【全程复习方略】2014-2015学年高中数学（人教A版选修2-2）课件：1.2.2 导数的运算法则

1、第2课时导数的运算法那么问题问题引航引航1.1.导数的四则运算法则是什么导数的四则运算法则是什么? ?在使用运算法则时在使用运算法则时的前提条件是什么的前提条件是什么? ?2.2.复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么么? ?1.1.导数的四那么运算法那么导数的四那么运算法那么(1)(1)条件：条件：f(x)f(x)，g(x)g(x)是可导的是可导的. .(2)(2)结论：结论：f(x)f(x)g(x)=_.g(x)=_.f(x)g(x)=_.f(x)g(x)=_. =_. =_.f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(

2、x)g(x)+f(x)g(x) f xg x2f (x)g(x)f(x)g (x)(g(x)0)g(x)2.2.复合函数的求导公式复合函数的求导公式(1)(1)复合函数的定义：复合函数的定义：一般形式是一般形式是_._.可分解为可分解为_与与_，其中，其中u u称为称为_._.(2)(2)求导法那么：复合函数求导法那么：复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u)y=f(u)，u=g(x)u=g(x)的导数间的关系为：的导数间的关系为：yx=_.yx=_.y=f(g(x)y=f(g(x)y=f(u)y=f(u)u=g(x)u=g(x)中间变量中间变量yyu uu

3、ux x1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“，错误的打，错误的打“) )(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x，那么，那么f(x)=x2.(f(x)=x2.() )(2)(2)函数函数f(x)=xexf(x)=xex的导数是的导数是f(x)=ex(x+1).(f(x)=ex(x+1).() )(3)(3)函数函数f(x)=sin(-x)f(x)=sin(-x)的导数为的导数为f(x)=cosx.(f(x)=cosx.() )【解析】【解析】(1)(1)错误，错误，f(x)=xf(x)=x2 2+c(c+c(c为常数为常数).).(2)(2)正确，正确，f(x)=(xef(x)=(xe

4、x x)=e)=ex x+xe+xex x=e=ex x(x+1).(x+1).(3)(3)错误，错误，f(x)=cos(-x)(-x)=-cosx.f(x)=cos(-x)(-x)=-cosx.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)假设假设f(x)=2x+3f(x)=2x+3，那么，那么f(x)=_.f(x)=_.(2)(2)函数函数f(x)=2sinx-cosxf(x)=2sinx-cosx，那么，那么f(x)=_.f(x)=_.(3)(3)函数函数f(x)= f(x)= ，那么，那么f(

5、x)=_.f(x)=_.2x1【解析】【解析】(1)f(x)=2.(1)f(x)=2.答案：答案：2 2(2)f(x)=2cosx-(-sinx)(2)f(x)=2cosx-(-sinx)=2cosx+sinx.=2cosx+sinx.答案：答案：2cosx+sinx2cosx+sinx(3)f(x)=(3)f(x)= .= .答案：答案： 22()(x1) 22(x1)22(x1)【要点探究】【要点探究】知识点知识点1 1 导数的四那么运算法那么导数的四那么运算法那么1.1.导数的运算法那么的形式特点导数的运算法那么的形式特点(1)(1)两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的两个

6、函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差差的导数等于两个函数的导数的差. .该特点可以推广到多个函该特点可以推广到多个函数的情形数的情形. .(2)(2)导数的加减法那么，就是把每一个函数都求导然后再相加导数的加减法那么，就是把每一个函数都求导然后再相加减减. .(3)(3)导数的乘法法那么中两个式子中间是加号，导数的除法法导数的乘法法那么中两个式子中间是加号，导数的除法法那么中分子上的两个式子之间是减号，因此要注意两个函数的那么中分子上的两个式子之间是减号，因此要注意两个函数的位置关系位置关系. .2.2.应用导数公式的本卷须知应用导数公式的本卷须知(1)

7、(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算运算. .(2)(2)两个函数可导，那么它们的和、差、积、商两个函数可导，那么它们的和、差、积、商( (商的分母不为商的分母不为零零) )必可导必可导. .(3)(3)假设两个函数不可导，那么它们的和、差、积、商不一定假设两个函数不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导不可导. .(4)(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程简单的函数式后再求导，可简化求导过程. .【微思考】【微

