常微分方程考研讲义一阶微分方程解的存在定理

1、第三章 一阶微分方程解的存在定理 教学目标1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2. 了解解的延拓定理及延拓条件。3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 教学重难点 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 教学方法讲授，实践。 教学时间12学时 教学内容解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 考核目标1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2. 熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3. 利用

2、解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。§ 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方

3、程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程dydx2y过点(0,0)的解就是不唯一，易知 y=0是方程过(0,0)的解，止匕外，容易验证，y = x2或更一般地，函数0MxMcc<x 三 10V2(x-c)都是方程过点(0,0)而且定义在区间0 Mx W1上的解，其中C是满足0 < C <1的任一数解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程 的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身 不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确

4、定所求的是哪个解。而解 的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。1 .存在性与唯一性定理：(1)显式一阶微分方程dydxf (x, y)(3.1 )这里 f(x, y)是在矩形域：R:|x-x0|<a,|y-y0 |<b(3.2 ) 上连续定理1:如果函数f (x, y)满足以下条件：1)在R上连续：2)在R上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数 L >0,使对于R上任何一对点(x,必)， (x, y2)均有不等式f (x, y1) - f (x,y2) w L y1 -y2成立，则方程(3.1 )存在唯一的解 y=&x),在区间|x-

5、%户h上连续，而且满足初始条件(小)=V。(3.3 )b其中 h = min(a,- M),M = maxx,y - R3ix f (x, y) , L 称为 Lipschitz 常数.思路: 1)求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程xy = y0乂 f (x, y)dxx0的连续解。2)构造近似解函数列Q(x)任取一个连续函数 邛0(x),使得|50(x)-y0区b ,替代上述积分方程右端的y ,得到xM(x)= y0f (x°(x)dx-x0如果中i(x)三Q(x),那么中0(x)是积分方程的解，否则，又用中i(x)替代积分方程右端的y ,得到x2(x) = y0f (x,

6、：i(x)dxx0如果中2(x)三%(x),那么% (x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到xn(x)=V。 f (x,；(x)dxx)(3.(4)于是得到函数序列*(x).3)函数序列Q(x)在区间刈-h,x0+h上一致收敛于中(x),即lim (x) = (x)n 二存在，对(3.4)取极限，得到xlim. n(x) = V0 lim. . f (x, ;：n4(x)dxn ? 一n j . xqx=Vo . f(x, (x)dx x) x即(x) =y0f(x, (x)dx.x x4) 4(x)是积分方程y = y0 + j f (x, y)dx在x0-h,x0+h上的连续解.这种一步

7、一步求出方程解的方法 证明定理.逐步逼近法.在定理的假设条件下，分五个命题来为了讨论方便，只考虑区间x0 Ex Wx0+h,对于区间x0 -h w x w x0的讨论完全类 似.命题1设y =(x)是方程(3.1)定义于区间x0 ExEx0十h上，满足初始条件, (x0) = Vo(3.3 )的解，则y =(x)是积分方程xy = Vof (x, y)dxxo < x < xohx(3.(5)的定义于xo <x <xo +h上的连续解.反之亦然.证明 因为y =*(x)是方程(3.1)满足中(xo)=yo的解，于是有 f(x, (x) dx两边取xo到x的积分得到x(x

8、) - (xo) = f (x, (x)dxxo < x < xoh-x) x即有(x)= yo，i f (x, (x)dxxo - x - xohx所以y =平(x)是积分方程y=yo + J f (x,y)dx定义在区间x° M x< % + h上的连续解 x反之，如果y =中(x)是积分方程(3.5)上的连续解，则x(x) = yof (x, (x)dxxo - x - xo hx)(3.6 )由于f (x, y)在R上连续，从而f (x, *(x)连续，两边对x求导，可得dx)=f(x, (x)dx而且(xo) =V。, 故y =9(x)是方程(3.1)定义

