平面向量的极化恒等式及其应用

1、平面向量的极化恒等式及其应用一.极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍证法 1 （向量法）设 AB=a,AD =b.则 AC = a b,DB = a-b.AC证法推论+ DB22C|2AC+DB=2 AB +AD2即证法3 （余弦定理）（解析法）2=(a+b2+(a_bf =2a2+ib由AC2+ DB=2 AB + AD知，2AO+ 2OBA2二 2222AB+AD= 2.iAO+OBI2推论a "4_a 二2极化恒等式.h L 2 AB AD = AO -OB推论3:在ABC中，O是边BC的中点，则|A02 |0B2 帖亦即向量数量积的第二几何

2、意义 二.平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍AB AC 二;IBC22 2AC+DB=2AB+AD222三.三角形中线的一个性质：极化恒等式的几何意义AB + AC+推论1:AO2AB2+ACJ-OB22 V)2T22、12推论2:AOAB+ACf BC2l)4【应用】已知点 P是直角三角形 ABC斜边AB上中线CD的中点，则OB2 2PA +|PB2 _ _PC四三角形“四心”的向量形态1. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点 P满足OP = OA A. 外心AB AC网 IACIJB. 内心-0, ：，则动点P的轨迹一定通过. A

3、BC的C. 重心D.垂心2. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足OP = OA /AB+ ACABs inBACsi nC则动点P的轨迹一定通过ABC的-A.夕卜心B. 内心 C. 重心D.垂心3. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足OP =OA ，ABAB cosBACACcosC重心 D.垂心则动点P的轨迹一定通过ABC的-A.外心 B. 内心 C.4. P 是 ABC 所在平面上一点，若 PA PB 二 PB PC 二 PC PA，P 是 ABC 的-A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心 ABC2 2 2 2 2 25. O是 ABC

4、所在平面内的一点， 满足AB OC = AC OB = BC OA，则点0是 ABC的（） A.外心 B. 内心 C. 重心 D.垂心五.典型案例分析问题1在 ABC中，M是BC的中点，AM =3, BC =10，则ABAC二【变式】已知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE DA =问题2已知正三角形 ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是2 2【变式】（2010福建文11题）若点0和点F分别为椭圆 匚=1的中心和左焦点，点 P43为椭圆上的任意一点，贝U OP *FP的最大值为（）A. 2 B. 3C. 6D. 81问题3 （ 2

5、013浙江理7）在：ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边4AB 上任一点 P，恒有 PB PC _ P0B F0C，贝UjiA. ABC =2jiB. . BAC =-2C. AB 二 AC D.AC 二 BC【变式】（2008浙江理9题）已知a,b是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量c满足ac bc =0,则的最大值是A. 1B. 2C.,2问题3已知直线AB与抛物线y2 =4x交于点A, B，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若Co满足C0AC0B=minCACB则下列一定成立的是（）【B】A. C°M _ AB B.C°M _丨，其中是抛

6、物线过点的切线C.C0A_C0B D.C0M =AB （ 2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4在正三角形 ABC中，D是BC上的点，AB=3, BD=1,则ABAD=-15（2011年上海第11题）【问题 5 在. ABC 中，AB=2, AC =3, D 是 BC 的中点，贝U AD BC 二一一.5（2007年天津文科第15题）【5】2问题6正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2 , MN是它内切球的一条弦 （把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦最长时，PMPN的最大值为.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7点P是棱长为1的正

7、方体ABCD - A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA *PC的取值范围是 （2013年北京市朝阳区高三数学二模）【丄,1】._2问题8 如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB =8，AD =5，CP 二 3PD，则 AP *B2. AB *AD 的值为-.（2014 年高考江苏 卷第12题）【22】问题9如图，在半径为1的扇形AOB中，/ AOB =60°,C为弧上的动点，1AB与0C交于点P，则OPBP = 2最小值为 【一】2X2 y2问题10已知M x°,y°是双曲线2二1上的一点，FF2是Ca bA.B.C.242D.的两个焦点，若 MF_!MF2 : 0，则yo的取值范围是（）6 6 /【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】:2 2在椭圆C：笃与=1a b 0中，设.RMF2 - V，则b22b tan2ca bMF129| .S abc =b tan ， y2 口2cos 22 2在双曲线c:笃-与=1a 0,b0，设.FMF2 7，则a bMh| *MfZ.2 u sin 2S .ABCb2b2 cot吨，y课外探究1.已知点P是椭圆2 2x y1上任意一点,16 8EF 是圆 M : x2 + (y - 2 f = 1