8、思考】(1)(1)函数函数f(x)f(x)与与g(x)(g(x)0)g(x)(g(x)0)的商的导数能否看成的商的导数能否看成f(x)f(x)与与的乘积的导数？的乘积的导数？提示：提示：可以，可以，而而所以所以1g(x)f(x)1()(f(x)g(x)g(x)11f (x)f(x)()g(x)g(x) ，1221g (x)()(g(x) )g(x)g (x)g(x)g (x) ，2f(x)f (x)g(x)g (x)f(x)().g(x)g (x) (2)(2)能否利用导数运算法那么求出函数能否利用导数运算法那么求出函数y=tan xy=tan x的求导公式？的求导公式？提示：提示：y=(ta

9、n x)=y=(tan x)=sin x()cos x22222(sin x) cos x(cos x) sin xcos xsin x1.cos xcos xcos x【即时练】【即时练】1.f(x)=2(x-3)(x2+1)1.f(x)=2(x-3)(x2+1)，那么，那么f(x)=_.f(x)=_.2.2.函数函数y= y= 导数为导数为_._.【解析】【解析】1.f(x)=2x3-6x2+2x-61.f(x)=2x3-6x2+2x-6，f(x)=6x2-12x+2.f(x)=6x2-12x+2.2. 2. 答案：答案：2-12x+2 2. 2-12x+2 2. 2xx122222x(x

10、1)xx2xy.(x1)(x1) 22x2x(x1)知识点知识点2 2 复合函数的导数复合函数的导数复合函数求导的一般方法复合函数求导的一般方法(1)(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量适当选定中间变量. .(2)(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量特别要注意的是中间变量. .(3)(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法那么，求出各函根据基本函数的求导公式及导数的运算法那么，求出各函数的导数，并把中间变量转换成

11、自变量的函数数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数. .(4)(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四那么运算而成的复合函数的复合过程，对于经过多次复合及四那么运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法那么，从最外层开始由外及里逐函数，可以直接应用公式和法那么，从最外层开始由外及里逐层求导层求导. .【知识拓展】复合函数导数运算法那么证明【知识拓展】复合函数导数运算法那么证明设函数设函数u=(x)u=(x)在点在点x x处有导数处有导数ux=(x)ux=(x)，函数函数y=f(u)y=f(u)

12、在点在点x x的对应点的对应点u u处有导数处有导数yu=f(u)yu=f(u)，那么复合函数那么复合函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x处也有导数，且处也有导数，且yx=f(u)u(x).yx=f(u)u(x).证明：设证明：设x x有增量有增量xx，那么对应的，那么对应的u u，y y分别有增量分别有增量uu，y.y.因为因为u=(x)u=(x)在点在点x x处可导，所以处可导，所以u=(x)u=(x)在点在点x x处连续，处连续，因此当因此当x0 x0时，时，u0.u0.当当u0u0时，时， 且且故故即即yyx x=f(u)u(x).=f(u)u(x).yyuxuxx0u0yyli

13、mlimuu ，x0 x0 x0u0 x0yyuyulimlimlimlimlimxuxux ，【微思考】【微思考】(1)(1)要求函数要求函数 的导数，应该把它看成由什么函数构的导数，应该把它看成由什么函数构成的复合函数？求导步骤怎样？成的复合函数？求导步骤怎样？提示：提示：应该看成由应该看成由y= y= 和和u=xu=x2 2+x+x两函数复合形成的两函数复合形成的. .求导时先求导时先求求yyu u= = ，再求，再求uux x=2x+1.=2x+1.然后相乘即然后相乘即y=y=(2)(2)在不确定变量的情况下能否对函数在不确定变量的情况下能否对函数y=txy=tx2 2+t+t求导数？

14、求导数？t t为变为变量和量和x x为变量的求导结果是否一样？为变量的求导结果是否一样？提示：提示：不能，当不能，当t t为变量时为变量时y=xy=x2 2+1+1，当，当x x为变量时为变量时y=2tx.y=2tx.2yxx12u121u222112x1(2x1).2xx2 xx【即时练】【即时练】1.y=sin 2x1.y=sin 2x，那么，那么y=_.y=_.2.2.函数函数 的导数为的导数为_._.【解析】【解析】 1.y=cos 2x(2x)=2cos 2x.1.y=cos 2x(2x)=2cos 2x.2.2.答案：答案：1.2cos 2x 2.1.2cos 2x 2.2x1ye

