平面向量知识点总结精华

1、必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以 平移.举例1已知A（1,2） , B（4,2）,则把向量1AB按向量a（1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）r2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,规定：零向量的 方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 AB共线 uuur的单位向量是福）；| AB|4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性;r5 .平行向量（也叫共线向量）：万向

2、相同或相反的非零向量a、b叫r做平仃向重，记作：a / b,规定：零向量和任何向量平行注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量 平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0)；三点a、b、c共线AB、AC共线.6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量 记作a.举例2如下列命题：(1)若由山，则a b.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 .(3)若AB Dur ,则abcd是平行四边形.(4)若abcd是平行四边形，则AB DCU.(5)若a b,

3、b c,则 a c.(6)若a/b, b/C则a/C.其中正确的是结果：(4)(5)、向量的表小方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示，如 AB ,注意起点在前，终 点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 a, b, c等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的 r r两个单包向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表小为a xir yjr (x, y),称(x, y)为向量5的坐标，a (x, y)叫做向量&的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.三、平面向量的基本定理定理 设£&同

4、一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对(1,2),使a ii 2(r2.(1)定理核心：a虚；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且 表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当&上时，就说a忘福为对向量a的正交 分解.举例 3( 1)若 a(1,1), br(i, 1), c( 1,2),则结果：1 r _a23 r _b .2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA. g (0,0) ,e2 (1, 2) B. & ( 1,2) , 4 (5,7) C. & (3,5) , 4 (6,10)D. I (2, 3

5、) ,e2(3)已知器能分别是AABC的边BC , AC上的中线，且AD a , BE b ,则能可用向量a,b表示为 结果：44b. 33luur iuuruur iuf uur(4)已知 iBC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB , CD rAB sAC,则 r s的值是 .结果：0.四、实数与向量的积实数 与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如下：(1)模：| a| | | |a|;(2)方向：当 。时，a的方向与a的方向相同，当 。时，a的r方向与a的方向相反，当。时，a 0,汪忠:五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作戕ar ,

6、uuB b,则把 rAOB （0）称为向量&, b的夹角.rrr 一当 。时，a, b同向；当 时，a, b反向；当 ,时，a, b垂 直.r2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a, b,它们的夹角为, 我们把数量苗11b |cos 叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：b,r r r r即 a b | a | | b | cos .规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例 4（1） aabc 中，AB| 3, |AC| 4,能 5 ,则 ABr BC .结果：9.（2）已知 a i,1 , b 0, 2 , c a d, ； a b, c

7、 与 d 的夹角为 _ ,则k . 结果：1.（3）已知1a1 2,由 5, a br 3,贝ua bI. 结果：翘.（4）已知a,b是两个非零向量,且山尚1a bi,则a与士 b的夹角为结果：30。,一 rr3 .向量b在向量a上的投影：|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知|a | 3 , |b | 5 ,且士: 12,则向量a在向量b上的投影为. 结果：£ 54 .b的几何意义：数量积a b等于a的模 a 与b在a上的投影的积.r 5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a, b,其夹角为，则：,r r r r(1) a b a b 0 ;(2)当a、br同向时，

8、3b <31 ibr,特别地，a2 a a m|2 由 4a ：r rr _a b是a、b同向的充要分条件；,r rrr rr 一 r r当a、b反向时，a b | a I |b|, a b 山|b|是a、b反向的充要分条件；rrr当 为锐角时，ab 0,且a、b不同向，ab 0是 为锐角的必要不充分条件；rrr当 为钝角时，ab 0,且a、b不反向；ab 0是 为钝角的必要 不充分条件.r 1(3)非零向量a , b夹角 的计算公式：cos a b ;b | a |b |. |a|b|举例6(1)已知a ( ,2), br(3 ,2),如果a与b的夹角为锐角，则 的取值范围是. 结果：

9、 4或0且(2)已知AOFQ的面积为S，且群FQ1,若gs乎，则OF, FQ夹角的取值范围是. 结果：-,-;4 3(3)已知 a (cosx,sinx) , b (cosy,sin y),且满足 |ka t> I gkb I (其中 k °).用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小.结果：ab k_2(k °)；最小值为2,6°o.六、向量的运算1 .几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若AB a, BC b,则向量AC叫做a与b的和，即rruuuuuruurabABBCAC;作图：略.注：平行四

10、边形法则只适用于不共线的向量.(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若ABAC J,则a b AB AC趣，即由减向量的 终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7(1)化简：AB Be CD ；器跑DC? ；湍翁思品)结果：AD ；潴；0 ；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1 , AB a , BC tr , AC c ,则 |a b C| .结果：2 2 ；(3)若。是*BC所在平面内一点，且满足OB OCr |OBr OC 2OA,则ZXABC的形状为.结果：直角三角形；(4)若D为"BC的边BC的中点，"BC所在平面内有一

11、点P ,满足 uurPA BP CP 0,设皆，则的值为 结果：2;(5)若点O是MBC的外心，且OA OBr CO 0,则ABC的内角C为.结果：1200.r2 .坐标运算：设a(x,yj, b dy2),则rr(1)向重的加减法运算：a b (2X2,yiy?) , a b(x1X2,yiy2).举例 8(1)已知点 A(2,3) , B(5,4) , C(7,10),若期 AB Ac( R),则当 时，点P在第一、三象限的角平分线上. 结果：1; 2(2)已知 A(2,3)B(1,4) 且 -AB (sin x,cos y) x, y (,) 贝x y22 2 '结果：工或5；

