox/ BC, Oy/ AB, E为VC的中点，高OV为h 。（2）记面BCV为a ,面DVC为B ,若/ BE皿二面角a -VC-B的平面角，求/ BED。 解：(1)由题意B (a, a,aD (-a, -a, 0), E (-, 2. BE= (- 3a 2a

8、3aDE 二(;，V 22cos :二 BE, DE .a，h)，22h)2BE DEBE DE3ai 2 33a2 h245a2 h224445a2h2124_22-6a h22i0 a h(2) v V (0, 0, h), C (-a , a, 0) - VC = (a , a, - h )又 /BE皿二面角a-VC-B的平面角. BE ±VC , DE±VC 3a2即 BE - VC =3a-2h2=a2-2=0,22 h2 a =2-2,26ahi代入 cos : BE, DE =2=-但是有两个互相垂直的平面，我们可一点的三条直线， 建立空间直角坐标系。例5.(

9、1)(2) 解：(2000年全国高考题)如图，正三棱柱ABC-AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为v 2 a 建立适当的坐标系，并写出 A、B、Ai、C的坐标；求ACi与侧面AB BAi所成的角 (1)如图，以点A为坐标原点，0以AB所在直线为y轴，以AA所在直线为z轴，以经过原点且与ABBAi垂直的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系0i0 ah3由已知得：A (0, 0, 0), B (0, a,0), A (0, 0, V2a), C (-虫 a, - , V2 a)22(2)取AB的中点 M 于是有M (0,-,&a),连AM、MC有2一：./3MC1 = (- a , 0

10、, 0),且 AB = (0, a, 0), AA1 = (0, 0, 42 a) 2由于 MGi - AB =0, MGi - AA =0,故 MG，平面 AB BAi。 A Gi与AM所成的角就是AG与侧面AB BiAi所成的角。33a / 一AC1 = (- a , , J2 a), AM = (0,二ACi -2 2AM =0+2a = 44ACi彳丁2a2应，AM2acos : AC1, AM =2 _ 3a 29a2V =13、3a 3 a 22a -,J2 a)2AC1与AM所成的角，即AG与侧面AB BA所成的角为30°。例6. （2002年上海高考题）如图，三棱柱O

11、AB-OAB,平面OBBOL平面OAB / OOB=60, /AOB=9b 且 OB= O02, OA=/3 o求：（1）二面角O-AB- O的大小；（2）异面直线AiB与A Oi所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）解：（1）如图，取OB的中点D,连接OD,则ODLOBv平面OBEOL平面OABOiD±面 OAB则 OELOB过D作AB的垂线，垂足为E,连结OE, /DEO为二面角O-AB-O的平面角。由题设得od=43sin /OBA=OA=0OA2 OB27“21DE=DBsin/OBA=一7/ DE O=arctan 77 ,即二面角 O-AB- O的大小为 arctan V7 。; 在 Rt A ODE 中，tan/DE O=J7(2)以。为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过点。且与平面AOB®直的直线 为z轴，建立空间直角坐标系。则 O (0, 0, 0), O (0, 1, J3),A ( 73, 0, 0), Al (“Q, 1, ,Q), B (0, 2, 0),则 AB =(-於,1,-於),O"a = ( V3 , -1, - V3)cos < A1B , O1A=A1