第2章平面力系和平面力偶系

1、 第一节第一节 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影 第二节第二节 平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡 第三节第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡力矩、平面力偶系的合成与平衡 第四节第四节 力线的平移定理力线的平移定理 第五节第五节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 第六节第六节 平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系的平衡方程及应用 第七节第七节 静定与静不定问题及物系的平衡静定与静不定问题及物系的平衡第二章第二章 平面力系和平面力偶系平面力系和平面力偶系v本章主要研究平面汇交力系和平面力偶系的合成及本章主要研究平面汇交力系和平面力偶系的合成及其平衡条件。对于平面力系要掌

2、握其平衡条件，掌其平衡条件。对于平面力系要掌握其平衡条件，掌握用几何法和解析法解决平衡问题。对于平面力偶握用几何法和解析法解决平衡问题。对于平面力偶系在力线平移定理的基础上将平面任意力系简化为系在力线平移定理的基础上将平面任意力系简化为一个平面汇交力系和平面力偶系，并能通过平衡条一个平面汇交力系和平面力偶系，并能通过平衡条件解决问题。件解决问题。教学目的和要求教学目的和要求v平面汇交力系的合成和平衡条件；平面汇交力系的合成和平衡条件；v合力矩定理；合力矩定理；v平面力偶系的合成和平衡条件；平面力偶系的合成和平衡条件；v平面任意力系的简化及其平衡条件。平面任意力系的简化及其平衡条件。教学重点教学

3、重点v力矩的概念性质及合力矩定量；力矩的概念性质及合力矩定量；v平面力偶系的合成与平衡；平面力偶系的合成与平衡；v力线平移定理；力线平移定理；v平面任意力系的简化及其平衡条件。平面任意力系的简化及其平衡条件。教学难点教学难点FFFXxcosFFFYycos2222yxFFYXF研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影 X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin第一节第一节 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影XXXXFRx421YYYYYFRy4321YFRyXFRx 合力投影定理：合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等

4、于各分力在同一轴上投影的代数合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。和。根据矢量代数知识，矢量在平面直角坐标系下的的解析表达式为：FFRjYiXFjYiXF)()(FR2222YXFFFyRxRRXYFFxRyRtan一、平面汇交力系的合成一、平面汇交力系的合成）（o212221180cos2 FFFFFR)180sin(sin1RFF1 1）两个共点力的合成）两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。第二节第二节 平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡1.几何法几何法2）任意个共点力的合成）任意个共点力的合成

5、 ( 力多边形法）力多边形法）先作力多边形abcde再将R 平移至 A 点 平面汇交力系的合力等平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交的作用线通过各力的汇交点。点。即FRFnRFFFFF321结论：结论：推广至 n 个力2.解析法解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，确定合力的方向。利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，确定合力的方向。2222YXFFFyRxRRXYFFxRyRtan二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的

6、几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FRF力多边形自行封闭或力系中各力的矢量力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零。和等于零。平面汇交力系平衡的充要条件是：0022yRxRRRFFFF00YFXFyRxR注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值，说明力的方向与假设相反。 三、平面汇交力系的平衡方程三、平面汇交力系的平衡方程 例例2-1 如图所示机构，已知：力P=15kN, 杆件BC=AC=1m，AC与BC相互垂直且铰接于C。求：在力P的作用下杆件AC与BC所受力的大小。 解法一：几何法(1)选铰C为研究对象，进行分析

7、。NFFBCACk61.10（2）画出力多边形 ，通过测量得：解法二：平衡方程法（1）选铰C为研究对象；（2）取分离体画受力图，如图所示；（3）列平衡方程为 0X045cos45cosBCACFF0Y045sin45sinBCACFFP kN 221545sin20PFFBCAC（4）解平衡方程，得第三节第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡力矩、平面力偶系的合成与平衡一、力对点的矩一、力对点的矩1.力矩的概念和性质力矩的概念和性质将力F对点O的矩定义为：力F的大小与从O 点到力F的作用线的垂直距离的乘积，即 FhFMO)(方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示方向用右手法则确定：以