15、22x12x1ye(x1)2xe. 2x12xe【题型示范】【题型示范】类型一类型一 应用导数的四那么运算法那么求导应用导数的四那么运算法那么求导【典例【典例1 1】(1)(1)设设f(x)=(2x-1)(3-x)f(x)=(2x-1)(3-x)，那么，那么f(0)=_.f(0)=_.(2)y=xsinxlnx.(2)y=xsinxlnx.【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中一般如何求中一般如何求f(x).f(x).2.2.题题(2)(2)中如何求中如何求3 3项积的导数项积的导数? ?【探究提示】【探究提示】1.1.一般先展开，利用和差的导数运算法那么求导，一般先展开，利用和差

16、的导数运算法那么求导，但也可用积的导数运算法那么求导但也可用积的导数运算法那么求导. .2.2.当式中有当式中有3 3项或多于项或多于3 3项的积时，一般把其中的两项看成一项项的积时，一般把其中的两项看成一项求导求导. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)方法一：因为方法一：因为f(x)=-2xf(x)=-2x2 2+7x-3+7x-3，所以所以f(x)=-4x+7f(x)=-4x+7，所以，所以f(0)=7.f(0)=7.方法二：因为方法二：因为f(x)=(2x-1)(3-x)+(2x-1)(3-x)f(x)=(2x-1)(3-x)+(2x-1)(3-x)=2(3-x)+(2x-1)(-1

17、)=2(3-x)+(2x-1)(-1)=7-4x=7-4x，所以所以f(0)=7.f(0)=7.答案：答案：7 7(2)y=(xsinxlnx)=(xlnx)sinx(2)y=(xsinxlnx)=(xlnx)sinx=(xlnx)sinx+(xlnx)(sinx)=(xlnx)sinx+(xlnx)(sinx)=(1lnx+x )sinx+(xlnx)cosx=(1lnx+x )sinx+(xlnx)cosx=lnxsinx+sinx+xlnxcosx=lnxsinx+sinx+xlnxcosx，所以所以y=sinx+lnxsinx+xlnxcosx.y=sinx+lnxsinx+xlnxc

18、osx.1x【方法技巧】求函数的导数的策略【方法技巧】求函数的导数的策略(1)(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法那么求导数据导数的运算法那么求导数. .(2)(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个两个函数的积、商的导数计算函数的积、商的导数计算. .【变式训练】【变式训练】求求f(x)=-ln x+ f(x)=-ln x+ 的导数的导数. .【解析】【解析】f(x)=(2xf(x)=(2x-2-2-ln x)=2(-2)x-ln x)=2(-2)x-3

19、-3- =- =22x1x234x.x【补偿训练】假设【补偿训练】假设 那么那么y=( )y=( )【解析】选【解析】选A.A.因为因为所以所以21xysin x，2222222xsin x(1x )cos xA.sin x2xsin x(1x )cos xB.sin x2xsin x(1x )C.sin x2xsin x(1x )D.sin x21xysin x，222(1x ) sin x(1x )(sin x)ysin x 222xsin x(1x )cos x.sin x类型二类型二 复合函数的导数运算复合函数的导数运算【典例【典例2 2】(1)(1)假设函数假设函数f(x)= f(x

20、)= 的导数为的导数为f(x)f(x)，那么，那么f(1)=_.f(1)=_.(2)(2)求以下函数的导数求以下函数的导数41(1 3x)y12xcos x.22log (x2x 3)y3.【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的函数可以看成是由哪些基本函数复中的函数可以看成是由哪些基本函数复合而成？合而成？2.2.对题对题(2)(2)中的函数求导应该按照怎样的步骤进行？中的函数求导应该按照怎样的步骤进行？【探究提示】【探究提示】1.1.可以看成由幂函数可以看成由幂函数y=u-4y=u-4和一次函数和一次函数u=1-3xu=1-3x复复合而成的合而成的. .2.2.由于由于 是两个