9、在区间x0 Ex Ex0+h上，且满足初始条件 中(x0) = y0的解.构造Picard的逐次逼近函数序列Q(x).1 'o(x) - y0x(n=1,2,)n(x) = yof ( , ：nj( )d xo _ x _ xo hx0(3.7)命题2对于所有的n, (3.6)中的函数呼n(x)在xo Mxwx。+h上有定义，连续且满 足不等式| n (x) - yo |< b (3.8 )证明用数学归纳法证明x当n=1时，51(x) = yo+f f r,yo)d匕，显然中i(x)在Xo MxM%+ h上有定 义、连续且有xx| i(x)7oI=If( ,yo)d |<|

10、f( ,yo)|d EM(x-Xo)HMhMbxX)即命题成立.假设n = k命题2成立，也就是在x0 <x<x0 +h上有定义、连续且满足不等式| 4 (x) - yo 归 b当n =k +1时，xk 1 (x): Vof( , k( )dxx由于f (x, y)在R上连续，从而f (x, Q (x)在Xo ExExo+h上连续，于是得知 Q书(x) 在/ <x <xo +h上有定义、连续，而且有xI k 1 (x) - yo I- . I f( , ( )|d <M(x-Xo)<Mh<bX)即命题2对n = k +1时也成立.由数学归纳法知对所有的

11、 n均成立.命题3 函数序列Q (x)在%WxWxo+h上是一致收敛的.记 lim. n (x) = (x), x0MxM % h证明构造函数项级数oOo(x) k(x) - ：ki(x)Xo _ X _ Xo hk 4(3.9) 它的部分和为nS(x) = 0(x)八 Lk(x)- ：k(x) = ：n(x)km于是Q（x）的一致收敛性与级数（3.9）的一致收敛性等价.为此，对级数（3.9） 的通项进行估计.X| 1(X)- o(X)|<| f( , o( )|d < M(X-Xo)- xo(3.10)x|；2(X)i(X)|M Jf(J()-f(”0()|d由Lipschitz

12、 条件得知X|Cp2(x)-%(x)|<Lf |%(t)-%(t)|dX0XML M ( -x0)dXo. ML .、2(x-Xo)2!设对于正整数n,有不等式n 4| ：n(x)-，(x)|MMLn(x - Xo) n!成立，则由Lipschitz条件得知，当 MxMx0+h时，有(x)- ；(x)|< , lf(,（）-”n（）|dxmljiQS)-Q 乂为d± xMLnn!MLx.(-Xo)ndX)n(n+1)!n 1(X-Xo)于是由数学归纳法可知，对所有正整数k,有MLk，kMLk- kI k(x) j k(x)匡 (x-比)< hX0 < x &l

13、t; X0 hk!k!(3.11)hk由正项级数M MLK一的收敛性，利用Weierstrass判别法，级数(3.9)在 k 4 k!x0 Ex Ex0+h上一致收敛.因而序列Q(x)在x0 ExEx0+h上一致收敛.设m% (x)=中(x),则平(x)也在x0 < x < x0 +h上连续,且| , (x) - y° |< b命题49(x)是积分方程(3.5)的定义在Xo <x <x0 +h上的连续解证明 由Lipschitz 条件|f(x, ；(x)-f(x, (X) |<L| ；(X)- (X)|以及中n(x)在x0<x <x0+

14、h上一致收敛于中(x),可知f(xWn(x)在x0ExEx0 +h上一致收敛于f (x, *(x).因此xlim. n(x) =y0 1m f( , ：n()d n _n_ J Xox=y01md )dx0 n,J -x即n(x) = y0f( , ( )dXo故9(x)是积分方程(3.5)的定义在Xo MxMXo+h上的连续解.命题5 设中(X)是积分方程(3.5)的定义在Xo <X< Xo+h上的一个连续解，则 (x) ="!- (x), x0 < x < x0h.证明 设g(x) 3 tp(x)川(x)|，则g(x)是定义在Xo ExEXo +h的非负连

15、续函数，由于x .x .(x) = y。, f( , ( )d'- (x) = y° . f( ；- ( )dx0x0而且f (x, y)满足Lipschitz 条件,可得xg(x) -| (x)-'- (x)H f( , ( )-f( ,1- ( )d |xox三.|f( , ( ) -f( ,- ( )|dXo"：| ()()|d =L：g( )d xoxox令 u(x) = L gK)dU，则 u(x)te x0 w x 三 x0 +h 的连续可微函数,且 u(x0) = 0 , Xo0 三g (x)三 u(x), u (x) = Lg (x), u

