圆锥曲线解题技巧(附例题)汇编

1、圆锥曲线解题技巧及例题汇编1、定义法(1 )椭圆有两种定义。第一定义中，m+r2=2a。第二定义中，ri=edi2=ed2。(2) 双曲线有两种定义。第一定义中，几-r2 =2a，当ri>r2时，注意 匕的最小值为c-a:第二定义中，ri =edi，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3) 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直 接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥

2、曲线问题的重点方法之一，尤其是 弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生 弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：2 2(1) X2 2 =i(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦AB中点为M(Xo,yo)，则有 笃冷k=0。 a ba

3、b2 2(2) 务-与=i(a 0,b 0)与直线I相交于A、B，设弦AB中点为M(xo,yo)则有 马一誇k=0 a ba b(3) y2=2px ( p>0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(X0,y。),则有 2y°k=2p,即 yok=p.【典型例题】例1、(1)抛物线 C:y2=4x上一点P到点 A(3,4 - 2 )与到准线的距离和最小,则点P的坐标为1H6(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为 分析：(1)A在抛物线外，如图，连 PF,贝y PH| =|PF，因而易发现， 当A、P、F三点共线时

4、，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R，则当B、Q、R三点共线时， 距离和最小。解：(1) (2,2 )连PF,当A、P、F三点共线时，AP + PH| =|AP + PF最小，此时AF的方程为y =处2 _0仪_1) 3-1即y=2 .2 (x-1),代入y2=4x得P(2,- 2 ),(注：另一交点为(丄，“2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，2舍去)1(2) ( ,1 )4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时，BQ QF| |BQ - QR最小，此时 Q点的纵坐标为111，代入 y2=4x 得 x=，二 Q( 1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点

5、线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2例2、F是椭圆- y 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。yA J卜* JHF0fFx43(1) PA + PF的最小值为(2) PA +2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考 虑问题。解：(1) 4- , 5设另一焦点为F ，则F (-1,0)连A F ,PFPA +|PF =|PA +2a - PF ' =2a -( PF ' - PA) Z2a-=4-75当P是F 'A的延长线与椭圆的交点时，PA +1 PF取得最小值为4-J5。(2) 3ccc1作

6、出右准线 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3 , c2=1,a=2, c=1, e=,21PF| =_|PH ,即2 PF| = PH PA +2PF| = PA + PH2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为一 xA =4 -1 =3c2222例3、动圆M与圆G：(x+1) +y =36内切，与圆C2：(x-1) +y =4外切,求圆心M的轨迹方程。C M D 0B-分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点 共线(如图中的 A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动 圆的“半径等于半径”(如图中的 MC =|MD )。解：如图，MC

7、 = MD , AC - MA = MB - DB即6 - MA =|MB -2MA + MB =8(*)2 2点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1 , b2=l5轨迹方程为 =11615点评：得到方程(* )后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出.(x 1)2 - y2 -(x1)2 - y2 =4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例 4、 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C-s in B=si nA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R (R为外接

8、圆半径)，可转化为边长的关系。-2RsinA解：si nC-si nB= 3 si nA2Rsi nC-2Rsi nB= 35 AB即AB AC =6(*)点 A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)/ 2a=6, 2c=10-a=3,c=5,b=4所求轨迹方程为2 2x y d1(x>3)916点评:要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。A(X1,X12), B(X2, X22)，又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y。关于X。的函数表达式，再用函数思想求出最

9、短距离。分析:(1 )可直接利用抛物线设点，如设(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M到准线的距离，想到用定义法。2 2解法一： 设 A(X1, X1 ), B(X2, X2), AB 中点 M(xo, yo)(X1 -X2)2(X12 -x；)2 =9X1 *X2 =2x。2丄 2cX1 十 X2 =2yo2 2由得(X1-X2) 1+(X 1+X2)=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(X 1+X2)2=9由、得 2x 1 X2=(2x o)2-2yo =4x o2-2y 0代入得 (2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9294yo -4xo2 ,1 +

10、4xg29294yo =4Xo2 = (4Xo 1)214Xo4Xo +1> 2 9 一 1 = 5,yo 亠54当 4xo2+1=3725<2 5即x-T时，(yo)min蔦此时M(-亍J法二：如图，2|MM2 =|AA2+|BB2 =|AF|+|BF| 曰 AB =313AV,yMBr ./A10MB1A曲庄即 MM 1 +_启-,42MM 1 >-,当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1, X2,从而形成yo关于xo的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M到x

11、轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验 证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。2 2例6、已知椭圆 D 1(2乞m乞5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次m m T变于 A、B、C、D、设 f(m)= | AB CD| , (1)求 f(m), ( 2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B在椭圆上，同样 C在椭圆上