8、使物体作逆时针转动为正（图示为正），作顺时针转动为负，将为正），作顺时针转动为负，将O点到力点到力O的作用线的垂的作用线的垂直距离直距离h称为力臂。称为力臂。 v M0（F）是代数量；）是代数量；v随着力随着力F和垂直距离和垂直距离h的增大，物体转动效应明显；的增大，物体转动效应明显；v M0（F）是影响转动的独立因素，当）是影响转动的独立因素，当F=0或或h=0时，时， M0（F） =0；v M0（F）的国际单位）的国际单位Nm，或者，或者kNm ；v M0（F） =2SAOB=Fh， SAOB为为AOB的面积。的面积。 说明：说明：v(1)力沿力的作用线移动，不改变它对某点的矩；力沿力的作

9、用线移动，不改变它对某点的矩；v(2) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零；互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零；v(3)当力的作用线通过矩心，则力矩为零。当力的作用线通过矩心，则力矩为零。 力矩的性质力矩的性质：2、合力矩定理、合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系中所有各分力对同一点之矩的代数和，即中所有各分力对同一点之矩的代数和，即niiOOFMFM1)()(3、力矩与合力矩的解析表达式、力矩与合力矩的解析表达式xyxOyOOyFxFyFxFFMFMFMcossin)( 例例2-2 已知：某物体铰接于点O ，物体上 点

10、作用有力 F和Q ，力 F的作用线垂直于AO，AO与力Q的作用线夹角为，O点到力Q作用线的垂直距离为h ，如图所示。求：M0（F）和M0（Q） 。 解（1）由力对点之矩定义，得 sin)(hFFMOhQQMO)(（2）应用合力矩定理，得sinctgcossinctg)(hFhFhFhFhFFMyxOhQQMO)(二、力偶二、力偶力偶力偶：两力大小相等、作用线不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性质、力偶及其性质力偶使物体转动效应一般通过力偶力偶使物体转动效应一般通过力偶矩来衡矩来衡量，力偶矩的大小为量，力偶矩的大小为Fd，方，方向由右手法则确定，平面力偶矩也向由右手法则确定，平面力偶矩也为代

11、数量，用为代数量，用M（F，F）来）来表示，表示，即即 M（F，F）=2SABCv性质性质1：力偶在任何坐标轴上的投影等于零。：力偶在任何坐标轴上的投影等于零。v性质性质2：力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力。：力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力。v性质性质3：平面力偶等效定理。：平面力偶等效定理。力偶的性质：力偶的性质：v（1）力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体）力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。的作用效应。v（2）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改

12、变它对刚体的作用中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。效应。力偶等效条件力偶等效条件：2.平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡),(),(111111PPMFFM),(),(222222PPMFFM 111dFM 222dFM dPM11dPM22 212121)( MMdPdPdPPdFMA合力矩21PPFAPPFB1其中其中由此可以推出由此可以推出 niinMMMMM121即平面力偶系合成结果还是一个力偶即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶其力偶矩为各力偶矩的代数和。矩的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是：平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩

13、的代数和等于零。所有各力偶矩的代数和等于零。 01niiM 例例2-3 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1 = M2 = M3 = M4=25Nm ，如图所示。求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解：各力偶的合力偶距为 mN100)25(44321MMMMM由力偶只能与力偶平衡的性质，力FA与FB组成一力偶。01niiM02 . 04321MMMMNBN5002 . 0100BNN 500BANN 第四节第四节 力线的平移定理力线的平移定理一、力线平移定理一、力线平移定理o作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点，作用在刚体上某点的力，可

14、以平移至刚体上任意一点，但同时必须增加一个但同时必须增加一个，该力偶的力偶矩等于原，该力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。力对该点之矩。FdFFMM),( FdFMB)(FdFMMB)(v（1）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与 力和力偶的共同作用；力和力偶的共同作用；v（2）力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有关，有关，M=Fd；v（3）力线平移定理是力系简化的理论基础。）力线平移定理是力系简化的理论基础。由证明过程可以归纳出：由证明过程可以归纳出：二、固定端约束二、固定端约束在工程实际中，有很多构件的一部分

15、嵌固于另一物体在工程实际中，有很多构件的一部分嵌固于另一物体上而受到约束作用，这样的约束称为固定端约束。上而受到约束作用，这样的约束称为固定端约束。 这种约束不但限制物体在约这种约束不但限制物体在约束处沿任意方向的束处沿任意方向的线位移线位移，也限制物体在约束处的也限制物体在约束处的角位角位移移，即物体在，即物体在A端没有移动端没有移动和转动。和转动。 第五节第五节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化一、力系向平面内任意一点的简化一、力系向平面内任意一点的简化平面任意力系的得简化主要依据是力线平移定理，简化平面任意力系的得简化主要依据是力线平移定理，简化的实质是将一个平面任意力系分解为一个的