16、(x)三 Lu (x) , (u (x) Lu(x)e,x < 0,即(u(x)e,x)F«。于是在 x <x <x0 +h上,u(x)e'x «u(x0)e,x0 =0故 g(x) Eu(x) W0 ,即 g(x)三0, x0 < x < x0 + h,命题彳#证.对定理说明几点b（1）存在唯一性定理中h =min（a,）的几何意义. M图在矩形域R中f（x,y）|M，故方程过（x0,y0）的积分曲线y = %x）的斜率必介于-M与M之间，过点（x0, y0）分别作斜率为-M与M的直线.b .b . 一一 .、当M E一时，即a E,

17、（如图（a）所不），解y =平（x）在x0 aExWx0 +a上有je 乂; aMbb当M之一时，即一 Wa,（如图（b）所不），不能保证解在 x0-a9xW%+a上有定义, aM它有可能在区间内就跑到矩形 R外去，只有当 比-2Mx Mx。+2才能保证解MMy = &x）在R内，故要求解的存在范围是(2)、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却 * .一一 ,一 '一 .易于验证的条件来代替他，即如果函数 f(x, y)在矩形域R上关于y的偏导数fy(x,y) . , 、 一 , 存在并有界，即fy(x,y) WL ,则李普希兹条件条件成立.事实上：

18、:f (x, yMyy2)I f (x, yi)- f (x, y2)|=| -2-(y1 y2) | yi - y21：:y- L 1yLy2 |、 _ » _ ' . . . . 这里口,),丫2)三尺0日1.如果fy(x,y)在R上连续，它在R上当然满足李普希兹条件.但是，满足李普希兹条件的函数f (x, y)不一定有偏导数存在.例如函数f (x,y) y |在任何区域都满足李普希兹条件，但它在y = 0处没有导数.(3)、设方程(3.1)是线性的，即方程为dy = P(x)y Q(x) dx易知，当P(x),Q(x)在区间严，P上连续时，定理1的条件就能满足，且对任一

19、初值 (x0,y0),x0亡豆，P所确定的解在整个区间a, P上有定义、连续.实际上，对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在|x-x0怪h上，是因 为在构造逐步逼近函数序列鸳(x)时，要求它不越出矩形域 R，此时，右端函数对y没 有任何限制，只要取M = max| P(x)y0 +Q(x)|.(4)、Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件例如试证方程5:0dx yln|y|y=0y : 0经过xoy平面上任一点的解都是唯一的证明 y#0时，f(x, y) = y ln | y |,在 y #0上连续，fy(x, y) = 1 十ln | y |也在 y

20、 0 0上连续，因此对x轴外的任一点(xo, Yo)，方程满足y(M) = y0的解都是唯一存在的 又由dx 71nly1xxxcex.ce . 一一 一一，ce -可得方程的通解为y = ±e ，其中y = e为上半平面的通解，y=-e 为 下半平面的通解，它们不可能与y=0相交.注意到y=0是方程的解，因此对x轴上的任 一点 仇,0)，只有y =0通过，从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的.但是I f (x, y) 一 f (x,0) |=| yln | y|=| ln | y | y|因为1m|ln | y |="，故不可能存在L>0,使得| f(x,y)

21、-f(x,0)|<L|y|所以方程右端函数在 y = 0的任何邻域并不满足 Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件2) 考虑一阶隐方程F(x,y,y)=0(3.(12)由隐函数存在定理，若在(,y0,y0)的某一邻域内F连续且F(%,y0,y0) = 0，而:F #0,则必可把y唯一地表为x, y的函数 Fyy1= f(x, y)(3.(13)并且f (x, y)于(x0,y0)的某一邻域连续，且满足y0 = f (x°, y°)如果F关于所有变元存在连续的偏导数，则f (x, y)对x, y也存在连续的