21、函数是两个函数 与与y=cos xy=cos x的乘积，的乘积，而其中而其中 又是复合函数，所以在对此函数求导时可分两步又是复合函数，所以在对此函数求导时可分两步进行，第一步应先用乘积求导法那么进行求导，第二步再利用进行，第一步应先用乘积求导法那么进行求导，第二步再利用复合函数求导法那么对复合函数求导法那么对 求导求导. .y12xcos xy1 2x12x12x【自主解答】【自主解答】(1)y=f(x)= =(1-3x)-4(1)y=f(x)= =(1-3x)-4设设y=u-4y=u-4，u=1-3xu=1-3x，那么，那么f(x)=yx=yuux=(u-4)u(1-3x)xf(x)=yx=

22、yuux=(u-4)u(1-3x)x=-4u-5(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=-4u-5(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=f(1)=f(1)=答案：答案：41(1 3x)512(1 3x)5123.(1 3)8 38(2)(2)y= cos xy= cos x，由于由于y= cos xy= cos x是两个函数是两个函数y= y= 与与y=cos xy=cos x的乘积，的乘积，y=( )cos x - sin xy=( )cos x - sin x12x12x12x12x12x( 2)cos x1 2xsin x2 1 2xcos x1 2xsin x.1 2x令令y

23、=3uy=3u，u=log2vu=log2v，v=x2-2x+3v=x2-2x+3，那么那么yu=3uln 3yu=3uln 3，uv=uv=vx=2x-2vx=2x-2，所以所以yx=yx=1vln 2，22log (x2x 3)2(2x2) 3ln 3(x2x3)ln 222log (x2x 3)222log 3 (x1)3.x2x3【延伸探究】【延伸探究】在本例在本例(2)(2)中，将中，将cos xcos x换为换为sin xsin x，当，当x=0 x=0时其时其导数值是多少？导数值是多少？【解析】【解析】y=( )sin x+ cos xy=( )sin x+ cos x当当x=0

24、 x=0时，时，y=1.y=1.y12xsin x，12x12x( 2)sin x12xcos x2 12xsin x12xcos x12x ，【方法技巧】【方法技巧】1.1.求复合函数的导数的步骤求复合函数的导数的步骤2.2.求复合函数的导数的注意点求复合函数的导数的注意点(1)(1)内、外层函数通常为基本初等函数内、外层函数通常为基本初等函数. .(2)(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点复合函数导数时的易错点. .【变式训练】【变式训练】求求 的导数的导数【解题指南】【解题指南】先把原函数看成是幂

25、函数，再利用商的导数公式先把原函数看成是幂函数，再利用商的导数公式对内层函数求导对内层函数求导. .【解析】【解析】5xy1x15xy()1x，4545245246551xxy()()5 1x1x1x1xx( 1)()5 1x(1x)1x1()5 1x(1x)1x(1x)5 【补偿训练】求【补偿训练】求 的导数的导数. .【解析】令【解析】令y=u3y=u3，u=sin vu=sin v，v=2x+v=2x+那么那么yu=3u2yu=3u2，uv=cos vuv=cos v，vx=2vx=2，所以所以3ysin (2x)33，3ysin (2x)3 23sin (2x) cos(2x) 233

26、23sin(2x)sin(4x).33类型三类型三 与切线有关的综合问题与切线有关的综合问题【典例【典例3 3】(1)(1)函数函数y=2cos2xy=2cos2x在在x= x= 处的切线斜率为处的切线斜率为_._.(2)(2)函数函数f(x)=ax2+ln xf(x)=ax2+ln x的导数为的导数为f(x)f(x)，求求f(1)+f(1).f(1)+f(1).假设曲线假设曲线y=f(x)y=f(x)存在垂直于存在垂直于y y轴的切线，求实数轴的切线，求实数a a的取值范围的取值范围. .12【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中函数的导数是什么？中函数的导数是什么？2.2.题题

27、(2)(2)中，由曲线中，由曲线y=f(x)y=f(x)存在垂直于存在垂直于y y轴的切线，能得到什么轴的切线，能得到什么结论？结论？【探究提示】【探究提示】1.y=(1+cos 2x)=-2sin 2x.1.y=(1+cos 2x)=-2sin 2x.2.2.存在存在x(x0)x(x0)使使f(x)=0.f(x)=0.【自主解答】【自主解答】(1)(1)由函数由函数y=2cosy=2cos2 2x=1+cos 2xx=1+cos 2x，得，得y=(1+y=(1+cos 2x)=-2sin 2xcos 2x)=-2sin 2x，所以函数在，所以函数在 处的切线斜率为处的切线斜率为-2sin(2

