特殊函数的常微分方程

1、9、1 特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程球坐标下拉普拉斯方程的分离变量球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况轴对称情况勒让德方程勒让德方程柱柱坐标下拉普拉斯方程的分离变量坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况一般情况亥姆霍兹方程，贝塞尔方程亥姆霍兹方程，贝塞尔方程轴对称情况轴对称情况 前面应用分离变量法求解数理问题时，需要求解二阶常前面应用分离变量法求解数理问题时，需要求解二阶常微分方程的本征值问题。再进一步的讨论中，如用球坐微分方程的本征值问题。再进一步的讨论中，如用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方

2、程、波动方程、输运方程标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性变系现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性变系数常微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二数常微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题阶常微分方程定解问题. .不失一般性，我们

3、讨论线性二不失一般性，我们讨论线性二阶常微分方程阶常微分方程 0q(x)y(x)P(x)y(x)y/),(r0zzyyxxuuu一、球坐标系下拉普拉斯方程一、球坐标系下拉普拉斯方程 参数为参数为： 代如拉普拉斯方程代如拉普拉斯方程: :得到球坐标系下的方程。得到球坐标系下的方程。 xyz(x,y,z)(r, , ) r222222sincossinsin()cosrxyzxryrarctgxyzzryarctgx22222220111()(sin)0(1)sinsinuuuurrrrrr 在球坐标系下的形式为：2222222, , ,( ) ( , ),()(sin)0(2)sinsinurr

4、u rR r YY ddRRYRYrr drdrrr 可见 是的函数，先把表示距离的变数 跟表示方向的变数分离，设（）代入上式,r 尽量将含 的项与含的项分离,.(1)rlrl 左边只是 的函数，与无关，右边只是的函数，与 无关，要使两边相等，除非两边等于同一个常数，记为为了照顾后面关于勒让德方程和自然边界条件本征值问题。2222()(1)0(4)11(sin)(1)0 (5)sinsinddRrl lRdrdrYYl lY2rYR用遍乘上式并移项,得2222111()(sin)sinsinddRYYrR drdrYY (1)l l2222()(1)0(4)11(sin)(1)0 (5)sin

5、sinddRrl lRdrdrYYl lY,Yr 对于(5)式， ()与半径 无关，称为球面函数(简称球函数).(5)式称为球函数方程。2222(1)0(6) d RdRrrl lRdrdr对(4)式：欧拉型常微分方程222222221,ln ,11111111tre tr dtdrrdRdR dtdRdrdt drr dtd RddRdRddRdRd dR dtdRd Rdrdr r dtrdtr dr dtrdtr dt dt drrdtrdt 作代换：令2222212(1()1)2(1)0(1)0(1( )0,(1)( )(7)lltlltdRd RdRd RdRl lRl lRdtdt

6、dtdtdtqql lql qlR tCeDR rCreDr02222RdrdRrdrRdr2222sin1)(sinsin1)(1YYYYdrdRrdrdRlcrrR)(02) 1(122lllcrrlcrrllcr) 1( ll02ll方程转化为：方程转化为： 为欧拉型方程。为欧拉型方程。用代换法求解：设用代换法求解：设:代入方程得：代入方程得：可得：可得：其中：其中： ll2411111)(llrDCrrR) 1(24111ll0)(0DrRr有界，时，lClrR)(为正值）（l0)(CrRr有界，时，11)(lrDrR为正值）（l方程的解为：方程的解为：讨论：讨论： 对于球对于球 内部

7、问题内部问题对于球对于球 外部问题外部问题2222()(1)0(4)11(sin)(1)0 (5)sinsinddRrl lRdrdrYYl lY(1)7)( )(llR rCrDr222( , )( )( )(sin)(1)0(8)sinsinYdddl lddd 对于(5)式进一步分离变数：代入球函数方程得：, 尽量分离含的项，2sin用乘以(8)式两边，并移项得222sin1(sin)(1)sindddl lddd 得：.左边是 的函数，右边是 的函数,两边要相等除非等于同一个常数，记为(9)222sin(sin) (1)sin0(10)0ddl ldddd 0(2 )( ) 构成本征值

8、问题（11）自然周期条件0(2 )( ) ，（11）221 21220,0,( )cossincossin()0( ),( )qqimABAmBmCCC ，时，令，满足周期条件时，当且仅当才满足周期条件2( )cos0,1,2,.sin.AmBmmm，2222(10)sin(sin) (1)sin01sin(sin) (1)0(12)sinsinddl lddddml ldd 对于第式：两边同除以得：22222arccos ,cossin,(sin)( sin)( sin)( sin )12(1) (1)01x xdddxdddx ddxdddddxdddddxdxddxdxddmxl ldx

