“专接本”物理教学中高等数学的应用-最新资料

1、“专接本”物理教学中高等数学的应用一、引言2008 年开始，我校开办在籍专科学生自考“专接本”助学班。笔者连续参加了 4 届工业工程专业物理的教学工作。 在专接本的物理课堂教学中，经常会遇到学生因数学工具不足而导致的做题困难， 甚至是课堂公式推导中理解困难， 以致影响物理基础知识的吸收。 这不断引起本人的思考， 在物理教学中， 到底应该如何处理物理和数学之间的关系呢 ?二、物理和数学之间的联系及如何进行有效的处理数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 任何事物都有一定的量，原则上都可以作为数学的研究对象。 物理学是一门精确的定量科学，它与数学的关系最为密切。 马克思早在一百多年前就指出

2、：“一门科学只有成功地应用数学时， 才算达到了真正完善的地步。 ” 物理课程是数学的最大用户。 数学的概念贯穿于物理的每一分支。 物理思维方式与数学的方法运用有无法割舍的血缘联系。 在物理教学中存在大量的数学问题，物理课程离不开数学的大力支持。在实际教学过程中，学生先学高等数学，然后再学本科段的物理。目的是为了做好工具的准备工作。 但是数学教师在讲数学知识时， 从其自身角度出发， 讲解主要集中于数学规律的严密性的证明， 很少涉及数学概念、公式的实用性理解，而后者却恰恰是物理所需要的。这就造成了学生看似已经具备了工具基础， 但是在真正的学习过程中却不会用。而另一方面，学生在刚接触本科段的物理的力

3、学部分时，往往会直观地认为本科段物理与中职阶段的物理的研究范畴并没有太大的变化，只是利用高一级的数学工具解题而已，好像在上数学课，学习物理的兴趣大大减少。 这就是物理在遭遇到数学工具时所面临的尴尬。那么如何解决这一问题呢?具体教学过程中， 首先让学生明白，本科段的物理和中职物理所研究的问题是有本质性区别的。中职中所涉及的研究对象很多都是理想化的，而本科段中所涉及的对象更具实际意义。一定要让学生深刻理解“变量”和“微元”等数学概念。中职阶段所涉及的力、质量、加速度等都是常量，匀强电场、匀强磁场等在空间分布也都是均匀的，这些都是理想化了的物理抽象。到了本科段，原有的这些理想都要现实化，当这些物理量

4、一旦现实化后要想解决就必须提出新的物理思想“微元”。分析过程是先把变量放大，直至可视为常量， 然后再进一步借助物理定律找到事物间内在的联系，最后对其累积求和，即数学上的积分，得出结果。而后面的工作只是如何具体运用数学工具， 乃至利用电脑帮助寻求结果的过程而巳，已经不再是物理的范畴了。如果学生一旦真正掌握了“微元”的意义，他们将会安心于对基本理论、基本问题、基本方法的学习。不会对复杂的物理问题产生畏难情绪。三、高等数学在“专接本”物理中的应用“专接本” 物理与中职物理相比其中一个很大的变化就是高等数学的应用已经成为解决物理问题的基本工具。 从质点运动学到质点动力学，从功和能到刚体转动，从静电场到

5、稳恒磁场，都要遇到需用高等数学来解决的问题， 由于在中职阶段进行的主要是代数运算， 学生对这类问题感到非常困难。 虽然学生已经学习过高等数学， 但学生在整体上对所学的数学知识还是比较生疏的。 学生在学习本科段物理的同时，还要继续学习相应的数学知识， 这给学生对知识的理解掌握造成了很大的困难。 为了帮助学生解决以上困难， 从本质上理解物理知识，结合笔者的教学体会，作一些解释及应用举例。（一）导数在“专接本”物理中的应用函数的增量与自变量增量之比， 当自变量增量趋于零时的极限就是导数。导数在物理中有广泛的使用， 最常见的有计算速度和加速度。速度和加速度分别代表位移对时间和速度对时间的变化率， 瞬时

6、速度和瞬时加速度可以表示为：可以看出，若位移按正弦规律变化，则速度按余弦规律变化，即速度最大时，位移为零，速度为零时位移最大。并且还能很好地判断速度的方向。（二）微分在“专接本”物理中的应用数学中函数 y=f （x）的微分记作 dy=f （x）dx，其中 dx 为自变量的微分，在本科段物理中， 经常会遇到在整个过程中各物理量不断变化的问题。如变力做功问题。 功的定义是力与在力的方向上位移的乘积，而力可能是不断变化，物体的路径可能是任一路径，而功是与过程有关的，所以借助数学中微分的概念， 在物体路径上取一元位移，由于是一无穷小量， 可以认为元位移处物体所受的力不变， 则通过位移时力对物体的功等于

7、我们称为元功， 最后所有这些元功积分就得到了整个过程中力对物体做的功。在物理学中， 我们把这种微分的方法叫做取微元。如在计算刚体对某一转动轴的转动惯量时取微元dm，在求电荷连续分布的带电体静电场的场强分布时取微元dq 等。毕奥萨伐尔定律就是一个用微分的方法来处理复杂问题的典型实例，电流元在空间某点 P 产生的磁感应强度：（三）积分在“专接本”物理中的应用积分就是把所有的无限多个微分元中的结果求和。在应用微积分方法分析物理问题时， 微元的选取非常关键， 并且可能不是唯一的， 选得恰当有利于问题的分析和计算。 这里要从两个方面来考虑：其一要保证在所选取的微元内能够近似处理成简单基本的物理模型，以使

8、于分析问题， 这是最基本的一条其二要尽量把微分元选取得大，这样可使积分 （求和）计算更加简单因为微分和积分互为逆运算，微分微得越细，则近似越精确，但积分越繁。在理论分析中，它体现为一元积分比二元积分简单，二元积分比三元积分简单。在数值计算中是有限次分割，分割得越多，精确度越高，但求和项也就越多，计算工作量也越大。 所以必须在微分和积分这对矛盾之间协调处理。例：计算半径为 R，质量为 M的均匀球体绕任一直径的转动惯量。以球体所绕的直径作为 z 轴，由于球体上各个部分到 z 轴的距离不等，需要用微积分方法来分析。一般微分元的选取不唯一，但选取的微分元不同， 它被近似处理成的对象也不同， 积分运算的工作量也不同。球体的密度为：从上面的例子可以看出： 1）微元的选取不唯一，在每一种微元中近似成的物理模型是不同的。 2）重积分分析计算远比一元积分麻烦，所以在分析物理问题时，往往可以充分利用对称性，选取恰当的一元微元，使积分计算简单。例如：按线段长乘以线元来取面元，面元乘以线元来取体积元。 3）不管选取怎样的微元来分析计算，其结果都相同，都是问题的精确解。 这也体现了微积分分析方法的神奇之处，由于微元无限趋于 0，使得由有限范围内的近似到无限小范围内的精确，完