2021年江苏高考数学二轮练习：解答题专题练(六)函数、导数

1、解答题专题练(六)函数、导数(建议用时：40 分钟)1 .已知函数 f(x)= mx , g(x) = 3ln x.X(1)当 m= 4 时，求曲线 y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；若 x (1, e (e 是自然对数的底数)时，不等式 f(x) g(x)v3 恒成立，求实数 m 的取 值范围.1i2.(2019 连云港期末)已知函数 f(x)= 3X3 mx4 5 x+-m,其中 m R.(1)求函数 y= f(x)的单调区间；若对任意的 X1, X2 1, 1，都有|f(X1) f (x2)|w4，求实数 m 的取值范围;求函数 f(x)的零点个数.3.(2019 连云港三

2、校联考)已知函数 f(x) = In x, g(x) = f(x) + ax2+ bx,其中函数 y= g(x)的图象在点(1, g(1)处的切线平行于 x 轴.(1)确定 a 与 b 的关系；若 a0,试讨论函数 g(x)的单调性；1 设斜率为 k 的直线与函数 y= f(x)的图象交于两点 A(X1, y1), B(X2, y2)(X1X2)，求证：二21入4.已知函数 f(x)=+ (a, b,入为实常数).x a x b(1)若 A 1, a = 1.1当 b= 1 时，求函数 f(x)的图象在点(，2, f( 2)处的切线方程；X14kc)参考答案与解析441 .解：(1)当 m=

3、4 时，f(x) = 4x 一,f (x)= 4+ 二，f (2) = 5,xx又 f(2) = 6,所以所求切线方程为 y = 5x 4.由题意知，x (1 , ,e 时，mxm 3ln xv3 恒成立，即 m(x2 1)v3x + 3xln x 恒成立, x因为 x (1, e ，所以 x2 1 0,贝 U mv3乂：严：x恒成立.x I令 h(x)=罕聲 X, x (1 , e ，则 mvh(x)min, h (x) =3( X? +6)ln x63 (x2+ 1) In x+ 6 (x2 1)2,因为 x (1, ,e ，所以 hx)v0,即 h(x)在(1, . e 上是减函数. 所

4、以当 x (1, e 时，h(x)min=h( ,e) =2(：*).所以 m 的取值范围是(一a,9 ;e).2e 27622 1=mx2 3x0+ 3m =所以极大值为 f(m m2+ 1) = 2(m-Jm2+ 1) (m2+ 1)0,_ 2 _(x2 1)22.解：(1)fx)= x1 7 8 2mx 1,由 fzx) 0 得 x m+ m2+ 1.故函数 f(x)的单调增区间为(一g,m m2+ 1), (m+ m2+ 1,+ )，单调减区间为(m m2+ 1， m+m2+ 1).(2) “对任意的 X1, X2 1, 1,都有 |fx() f (x2)|w4” 等价于“函数 y=

5、fx), x 1, 1的最大值与最小值的差小于等于4 ”.对于 f x)= x2 2mx 1，对称轴为直线 x= m.当 m 1 时，f (x)的最大值为 f (1)最小值为 f ( 1).由 f (一 f 1)w4,即一 4mw4，解得 m一 1(舍去);当一 1wmW1 时，f (x)的最大值为 f (1 或 f ( 1)，最小值为 fm).f (1)f (m)w4,f(1) f ( m)w4极小值为 f(m+ m2+ 1) = -(m+ . m2+ 1) (m2+ 1)0),m22m3w0,m2+2m3w解得1wmw1 ；当 m1 时，f (x)的最大值为 f 1)，最小值为 f (1)

6、. 由 f1) f(粹 4,即 4mw4 解得 mw1(舍去).综上，实数 m 的取值范围是1, 1.(3)由 fx) = 0 得 x2 2mx 1 = 0,因为= 4m2+ 40 ,所以 y= f(x)既有极大值也有极小值.设 f x0) = 0,即 x2 2mxo 1 = 0,1 1则 f (x)= x0 mx0 X0+ m当 x1 时，g (x)0),当 Ovxvl 时，g (x)0，所以函数 g(x)在(0, 1)上单调递增;1i当0vavi，即 2a7时，12a x-石(x-1)x1所以函数 g(x)在 1,亦上单调递减;1函数 g(x)在 2a，+m和(, 1)上单调递增；1/ x

7、 1)83当 a= -,!卩 2a = 1 时，g (x)= -(x),2所以函数 g(x)在( ,+ )上单调递增；即 Inx2v2 1,X1X11令 H(x) = In x+ 一 1(1),7 1 一 1则H，xj = 12= (1),(x0),1 1当a1,即 2av1时，(x)=2a x亦(X 1) (x),1所以函数 g(x)在 2a，1 上单调递减;函数 g(x)在(1 ,1+m)和,丁上单调递增2a证明：由题设 X2X10 ,111 ln X2 In X11所以一 vkv?v-vX2X1X2X2 X1X1-X2 X1X2 X1? vln X2 In v X2X1c , 1 X2X

8、2 ,金 ? 1 一 vln2v2 1,X1X1X11 1 一 令 h(x)= In x x+1(1)，贝Uhx) =一一 1 =-(1), 所以1 时，h (x)1 时，h(x)vh(1) = 0.因为 X2X1,所以一1 ,X1所以h2=噹2, c2+1v，所以 x1 时，H (x)0，所以 H(x)在(1,+s)上是增函数,所以 x1 时，H(x)H(1)= 0,X2X21所以 H = In + 10,X1X1X2X11X2即 1 1(x 1)2( x b)2(x 1)2(x b)2b+ 12 (b 1) x (x 1)2(x b)2.因为 bv0，贝 U b1v0，且 bv穿v,b+

9、1故当 bvxv厂时，f(x) 0, f(x)在 b ,b+ 1号上单调递增;f (x)v0,f(x)在b+ 1tb+ 11(】)当*31bw 3 时，怒)在13,12 上单调递减,所以f(x)max= f9b9 ；2 6b；(ii )当 3v *112V2,1即3vbv0时,f(x)max= f 号=-.2 b 1综上所述,f(x)max=4b1,13bx b 时，不等式(*)可化为(x a)+ (x b) 0,设 g(x)= x2 (a + b+ 2)x+ (ab+ a+ b),因为= (a b)2+ 4 0,所以 g(x)有两个不同的零点，设为冷，x2(xivX2),又 g(a)= b av0, g(b) = a b 0，且 bva,因此 bvxivavX2,所以当 axb 时，不等式 x2 (a + b + 2)x+ (ab+ a + b)0 的解为 bvxa 时，不等式(*)可化为(x