16、实质是将一个平面任意力系分解为一个平面汇交力系平面汇交力系和一个平面力偶系和一个平面力偶系，然后将这两个力系进行合成，然后将这两个力系进行合成 。FFFFFR321主矢主矢主矩主矩)()()()(03020103210FMFMFMFMMMML由合力投影定理，将上式写成解析形式，得由合力投影定理，将上式写成解析形式，得：2222)()(YXFFFyRxRRXYFFRR1xy1tantan0,0) 1 (ORLF平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况：可能有以下几种情况：0,0)2(ORLF该力系等效一个合力偶该力系等效一个合力偶0,0)

17、3(ORLF该力系等效一个合力该力系等效一个合力0,0)4(ORLF仍然可以继续简化为一个合力，方法如下：仍然可以继续简化为一个合力，方法如下：RFOMOORFRFORF ORFOdRORRFLdFF,d二、简化结果分析与合力矩定理二、简化结果分析与合力矩定理合力矩定理合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。 )()(FMFMORO 物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是:力系力系的主矢与对任一点的主矩均为零的主矢与对任一点的主

18、矩均为零 ，即：，即： 0,0,0FMYXO上式称为平衡方程上式称为平衡方程一矩式一矩式，二矩式二矩式和和三矩式三矩式分别为：分别为： 0000FMFMYXBA或 000FMFMFMCBA条件是：条件是：AB两点的连线不能两点的连线不能与与 x 轴或轴或 y 轴垂直轴垂直条件是：条件是：ABC三点不三点不能共线能共线第六节第六节 平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系的平衡方程及应用 例例2-4 如图所示的体系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m ，AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。 解 (1)以体系整体为研究对象。 (

19、2)画出受力图。 (3)选坐标列方程。0sincossin , 0PYXXAA02 . 15 . 2, 0)(PYFMAB5322 .1 cos ;5426 .1 sinADCDADAC而N72 ;N96 :KYKXAA解得(4)再研究 AB杆。 , 0CM由kN160549 . 06 . 1)72(sinBCACYSAB0sinACYCBFAB 例例2-5 简支梁受力如图所示，已知：均布荷载q=1kN/m，集中力F=5kN，力偶M=4kNm，求支座反力。 解: (1)以AB梁为研究对象。 (2)画出受力图。 (3)选坐标列方程。0)(FMA02458qPMRBkN63. 4BR结果为正值，说

20、明与假设方向一致。结果为正值，说明与假设方向一致。 0Y04 qPRRBAkN37. 4AR由得由得结果为正值，说明与假设方向一致。结果为正值，说明与假设方向一致。 第七节第七节 静定与静不定问题及物系的平衡静定与静不定问题及物系的平衡一、静定与静不定问题一、静定与静不定问题静定问题静定问题未知力数目等于对应的独立平衡方程的未知力数目等于对应的独立平衡方程的数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一类问题我们称之为静定问题。类问题我们称之为静定问题。 静不定问题静不定问题未知力数目多于对应的独立平衡方程的未知力数目多于对应的独立平衡方程的数目。

21、静不定问题的求解必须借助数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程变形协调方程 。二、物系的平衡二、物系的平衡两个或两个以上的物体通过一定的联结（约束）方两个或两个以上的物体通过一定的联结（约束）方式组合在一起的系统称为物系或物体系。式组合在一起的系统称为物系或物体系。物系内部物体之间作用的力称为物系内部物体之间作用的力称为内力内力；物体外部作用于整个；物体外部作用于整个物系的力称为物系的力称为外力外力。一般情况下，研究物系的受力时不考虑内力，但当研究物系一般情况下，研究物系的受力时不考虑内力，但当研究物系中个别物体时必须考虑内力。中个别物体时必须考虑内力。当物系处于平衡状态时，物系内的每个物体也处于平衡状态，当物系处于平衡状态时，物系内的每个物体也处于平衡状态，因此在研究物系平衡时，选取研究对象，既可以选个别物体，因此在研究物系平衡时，选取研究对象，既可以选个别物体，也可以选几个物体的组合甚至整个物系也可以选几个物体的组合甚至整个物系 。 例例2-6 多跨静定梁受力如图所示，求支座多跨静定梁受力如图所示，求支座A、B、C