22、偏导数，并 且开汴/FF-/:2y2y ：:y(3.(14)显然它是有界的，由定理1可知，方程(3.13)满足初始条件的y(x0)=0解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点(Xo, Yo, y0)的某一邻域中：i ) F (x, y, y')关于所有变元(x, y, y)连续，且存在连续的偏导数;ii) F(Xo, Yo, Yo) =0lii)干(x0,y0,yo) =0 y则方程(3.12 )存在唯一的解y = y(x) | x - xo区h ( h为足够小的正数)满足初始条件y(xo) = yo，y (xo) = yo(3.15 )1、 近似计算和误差估计求方程近似解的

23、方法一一Picard的逐次逼近法j 'o (x) = yoxn(x)=yof( , n()dxox xo h对方程的第n次近似解Q(x)和真正解中(x)在|x-xomh内的误差估计式n(x)(x)|M：,hn1(n 1)!(3.16 )此式可用数学归纳法证明.x| o(x) - (x)|<| f( , ( )|d <M (x-xo) < Mhxo设有不等式成立，则| ：n(x)；(x)|EML-(x-xo)n n!"hn!| n(x)- (x)|< . |f(,xn()T( , ( )|dxEL. | xMLnn!.,：MLn平nK)中S)|dE(Jx

24、°)d xo(n+1)!,、n 1 . MLn 3(x -xo)h(n+1)!例1讨论初值问题dy 22dx=x y ,y(0)=。解的存在唯一性区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过 R: -1 _ x _ 1, -1 _ y _ 1 .0.05的近似解，其中,.一.一 . 一一 b.解 M = max | f (x, y | = 2, a = 1,b = 1,h = min a, (x, y”RM摄由于f.一 | H2y怪2 = L,根据误差估计式(3.16)1n(酢籍hn11:二 0.05 (n 1)!可知n =3.于是0(x)=。3x ccxi(x) = 0 x0(x)dx

25、32(X)=37：x2 T(x)dxW 633(X)=0x2f(x)dx =3711土上，.15X363 2079 59535 11%(x)就是所求的近似解，在区间-3 E X £万上，这个解与真正解得误差不超过0.05.他解的延拓上节我们学习了解的存在唯一性定理，当dy = f (x, y)的右端函数f (x, y)在Rdx，、r dy = f (x, y) “，t上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题<dx ( ,y)的解在|x-x0|Mh上存在且y° = y(x°)唯一.但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的.可能随着f(x, y)

26、的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1, ._ 2.1 当定义区域变为 R:-2MxM2,-2<yW2时，M = 8, h = min2, 一=一,解的范围缩841小为|x -X0 |<-.在实际引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解4的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大 范围的.1、饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微分方程dy = f(x,y) dx(3.(1)设y =5(x)是方程(3.1)定义在区间I1u R上的一个解，如果方程(3.1)还有一个定义在 区间I2uR上的另一解y=W(

27、x),且满足(1) I 1 匚 I2 ；但是 I1 # I 2(2)当xw I1时,中(x)三中(x)则称y =cp(x),xw I1是可延拓的，并称y =W(x)是y =(x)在12上的延拓.否则如果不 存在满足上述条件的解 y =中(x)，则称y =(P(x), xw |1是方程(3.1)的不可延拓解或饱 和解，此时把不可延拓解的区间I1称为一个饱和区间.2、局部李普希兹条件定义2若函数f(x, y)在区域G内连续，且对G内每一点P ,都存在以P点为中 心，完全含在G内的闭矩形域Rp ,使得在Rp上f (x,y)关于y满足李普希兹条件(对 p p于不同的点，闭矩形域 R的大小和李普希兹常数

28、 L可能不同)，则称 “*,丫)在6上 关于y满足局部李普希兹条件.定理3 (延拓定理)如果方程 dy = f (x, y)的右端函数f (x, y)在(有界或无界) dx区域G w R2上连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，则对任意一点(,yo) w G ,方程dy = f (x,y)以(%,yo)为初值的解中(x)均可以向左右延展，直到点(xF(x)任 dx意接近区域G的边界.以向x增大的一方来说，如果 y =*(x)只能延拓到区间上，则当 x-> m时， (xW(x)趋于区域G的边界。证明V(xo,yo)WG,由解的存在唯一性定理，初值问题dy = f(x,y)« dx

