圆锥曲线知识点梳理

1、圆锥曲线1. 圆锥曲线的定义：(1)已知定点Fi(；,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是(2)方程 J(x 一6)2 + y2 -J(x *6)2 + y2 =8表示的曲线是2. 圆锥曲线的标准方程2 2(1) 已知方程 y1表示椭圆，则k的取值范围为 3+k 2-k(2)若x,yw R，且3x2+2y2 =6，则x + y的最大值是 ，x2十y2的最小值是2 2(1)双曲线的c _，且与椭圆a 2 +1=1有公共焦点，则该双曲线的方程 £ f f2的双曲线C过点a94(2) 设中心在坐标原点 0，焦点F1、F2在坐标轴上,P(4,-ViO，则C的方程为 3

2、. 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：2 2如已知方程Xy一 =1表示焦点在y轴上的椭圆，贝y m的取值范围是m -12 m4. 圆锥曲线的几何性质：2 2 如(1)若椭圆=1的离心率，则m的值是5 ma 51时，则椭圆长轴(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 的最小值为如(1)双曲线的渐近线方程是 3x_2y=0,则该双曲线的-=a2 2- ,2 ,2,则两条渐近线夹角a(2)设双曲线 笃一占=1 (a>0,b>0)中,a b的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是5。直线与圆锥曲线的关系 女口( 1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y

3、 2=62 2(2)直线ykx 仁0与椭圆 0 +壬=1恒有公共点，贝U m的取值范围是 5 mX2(3) 3)过双曲线-1 则这样的直线有条(2) 已知抛物线方程为的焦点的距离等于;(3) 若该抛物线上的点2(4) 点P在椭圆-y2592=1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若|AB |= 4,y2 =8x,若抛物线上一点到 y轴的距离等于5,则它到抛物线2M到焦点的距离是 4,则点M的坐标为2-=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，贝y点的横坐标为(5)抛物线y2 =2x上的两点A、B到焦点的距离和是 5，则线段AB的中点到y轴的 距离为2 2(6)椭圆y 143MP +2MF|

4、之值最小，则点6、焦点三角形如 (1)短轴长为.5，内有一点P(1,-1) , F为右焦点，在椭圆上有一点M的坐标为M，使c 22的椭圆的两焦点为 Fi、F2，过Fi作直线交椭圆于 A、a 3B两点，贝U AABF2的周长为_x2 y2 = a2(a . 0)右支上一点,Fi、F2是左右焦点，若(2)设P是等轴双曲线PF2 F1F2 =0, |PFi|=6,则该双曲线的方程为 2 2(3) 椭圆X y 1的焦点为Fi、F2,点P为椭圆上的动点，当 PF2 PFi <0时，点94P的横坐标的取值范围是 r(4) 双曲线的虚轴长为 4, - = 6 , Fi、F2是它的左右焦点，若过 Fi的

5、直线与双曲线a 2的左支交于 A B两点，且 AB 是AF2与BF2I等差中项，则 AB =(5) 已知双曲线的£为2, Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且.FiPF 60 ,aSpFiF2 =12.3 求该双曲线的标准方程22l如与双曲线 Z_Z=i有共同的渐近线，且过点 (£,2U3)的双曲线方程为 9167、弦长公式：如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A (xi, yi) , B (x?,y2)两点，若Xi+X2=6，那么|AB|等于(2)过抛物线y2 =2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10, O为坐标原点，贝U ABC重心的横

6、坐标为8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。2 2如(1)如果椭圆- y 1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是3692 2(2)已知直线 y= x+1与椭圆 务占=1(a b 0)相交于A、B两点，且线段a bAB的中点在直线L : x 2y=0上，则此椭圆的方程为 2 23)试确定m的取值范围，使得椭圆 - 1上有不同的两点关于直线 y =4x m对称439. 动点轨迹方程如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于 4，求P的轨迹方程.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程， 再由条件

7、确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m . 0)，端点A、B到x轴距离之积为 2m，以x轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；女如(1)由动点P向圆x2 y2 =1作两条切线PA PB,切点分别为 A B,Z APB=60,则 动点P的轨迹方程为(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：X，5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是;2 2 2 2(3) 一动圆与两圆O M x y =1和O N： x - y -8x *12=0都外切，则动圆圆 心的轨迹为代入转移法：动点P(x, y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且 Q(x0, y0) 又在某已知曲线上，则可先用x, y的代数式表示x0,y0 ,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y =2x2 1上任一点，定点为 A(0,-1)，点M分 PA' 所成的比为2, 则M的轨迹方程为参数法：当动点P(x, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可 考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。女口(1)AB是圆O的直径，且|AB|=2a,M为圆上一动点，作MNL AB 垂足为