9、dxx 下面作变数代换：令方程变形为：222(1) (1)01ddmxl ldxdxx 22222(1)2 (1)0 (13)1ddmxxl ldxdxxl 称为 阶连带勒让德方程2220(1)2(1)0 (14)1(0, )mddxxl lldxdxxl 在下，方程(13)成为称为 阶勒让德方程关于勒让德方程和连带勒让德方程的求解见P237$10.2,上述方程与在的自然边界条件构成本征值问题，决定 只能取整数。二、柱坐标系下拉普拉斯方程参数为：二、柱坐标系下拉普拉斯方程参数为： cosxsinyz0 xxyyzzuuu),(z参数为：参数为：其中：其中： 代入拉普拉斯方程代入拉普拉斯方程:

10、:得到柱坐标系下的方程。得到柱坐标系下的方程。 xyz(x,y,z)( , ,z) 22222011()0uuuuz 柱坐标系下 ：在球坐标系下的形式为：222, ,( )( ) ( )0uzRZ zd RZ dRRZZRZdd 设（）代入(1)式,得222221R Zd RdRZR dR dZ 用遍乘上式并移项,得:.zz左边是 、 的函数，与 无关，右边只是 的函数，与 、 无关，要使两边相等，除非两边等于同一个常数，记为 则分解为两个方程22220d RdRZRR dZd 0(2 )( ) 构成本征值问题自然周期条件20,1,2,.( )cossinmmAmBm本征值，本征函数22222

11、2111d RdRmd ZR dR dZ dz 第二次分离变量：第二次分离变量： DzCZZ解为：时，, 00/02222RmddRdRd讨论分析的值：的值：为欧拉型方程。其解为：为欧拉型方程。其解为：010lnmFEmFERmm时0zzDeCeZZZ解为：,0/xddxdxdRddxdxdRddR2222)(dxRddxdRdddRd0)(12222RmdxdRdxRd关于关于R R的方程作代换：设的方程作代换：设 （x x不是直角坐标）不是直角坐标） 方程转化为：方程转化为：0)(22222RmxdxdRxdxRdx代如代如的值：的值：为为m m阶贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法

12、求解。阶贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解。 )()(RxR求得：求得：值由边界条件确定。值由边界条件确定。 ihh0,02令时002/ZhZZZ转化为：zDzCZsinhcoshhx 解为：解为：作代换：设作代换：设 （x x不是直角坐标）不是直角坐标） ihddxdxdRiddxdxdRddR2222)(dxRddxdRidddRd0)()(12222RmdxdRidxRd0)(22222RmxdxdRxdxRdx)()(iRxR 方程转化为：方程转化为：代如代如的值：的值：为为m m阶虚宗量贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级阶虚宗量贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法

13、求解。数解法求解。求得：求得： 值由边界条件确定。值由边界条件确定。 三、亥姆霍兹方程：02uautt)()(),(tTrVtru22/2/0kVVTaTVTaVT022/TkaT0000ktDCkeDeCTikatkikatk02VkV1 1、波动方程：、波动方程：设：设：代入方程得：代入方程得：解为：解为： 叫亥姆霍兹方程。叫亥姆霍兹方程。 02uaut)()(),(tTrVtru22/2/0kVVTaTVTaVT022/TkaTtkaCeT2202VkV2 2、输运方程：、输运方程：设：设：代入方程得：代入方程得： 解为：解为：为亥姆霍兹方程。为亥姆霍兹方程。3、球坐标系下的亥姆霍兹方程

14、：、球坐标系下的亥姆霍兹方程：0sin1)(sinsin1)(122222222VkVrVrrVrrr),()(YrRV 0sin)(sinsin)(2222222YrRYrRdrdRrdrdrYRYr2) 1(sin1)(sinsin1)(1222222llYYYYrkdrdRrdrdR第一次分离变量：设：第一次分离变量：设：代入方程得：代入方程得：两边乘以两边乘以 得：得：mBmAsincosl0) 1(sin1)(sinsin10)1()(222222YllYYRllrkdrdRrdrd0)1()(222RllrkdrdRrdrd0)1(222222RllrkdrdRrdrRdr关于关于Y的方程为球函数方程可以分解成关于的方程为球函数方程可以分解成关于的方程，的方程， 关于关于的方程为连带勒让德方程。的方程为连带勒让德方程。叫叫阶球贝塞尔方程。阶球贝塞尔方程。关于关于R的方程：的方程：本征函数为本征函数为:作代换：作代换：)()(21xyxrRkrx 21lmBmAsincos0)21(22222ylxdxdyxdxydx01)(1222222Vkzuuu整理得：整理得：阶贝塞尔方程。阶贝塞尔方程。4 4、柱坐标系下的亥姆霍兹方程、柱坐标系下的亥姆霍兹方程的方程，本征函数为的方程，本征函数为叫: :分离变量得：关于分离变量得：关于0/ZZ0ihh0,02令时002/Z