12、，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防f (m) = (Xb - Xa)V2-(Xd - Xc)V2 = V2|(Xb - Xa)-(Xd - Xc)|=-2(XB '忑)- (Xa ' Xd)-2|(Xb Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：(1)椭圆1 中，a2=m， b2=m-1，c2=1，左焦点 Fi(-1,0)m m -1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=022(2m-1)x +2mx+2m-m =0设 B(x1,y1),C(X2,

13、y2),则 X1 +x2=-(2 一 m 一 5)2m 1f(m) =|AB -CD| = V2|(Xb -Xa)-% -Xc)(2) f(m)匸22m-1 ,2( 1 )2m-12m-1当 m=5 时，仃、10血f(m)min9r当m=2时，4 - 2f (m)max3点评：此题因最终需求Xb Xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为 M(xo,yo),通过将 B、C坐标代入作差，得yk = 0，将 yo=xo+1 , k=1 代入得0 = 0 ,m m-1m m1X0 =m2m -1，可见XbXc2m2m 1当然，解本题的关键在于对f (m) = | AB - CD|的认

14、识，通过线段在x轴的“投影”发现f (m) = XB +xC是解此题的要点。【同步练习】2 21、已知：F1,2是双曲线x_ y =1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点a b ABF?的周长为(A、4aB、4a+mC、 4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1贝U P点的轨迹方程是A、y2=-16x2=-32x 2 _C、 y =16xD、 y2=32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且 AB A | AC，点B、C的坐标分别为(-1 , 0),(1 , 0)，则顶点A的轨迹方程是(2 2xy143= 1(x 0)

15、2 2x-1(x : 0)432 2x 丄yD、43= 1(x0且 y = 0)4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是a、(x 一2 y2=9)B、(x 2)2 y2x2(y£221 2D、x (y )22 x 已知双曲线2=1上一点916抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方程是M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是2 2&过双曲线x -y =4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、 直线y=kx+1与双曲线 x -y =1的交点个

16、数只有一个，则k=2 210、设点P是椭圆 = 1上的动点，F- F2是椭圆的两个焦点，求 sin / F1pf2的最大值。5911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2 , 1), AB =4. 3，求直线I的方程和椭 圆方程。12、已知直线I和双曲线2x2a2=1(a0,b - 0)及其渐近线的交点从左到右依次为b2A、B、C、D o求证：AB = CD【参考答案】1、CAF2 - AF1 =2a, BF2 - BR =2a ,AF2| + BF2 - AB =4a, AF2| +

17、|BF2 + AB = 4a + 2m,选 C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选C3、D/ AB 十 AC| = 2 汉2，且 AB >|AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰0，故选D。4、A设中心为(x, y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为 4得1 . (21)2 (2y)24 ,(x)2y2又 c<a,. . (x -1)2y2 : 2(x-1)2+y2<4 ，由，得 XM -1,选 A2999295 29左准线为x=- , M到左准线距离为 d

18、=4 (-)= 一 则M到左焦点的距离为 ed =-5553 5293116、x (y )22设弦为 AB , A(x i, yi), B(x2, Y2)AB 中点为(x, y)，则 yi=2x/, Y2=2x22, Yi-y2=2(xi2-X22)= 2(x-|x2) 2=2 2x , x = 1x _ x?21 111将x 代入y=2x2得y，轨迹方程是x (y> )2 22 227、y =x+2(x>2)设 A(X1, y) B(X2,2), AB 中点 M(x , y)，则2y1=2X1, y； =2X2, y： -y； =2(X1 X2), 空Xr _X2(y1 y；)

19、= 2kAB = k|MP-2 y = 2，即 y；=x+2x 2又弦中点在已知抛物线内P,即 y <2x，即 x+2<2x , x>28、4a =b = 4, C = 8, c = 2 2，令 x = 22 代入方程得 8-y；=42 y =4, y= ± 2,弦长为 49、一、2 或 _1y=kx+1 代入 x；-y；=1 得 x；-(kx+1) 2-1=02 2 (1-k )x -2kx-2=01 k2 # 0l 厂得 4k2+8(1-k；)=0, k= ± 屁A =0 1-k2=0 得 k= ± 122210、解：a =25 , b =9 , c =16设 F1、F；为左、右焦点，贝U F1(-4 , 0)F;(4, 0)设 PF1 利，PF；二 r；, RF； “ ” 则J卄2 =2日j2 +r2； -2订2 cosO =(2c)；2 ;-得 2r12(1+cos 0 )=4b2 24b _2b 1+COS 0 =2r1r；r1r； n+r； - 2 rj；, r1 r2 的最大值为a； 1+cos 0的最小值为2b；2 ,a即 1+cos 077-cosB,0 "： v：二-arccos 则当'=时，sinB取值得最大值1,25252即sin / Fi PF2的最大值为1