29、yo = y(xo)(1)存在唯一的解y=3(x),解的存在唯一区间为|XXo区hfo.取Xi = Xo +hb,y1 =q>(X)，以(X，y1)为中心作一小矩形 R1SG,则初值问题dy = f(x,y) dxy =y(xj存在唯一的解y =中(x),解的存在唯一区间为|x-XilEhp因为 中(Xi)(Xi),有唯一性定理，在两区间的重叠部分应有 5(x)=中(x),即当 x1 -h Ex Wx1 时邛(x) =(x).定义函数“)Jgxi- h0'' (x),Xo ho - X - Xo ho hi则y = 5*(x)是方程(3.1)满足(1)(或(2)的，在%h

30、。* + %上有定义的唯一的解.这样，把方程(3.1)满足(1)的解y = *(x)在定义区间上向右延伸了一段.即把解y = <p*(x)看作方程(3.1)的解y =3(x)在定义区间|x-X。|E ho的向右延拓，延拓到更大区间Xo - ho MxMxo+ho+hi.同样的方法，也可把解y =9(x)向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去，最后将得到一个解y =5(x),不能再向左右延拓了 .这个解称为方程(3.1)的饱和解.推论1对定义在平面区域 G上的初值问题其中(xo,y°),Gy = y(xo)若f (x, y)在区域G内连续且关于y满足局部Lipscht

31、iz条件,则它的任一非饱和解均可 延拓为饱和解.推论2 设y =邛仪)是初值问题dy - f(x V)dx f(x,y)其中(,y”GM = y(xo)的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I一定是开区间.证明 若饱和区间I不是开区间,不妨设I =(a,P,则(PW(P)w G,这样解y = (x)还可以向右延拓，从而y =9(x)是非饱和解，矛盾.对I =o(,B)时，同样讨论，即XT p(或 xtoc 时，(xW(x)tEG.推论3如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)通过(x0, y0)点的 解y=4x)可以延拓，以向x增大(减小)一方的延拓来说，有以下两种情况：(1)

32、解 y = 5(x)可以延拓到区间x0,+=°)(或(-°°,乂0);(2)解y =中(x)只可延拓到区间x0,m)(或(m,x0),其中为有限数，则当xt m时，或者y = <P(x)无界，或者点(x押(x)t cG .例1讨论方程dy =上二1分别通过点(0,0)和点(ln 2, -3)的解的存在区间. dx 2y2 -1 4解 此方程右端函数f (x, y) =在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及2解的延拓定理的条件.易知方程的通解为1 cexy 二；x1 -ce故通过点(0,0)的解为y = (1 ex)/(1 + ex),这个解的存在区间为 一

33、°°< x<+°°通过点(ln2,-3)的解为y =(1+ex)/(1-ex),这个解的存在区间为 0<x<"(如图所示).注意，过点(ln 2,-3)的解为y = (1+ex)/(1-ex)向右方可以延拓到收，但向左方只能延拓到 0,因为当Xt 0+日t yT q例2讨论方程dy =1十ln x过(1,0)点的解的存在区间. dx解 方程右端函数f(x, y)=1+lnx在右半平面xA0上满足解的存在唯一性定理 及解的延拓定理的条件.区域G(右半平面)是无界开域，y轴是它的边界.易知问题的解为y=xlnx,它于区间0&

34、lt;x<z 上有定义、连续且当xt。时， y t 0,即所求问题的解向右方可以延拓到代，但向左方只能延拓到0 ,且当xt 0时积分曲线上的点(x,y)趋向于区域G的边界上的点.例3考虑方程曳=(y2 a2)f (x,y),假设f(x, y)和fy (x, y)在xoy平面上连续, dx试证明：对于任意x。及yo| <a,方程满足y(x0)= y。的解都在(,)上存在.证明根据题设，易知方程右端函数在整个 xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又y = ±a为方程在(口,收)上的解，由延拓定理可知，对 Vx0,| y0 |<a ,满足y(x0) =

35、 y0的解y = y(x)应当无限远离原点，但是，由解的唯一性， y = y(x)又不能穿过直线y = ±a ,故只能向两侧延拓，而无限远离原点，从而解应在 (°0, +受)存在.注：如果函数f (x, y)于整个xoy平面上定义、连续和有界，同时存在关于y的一 阶连续偏导数，则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间-g<x<+°°.练习试证对任意x0,y0,方程 电=2 x2满足初始条件y(x。)=y。的解dx x y 1都在(-°0,收)上存在.S解对初值的连续性和可微性定理,- dy = f(x,y)、在初值问题dx中我们都是

