平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示

1、§ 平面向量基本定理§ 平面向量的正交分解及坐标表示 学习目标：1.理解向量数乘的意义，掌握向量的数乘与这个向量的模和方向之 间的关系.2掌握实数与向量数量积的运算律，并会用它们进行计算 3.理解两个向量共线的条件，会根据条件判定两个向量共线.教学重点：平面向量基本定理、平面向量的坐标表示.教学难点：平面向量基本定理.教学方法：讲授、讨论式.教具准备：用几何画板演示平面向量基本定理、向量的正交分解.教学过程：(I)新课引入：师：上节课，我们一起学习了向量的数乘运算，掌握了平面向量数乘的定 义及运算律以及两向量共线的条件.根据上述知识，给定平面内任意两个向量ei,e2,我们可

2、以作出形如3ei+2e2、 ei-2e2的向量.那么，平面内的任一向量是否都可以用形如 '1 ei+七e2的向量表 示呢？为了解决上面的问题，我们今天学习平面向量基本定理及其应用.(U)讲授新课： 1平面向量基本定理 师：如图，设ei、e2是同一平面内两个不共线的向量， a是这一平面内的任一向量.在平面内任取一点 0,作OA -ei, OB -e2, OC二a.过 点C作直线0B的平行线，交直线0A于点M ;过点C作 直线0A的平行线，交直线0B于点N.由向量线性运算的 性质可知，存在实数'i、2，使得0M二ei, 0N =鼻e2.由 于0C =0M 0N，所以 a=、ei+

3、'2e2.也就是说，任一向量a都可以表示成ei+'2e2的形式.另一方面，对于同一平面内两个不共线的向量 ei、e2,如果有a= ei+ ' 2e2 且 a= mi ei + m2e2,那么 1 ei+ 2 e2= mi ei + m2 e2,(-rni)ei+= ( m2- -2)e2.由向量 ei、e2 不共线，得'-mi = m2- '2 = 0, 1 = m1 且 m2 = 2 .由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的 向量ei、e2表示出来；当ei、e确定后，这种表示形式是唯一的.（用几何画 板演示）我们得到了如下的

4、平面向量基本定理：如果ei、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数 入、h，使a= hei+ he2.说明：不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 同一平面可以有不同的基底，关键是不共线的向量才可以作为基底；由此定理可将任一向量 a对给定的基底ei、e2进行分解，并且这种分解 的形式唯一确定.2.向量的夹角师：不共线的向量有不同的方向，怎样来区别它们的位“置呢？'生：我们可以用向量间的夹角来表示它们之间的位置关 系.师：这就需要我们来规定出两个向量夹角的意义：已知两个非零向量 a、b,作OA =a, OB二b,贝匚AB叫

5、做向量a与b的夹角.说明：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的当缸0时，a与b同向；当缸i80时，a与b反向.如果向量a与b的夹角是90，我们称a与b垂直，记a丄b. 例i见课本Ro4 .3.平面向量的正交分解师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？/ 卅5生：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力 F i的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2.也就是说，重力 G的的效果等价于力 F1和F2的合力的效果，即G=F i+F 2.师：物理学中，G=F i+F2叫做把重力G分解.由平面向量基本定理，对平面上的任意向量 a均

6、可以分解为不共线的两个 向量 rei、2e2，使 a= ei+、2 e2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形.把一个向量分解为两个垂 直的向量，叫做把向量 正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.正交分解是向量 分解中常见的一种情形.4平面向量的坐标表示师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数 (即 点的坐标)表示.那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢?网+yj如图，在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴 方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的 一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数x、y，使得a=xi + yj.这

7、样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们 把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a= (x, y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a= (x, y)叫作向量的坐标表示根据向量坐标表示的意义，两个单位向量 i、j以及零向量的坐标表示是怎 样的？生：i 二(1,0)，j= (0,1)，Q= (0,0).师：如图，在直角坐标平面中，以原点 O为起点作OA二a，则点A的位置由向量a唯一确定.设OA二xi + yj，则向量OA的坐标(x, y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x, y)就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序

8、实数对表示.有人说：直角坐标平面内向量a的坐标就是它的终点坐标.这句话正确吗?生：这种说法不正确.只有当向量 a的始点是坐标原点时，向量的坐标才 是它的终点坐标.师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向 量的集合之间有一一对应关系.例2见课本Ro6.说明：本题也可以利用各向量间关于坐标轴的对称关系求解.(川)课后练习：课本P112习题2.3 B组 4.(W)课时小结：同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样,如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两 个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不 共

9、线的向量表示.通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示； 反过来任一有序实数对就表示一个向量.这就是说，一个平面向量就是一个有 序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式一一坐标表示式.向量的线性运 算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只 与其相对位置有关，即一个向量平移到另一位置后，只要大小与方向不改变， 则向量的坐标不变.(V)课后作业：1课本p12习题2.3 B组 3.2预习课本Ro6Pio8，思考下列问题：已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？