随机变量的方差

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章4.2 方差的定义及性质方差的定义及性质概率论与数理统计概率论与数理统计主要内容二、几种常用分布的方差二、几种常用分布的方差一、方差的概念一、方差的概念三、方差的性质三、方差的性质概率论与数理统计一、方差的概念一、方差的概念 引例引例 甲、乙两条流水线各生产了一批手表，经调查，每批的走时误差情况如问甲、乙两条流水线哪一个质量较好？误差 -1 0 1概率 0.1 0.8 0.1甲流水线乙流水线误差概率-2 -1 0 1 20.1 0.2 0.4 0.2 0.1概率论与数理统计若E - E( )2 存在, 则称其为随机变量称( )D为 的均方差均方差或标

2、准差标准差. 1、方差概念方差概念定义定义 即 D ( ) = E - E( )2 的方差方差, 记为D ( ) 或 Var ( ). 两者量纲相同两者量纲相同 描述 r.v. 的取值偏离平均值的平均偏离程度. 数( )D概率论与数理统计(),1,2,iiPapi若 为离散型 r.v.，分布律为21( )( )iiiDaEp计算方差的常用公式：22( )()( )DEE为连续型随机变量，则2( )( )( )d ,DxEp xx( ).p x为其中的概率密度若概率论与数理统计方差是一个常用来体现随机变量 取值分散程度的量.如果 值大, 表示 取值分散程度大, E( )的代表性差;而如果 值小,

3、 则表示 的取值比较集中,以E( )作为随机变量的代表性好.2. 方差的意义方差的意义( )D( )D 数学期望刻画了随机变量取值的平均程度,方差则刻画了随机变量偏离它的期望值的程度. 数学期望与方差是随机变量某些特征的数值标志,因而称它们为随机变量的数字特征.概率论与数理统计二、几种常用分布的方差二、几种常用分布的方差2. 两点分布 ( )10Epq p01pp 1已知随机变量 的分布律为则有22( )() ( )DEE22210(1)ppp, p.pq1.退化分布()1,Pcc是实常数.2,0.Ec EcD从而即常数的方差为0.概率论与数理统计3. 二项分布 (1),(0,1,2, ),k

4、n knPkppknk 01.p则有 设随机变量 服从参数为 n, p 二项分布,其分布律为0(1)nkn kknEkppk 0!(1)!()!nkn kkknppk nk概率论与数理统计)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np )1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnpnp22( )() ( )DEE2() (1)EE (1)( )EE 而概率论与数理统计npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.

5、)(22nppnn 22( )() ( )DEE222)()(npnppnn 22(2) (2)2(2)!(1)(1)()!(2)!nknkknn npppnpnkk(1).npp概率论与数理统计4. 泊松分布 ,0,1,2,0.!kPkekk则有0( )!kkEkek11(1)!kkekee.( ),P 设随机变量 其分布律为概率论与数理统计22( )() ( )DEE2() (1)EE (1)( )EE 0(1)!kkk kek222(2)!kkek2e e2.所以所以22( )() ( )DEE22. 都等于参数都等于参数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差概率论与数理统计5. 几何

6、分布 ( ),G p 设随机变量 其分布律为1(),1,2,1,kPkpqkpq1111( )kkkkEkpqpkq211,(1)pqp则有21111()(1)kkkkEk kpqkpq221(1)kkpqk kqp2201kkx qdpqxdxp321(1)x qpqxp222211( ).ppDppp概率论与数理统计6 均匀分布均匀分布则有( )E1().2ab1,( )0,.axbp xba其它( , ),U a b设其概率密度为22( )() ( )DEE221d2baabxxba.12)(2ab 12)(2ab 概率论与数理统计7. 指数分布指数分布 ,0,( )0.0,0.xexp

7、 xx设随变从数为其中机量 服指分布,其概率密度则有( )E1.2201dxxex222121.22( )() ( )DEE概率论与数理统计8. 正态分布正态分布2( ,),N 设其概率密度为则有( )E.,)()( xexpx021222. 22()221()d2x xex2( )()( )dDxp xx,xt令得2222( )d2tDt et22222d2ttteet2022.2 2.2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差概率论与数理统计三、方差的性质三、方差的性质22)()()(CECECD (1) 设 C 是常数, 则有. 0)( CD22CC .

8、 0 (2) 设 是一个随机变量, C 是常数, 则有2()( ).D CC D()D C22( ) C EE2( ).C D2() E CE C证证概率论与数理统计特别地，设 , 相互独立, D( ), D( ) 存在, 则2()()() DEE2( ) ( )EEE22( )( )2 ( )( )EEEEEEE ()( )( )2( )( )DDDEEE()( )( )DDD(3)当 , 相互独立时，( )( )()( ) ( )EEEEEE注意到，()( )( )DDD 证概率论与数理统计若12,n 相互独立，12,na aa b为常数， 则211( )nniiiiiiDaba D若 ,

9、 相互独立.()( )( )DDD 性质性质3的推广的推广 概率论与数理统计 （4）对任意常数C, D ( ) E( C)2 , 当且仅当C = E( )时等号成立.22( )( )ECEECE22( )( )EECE当C = E( )时，显然等号成立；当C E( )时，2( )0,CE2( ).ECD2( )( ) ,DCE证(5)( )01,DC的充要条件是以概率 取常数即()1.PC概率论与数理统计仅知仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布的期望与方差并不能确定其分布P -1 0 1 0.1 0.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025与( )0,( )0.2.ED

10、( )0,( )0.2.ED有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如概率论与数理统计12,n 相互独立，1nii，故1( )( )(1).niiDDnpp又引入随机变量 ，则12,n 10i，1,2,in ，( )(1)iDpp，第i次试验事件A发生，第i次试验事件A不发生，而例3 设 的分布列为 ，求 .D(,)B np解概率论与数理统计 例4 设掷两颗骰子，用 , 分别表示第一、第二颗骰子出现的点数，求两颗骰子出现点数之差的方差。显然， 与 同分布，分布列为 解1,1,2,3,4,5,6,6PkPkk7,2EE2222222144(123456 ),63E22244729()( ),3212DEE2929()2.126D故概率论与数理统计3、契比雪夫不等式、契比雪夫不等式证证222( ),( ),|.EDP设随机变量具有数学期望方差则对于任意正数 不等 式成立定定理理仅取连续型随机变量的情况来证明.( ),p x设的概率密度为则有 契贝晓夫不等式契贝晓夫不等式P( )dx p xx22( )dx xp xx221()( )dxp xx221.22|.P得概率论与数理统计22P221.P 注：注：0D()1.Pa0(0)PE 例例3 随机变量 的方差 的充要条件是 取某个常数值的概率为1，即这个结论的充分性是显然的，下