36、把初值(Xo, y°)看成是固定的数值，然后再yo = y(xo)dy去讨论方程=f(x, y)经过点(Xo,y°)的解.但是假如(%,%)变动，则相应初值问题 dx的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x,还依赖于初值(x0,y。).例如：f (x, y) = y时，方程y' = y的解是y = cex,将初始条件y(x0) = y0带入，可得y = yoex".很显然它是自变量x和初始条件(x0,y0)的函数.因此将对初值问题电二 f(x,y)/,口4 dx的解记为 y =?(x,x0, yo),匕满足 yo =9(xo,xo,yo).j

37、o = y(xo)当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件y(%) = y0的解是唯一的，记为y = 5(x,xo,y。)，则在此 关系式中，(x, y)与(x0, yo)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式V。= (xo,x,y)证明 在方程(3.1)满足初始条件y(xo) = yo的解的存在区间内任取一点x1,显然Vi =中(x, y0),则由解的唯一性知，过点(xi, y)的解与过点(%, %)的解是同一条积 分曲线，即此解也可写为y = (x,x1，

38、)并且，有yo =邛(%,%,%).又由(x1,y1)是积分曲线上的任一点，因此关系式 yo =(xo,x,y)对该积分曲线上的任意点均成立.2 、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当 (xo,yo)变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续 依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数f(x, y)于某域D内连续，且关于y满足Lipschtiz条件(Lipschtiz 常数为L),则对方程(3.1)的任意两个

39、解邛(x)及中(x),在它们公共存在的区间内 成立着不等式| :(x)(x)|-| ：(Xo)二(Xo)|eL|x"|(3.17 )其中x0为所考虑区域内的某一值.证明设华(X),中(x)于区间a Ex Wb上均有定义，令V(x)=(x)，(x)2,a < x < b则V (x) =2 ：(x),(x) f(x, )- f(x,1-)于是 V (x).V (x)|=2| ：(x) -'- (x)| f(x, ：) - f(x,'- )|< 2LV(x)V(x)e=x -2LV(x)e2Lx < 0d2lx从而一(V(x)e? ) <0dx

40、所以，对V% wa,b,有V(x) MV(x0)e2L(3),x0 < x < b对于区间a Mx Wx0 ,令x wt,并记x0 <t0,则方程(3.1)变为dy = -f(-t,y) dx而且已知它有解y =*(-t)和y =甲(-t).类似可得 V(x) £V(x0)e2L(x°x,a < x < x0因此，V(x) HVlRLMTa m x Mb,a m x0 Mb两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设f(x, y)在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，如果=f (x,

41、 y)|,.(x°, y°) = G ,初值问题<dx'有解y =*(x, %, y°),匕于区间a Mx Wb上有70 = y(x°)定义(a<x0 <b),则对任意名>0 ,35 =d(£,a,b) >0 ,使得当(Xo Xo)2+(y° y°)2 «52 时，方程(3.1)满足条件 y(%) =y0 的解 y=5(x,%,%)在区 间a Ex Wb上也有定义，并且有(x/Xo/yo) - (x,Xo, yo)二；,a x_b.证明 记积分曲线段 S: y = (x, %,

42、yo)三甲(x), a W x Wb是xy平面上一个有界闭集第一步：找区域D ,使S仁D ,而且f (x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件.由已知条件，对V(x,y)W S,存在以它为中心的开圆 C,C = G ,使f(x, y)在其内关 于y满足Lipschitz条件.因此，根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 G(i =1,2，N)(不同的G ,其半径ri和Lipschitz常数L的大小可能不同),它们的全N体覆盖了整个积分曲线段S,令G=U Ci ,则SuGuG,对V£o,记i 1P = d(£G,S)P =min(% P/2),L = max(