12、62 ?(3)已知作用在点A。，1)的三个力F (3,4) , Fu (2, 5) , Fu (3,1),则合力Fr F： f: g的终点坐标是 结果：(9,1).(2)实数与向量的积：a a,%) (x).(3)若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB -x/y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标举例9设A(2,3) , B( 1,5)，且吃；AB , AD 3器，则C,D的坐标分别是 3. 结果：(1个),(7,9).r(4)平面向重数重积：a bX1X2 Vi、2.举例 10 已知向量 a (sinx,cosx) , b (sin x,sin x

13、) , C ( 1,0).(D若x 求向量a、c的夹角； 3(2)若x g,/,函数f(x)ab'的最大值为；，求 的值.结果：(i)1500； (2) 1或衣 1 .(5)向量的模：a2 |a|2 x2 y2| a | 亚一.举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60o,那么ia 3ri=. 结果：用.(6)两点间的距离：若 A(x1,yJ , B(x2,y2),则| AB| 辰 xj2 0 y)2 .举例12如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy 60o ,平面上任7彘p关 于斜坐标系;的斜坐标是这样定义的：若群x& y2,其中&&分别为与x轴、y轴同方

14、向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y).(1)若点P的斜坐标为(2, 2),求P到O的距离|PO| ；(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.结果：(1) 2； (2) x2 y2 xy 1 0.七、向量的运算律r r r r r r r r r r1 .父换律：abba,(a)()a,abba;o4土八小r1r/I、r！、2 .结合律： abc(ab)c, abc a(bc),r rr rr r(a)b(a b) a ( b);r r r / r r / r r r ! r3 .分配律：( )a a a , (a b) a b , (a b) c a c b c .举例13

15、给出下列命题： s (b b a b a c ；a d a (a b) c ；rrcrc r r re (a b)2 |a|2 2|a|b| |b|2 ；r r r若ab 0,则a 0或3；若N 3则a c；向2。2；芋br；r r rrrr r(8) (a b)2a2 b2； (9) (ab)2a22ab b2 .其中正确的是一结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模, 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，

16、即a (b C)(a J)c,八、向量平行(共线)的充要条件r rrr r r 2 r r 2a/bab(a b)(| a |b |)x1y2y1x20.举例14 (1)若向量a (x,1) , b (4,x),当x 时，a上相同.结果：2.(2)已知 a (1,1), b (4,x) , u a 2b , v 2a br ,且(r/V, 结果：4.auuuuurwwPA (k,12) , PB (4,5) , PC (10,k),则 k 时，A,B,C果：2或11.为什么?b共线且方向共线. 结九、向量垂直的充要条件r r rr r特别地uuuABuuju|AB|uurACuuu|AC |u

17、urABuur| AB|uurACuur| AC|a b0| ab| | ab| x2y1y 20 .举例 15 (1)已知 OuA ( 1,2) , OB (3,m),若戕 OB ,则 m 结果:2；(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形0AB , B 90 ,则 点B的坐标是 . 结果：(1,3)或(3, 1);(3)已知n (a,b)向量n m ,且1nHim| ,则m的坐标是 . 结果：(b, a) 或(b,a).十、线段的定比分点1 .定义：设点P是直线PP2上异于P、P2的任意一点，若存在一个实数，使P%3/ ,则实数叫做点P分有向线段3版所成的比，P点叫做有向线段

18、Puu的以定比为的定比分点.2 .的符号与分点P的位置之间的关系(1) P内分线段PuPu ,即点P在线段PP2上 0；(2) P外分线段FuPr时，点P在线段PP2的延长线上点P在线段PP2的反向延长线上10 .注：若点P分有向线段常2所成的比为，则点P分有向线段靛所成的比为1.举例16若点p分Ar所成的比为；，则a分翳所成的比为4结果：73(3) 段的定比分点坐标公式:设Pi(xi,yi), P2(X2,y2),点P(x,y)分有向线段PuPu所成的比为,则定X比分点坐标公式为yXi1yiiX2( i).y2XiX22Viy22(为，yi)、 (X242)X特别地，当 i时，就得到线段PP

19、2的中点坐标公式y说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y),的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比举例i7 ( i )若M( 3, 2) N(6, i)且Muu1湍，则点P的坐标为 3结果：(6, 7)；(2)已知 A(a,0) , B(3,2 a),直线 y 1ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM 2MB ,则a .结果：2或4.十一、平移公式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y),则x xh,;曲线 y y k.f(x, y) 0按向量a (h,k)平移得曲线f (

20、x h,y k) 0 .说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1,2),则按向量a把点(7,2)平移到点. 结果：(8,3)；(2)函数y痴2*的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1 ,贝a. 结果：(.7 / 4十二、向量中一些常用的结论1 .一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；r r 2 .模的性质：住| |b| M b|图|b|.rr r r r(1)右边等方成立条件：a、b同向或a、b中有0 | a b|!| |b|；(2)左边等号成立条件:(3)当a、b不共线|a|r r |b| |a b|r r|a| |b|.3.三角形重心公式在 ABC 中，若 A(x