28、-2sin(2 )=-1. )=-1.答案：答案：-1-1(2)(2)由题意，函数的定义域为由题意，函数的定义域为(0(0，+)+)，由由f(x)=axf(x)=ax2 2+ln x+ln x，得，得f(x)=2ax+f(x)=2ax+所以所以f(1)+f(1)=3a+1.f(1)+f(1)=3a+1.x12121x，方法一：因为曲线方法一：因为曲线y=f(x)y=f(x)存在垂直于存在垂直于y y轴的切线，故此时切轴的切线，故此时切线斜率为线斜率为0 0，问题转化为，问题转化为x0 x0范围内导函数范围内导函数f(x)=2ax+ f(x)=2ax+ 存在存在零点，零点，即即f(x)=0f(x

29、)=02ax+ =02ax+ =0有正实数解，有正实数解，即即2ax2ax2 2=-1=-1有正实数解，故有有正实数解，故有a0a0 x0范围内导函数范围内导函数f(x)=2ax+ f(x)=2ax+ 存在零存在零点，点，即即f(x)=0f(x)=0 =-2ax =-2ax有正实数解，有正实数解，令令y= y= ，y=-2axy=-2ax，当当a=0a=0时，曲线时，曲线y= y= 与直线与直线y=0y=0无交点；无交点；当当a0a0时，曲线时，曲线y= y= 与直线与直线y=-2axy=-2ax无交点；无交点；当当a0a0时，曲线时，曲线y= y= 与直线与直线y=-2axy=-2ax有交点

30、有交点. .所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是(-(-，0).0).1x1x1x1x1x1x【方法技巧】关于复合函数导数的应用及其解决方法【方法技巧】关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用程，切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用. .(2)(2)方法：先求出复合函数的导数，假设切点那么求出切线斜方法：先求出复合函数的导数，假设切点那么求出切线斜率、切线方程率、切线方程 假设切点未知，那么先设出切点，用切点表假

31、设切点未知，那么先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标示切线斜率，再根据条件求切点坐标. .总之，切点在解决此类总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用问题时起着至关重要的作用. .【变式训练】【变式训练】20142014江苏高考在平面直角坐标系江苏高考在平面直角坐标系xOyxOy中，中，假设曲线假设曲线y=ax2+ (ay=ax2+ (a，b b为常数为常数) )过点过点P(2,-5)P(2,-5)，且该曲线在点，且该曲线在点P P处的切线与直线处的切线与直线7x+2y+3=07x+2y+3=0平行，那么平行，那么a+ba+b的值是的值是_._.bx【解析】曲线【解析】曲线

32、y=ax2+ (ay=ax2+ (a，b b为常数为常数) )过点过点P(2,-5),P(2,-5),那么有那么有4a+ =4a+ =5,5,又该曲线在点又该曲线在点P P处的切线与直线处的切线与直线7x+2y+3=07x+2y+3=0平行，平行，由由y=2axy=2ax 得得联立两式解得联立两式解得 那么那么a+b=a+b=3.3.答案：答案：3 3bxb22bxb74a,42a1,b2,【补偿训练】【补偿训练】(2014(2014西安高二检测西安高二检测) )曲线曲线f(x)=f(x)=在点在点(1(1，f(1)f(1)处的切线方程为处的切线方程为_._.【解析】由得【解析】由得f(0)=

33、f(0)=所以所以所以所以f(x)=f(x)=所以所以f(1)= f(1)= 即即f(1)=ef(1)=e，从而从而f(x)=ex-x+ x2f(x)=ex-x+ x2，f(x)=ex-1+xf(x)=ex-1+x，所以所以f(1)=e- f(1)=e- ，f(1)=ef(1)=e，故切线方程为故切线方程为y-(e- )=e(x-1)y-(e- )=e(x-1)，即，即y=ex- .y=ex- .答案：答案：y=ex- y=ex- x2f (1)1ef(0)xxe2f (1)e，x2f (1)f (1)1f(x)exxee2，xf (1)f (1)exee ，f (1)f (1)e1ee ，1212121