43、L,Ln),则以S上的点为中心，以刈为半径的 圆的全体及其边界构成包含S的有界闭域D二G仁G ,且f (x, y)在D上关于y满足Lipschitz 条件，Lipschitz 常数为 L .第二步：证明3d =6(s,a,b) >0(6 <"),使得当(又。x。)2+伍y。)2及2时，解 y =¥(x) =9(x,x0,y0)在区间a Ex Mb上也有定义.由于D是一个有界闭域，且f (x, y)在其内关于y满足Lipschitz条件，由解的延拓定 理可知，解y =5(x) =?(x,见，口)必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点 为(c, (c)和(d

44、了(d) , c <d ,这时必有c Wa,d 2b.否则设c> a,d <b ,由引理有(x)(x)|(又)，(xo)|e3°1,c M x E d1利用中(x)的连续性，对a =3“e (),必有2 AO存在，使当|x-xo |M»时有| 中(x)-中(xo) |<6i,取 6 =min(6,62)，则当 G - x。)2 +(y0 -y。)2 «82 时就有| Xx)-1- (x)|2-| (xo) -1- (xo)|2 e2L|x'o1-2W G)-()| |(xoL &DV<2(| (xo) - (xo) |

45、2 | ：(xo)(xo)|2)e2L1x%| ：2(,i2|yo，|2)e2g一、"=2 (c<x<d)(3.18)于是对一切x£c,d,| *(x)-¥(x)|<"成立，特别地有| :(c)(c) | < , | ：(d)(d)|<即点(c*(c)和(dN (d)均落在域D的内部，这与假设矛盾，故解y = (x)在区间 a,b上有定义.第三步 证明|甲(x)7(x)K%a «x«b.在不等式(3.18)中将区间c,d换成a,b,可知当(x° x°)2 +(y° -y

46、76;)2 «52时,就有(x,x0,yo) - (x,xo, yo);二；，a 一 x 一 b.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，则方程(3.1) 的解y =cp(x,x0, y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内是连续的.证明 对字(%, yo) w G ,方程(3.1)过(%,yo)的饱和解y二中仁,小)。)定义于 (M, yo) ExEB(xo,yo)上，令V =(x,x°,yo) | :(xo,yo) 一 x 一 ：(xo,yo),(x0, yo) G

47、下证y:甲汽,小)。)在V上连续.对 V(x,xo, yo)w V , -a,b,使解 y = (x,xo,yo)在a,b上有定义，其中 x,x a,b.对>0,使得当(xo xo)2 +(yo yo)2时，中(x,xo,yo) -(x,xo, yo) <-2,a <x <b又y =%x,x0,yo)在xw a,b上对x连续,故泰2 >0,使得当|x x|W62时有，tp(x, xo, yo)中(x, xo, yo) <-,x,x = a, b2取 6 = min(4,62)，则只要(x -x)2 +(x0 -x0)2 +(y0 - y0)2 W62就有(x

48、,xo,yo) -(x,xo, yo)-| (x,xo,yo) - (x,xo,yo) | | (x,xo,yo) -(x,xo,yo)| z z< 一十 = z2 2从而得知y =9(x,x0, y0)在V上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数人的微分方程dy f (x, y, )G , : (x, y) G,三生dx(3.19)如果对V(x, y,入)w G.,都存在以(x, y,为中心的球C匚G?,使得对任何(x,y1, K),(x, y2，九)w C ,成立不等式| f (x,yi, ) - f (x, y2, ) |< L | yi - y21其中L是与九无

49、关的正数，称函数f (x, y, A)在Gk内关于y 一致地满足局部的李 普希兹条件.由解的唯一性，对每一 w3,P),方程(3.19)通过点(比，丫0)乏6的解 是唯一确定的，记这个解为y = (x,x0,yo, 0).设f(x, y,昊)在G,内连续，且在G上内关于y 一致地满足局部的李普希兹条件， (xo,y。，) wG；,_,y =9(x,小，)是方程(3.19)通过区，丫。)的解，在区间 a<x<b± 有定义，其中a <x0 <b ,则对Vs >0,36 =8(%a,b) a 0,使得当，、2 ，一、2,、22(x0-x0)(y0 - 70)( 1 - 1 0) - -时，方程(3.19)通过点(x0,y0)的解y =中0收0