2021年江苏高考数学一轮复习讲义第7章第6节立体几何中的向量方法

1、i第六节 立体几何中的向量方法最新考纲能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹 角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.必备知识填充J1. 异面直线所成的角设 a, b 分别是两异面直线 li, |2的方向向量，则a 与 b 的夹角a, bll与 l2所成的角0范围0va, bv nn0|=jajbj2.直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a,平面a的法向量为 n,直线 l 与平面a所成的角0,贝Usin0=|cos a,n|=3.二面角(1) 如图，AB, CD 是二面角al-B的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小0=AB, CD.(2) 如图，

2、ni, n2分别是二面角al-B的两个半平面a, B的法向量，则二面角的大小0满足|cos0=|cosni, n2|，二面角的平面角大小是向量 ni与 n2的夹角(或其补角).知识拓展护參冬独与坍打除双基方点Ja=nJJaJJ2点到平面的距离43如图所示，已知 AB 为平面a的一条斜线段，n 为平面a的法向量，贝 U B 到平面a的距离为|Bb|= AB/1一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3) 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()nn两

3、异面直线夹角的范围是 0，2，直线与平面所成角的范围是 0,，二 面角的范围是0，n()答案(1)X(2)X(3)X V二、教材改编1.已知向量 m, n 分别是直线 I 和平面a的方向向量和法向量，若 cos m，1n= 2，则 I 与a所成的角为()A. 30B. 60C. 120D. 1501A 由于 cos m，n= 2，所以_3_ _J0 门_30= 10 0,7 BiM 与 DiN 所成角的余弦值为.故选 A.4.如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-AiBiCi的底面边长为 2,侧棱长为 2 .2，则 ACi与侧面 ABBiAi所成的角为_ .n如图，以 A 为原点，以

4、 AB, Afe（AE 丄 AB）, AAi所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴（如图）建立空间直角坐标系，设 D 为 AiBi的中点,则 A(0,0,0), Ci(i，3, 2 .：2), D(i,0,2，ACi= (i，.：3, 2 .：2), AD =(i,0,2./ CiAD 为 ACi与平面 ABBiAi所成的角,i, J3,聖i,0,22 _3竝xV9=2，n又/ CiAD 0, 2 ,/ CiAD= 6.cos/ CiAD =ACiAD|ACi|AD|8_+ 课堂考点探究 找囲甌書踐雀9考点 1 求异面直线所成的角E总 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直

5、线建立空间直角坐标系.确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.(3) 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4) 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.酸阳| (2017 全国卷U)已知直三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ ABC= 120 AB二 2, BC= CC1= 1,则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为()C 在平面 ABC 内过点 B 作 AB 的垂线，以 B 为原点，以该垂线，BA,BB1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz，则 A(0,2,0),B1(0,0,1), C12，1，C173,10cos A

6、B1,EBC1_AB1BC1_2_F0AB1| |B(C1|5X25故选 C.1.本例条件换为： “直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB_ BC_ AA1, / ABC_90母题探究点 E, F 分别是棱 AB, BB1的中点”，则直线 EF 和 BC1所成的角是_1160 以 B 为坐标原点，以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BBi为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.设 AB= BC = AAi= 2,贝 U Ci(2,0,2), E(0,1,0), F(0,0,1),二 EF=(0，-1,1)，BCi=(2,0,2)，二 EF BCi=2,2 1石X厂 2 二 2,则 EF 和

7、 BCi所成的角是 602.本例条件换为：“直三棱柱 ABC-AiBiCi中，底面为等边三角形，AAi=AB, N, M 分别是 AiBi, AiCi的中点”，贝UAM 与 BN 所成角的余弦值 为 .10 如图所示，取 AC 的中点 D，以 D 为原点，BD, DC, DM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设 AC = 2,则 A(0,- 1,0),M(0,0,2), B( :3, 0,0), N所以町， 心器 倍也-10 cos所以 AMl= (0,1,2), BN =12nEU 平两异面直线所成角的范围是旅 0, 2，两向量的夹角a的范围是0 ,n,当异面

8、直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.教师备选例题如图，四边形 ABCD 为菱形，/ ABC- 120, E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE-2DF，AE 丄 EC.(1) 证明：平面 AEC 丄平面 AFC;(2) 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.解(1)证明：女口图所示，连接 BD，设 BDAAC- G，连接 EG, FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB- 1.由/ ABC- 120 可得 AG -GC- 3.由 BE 丄平面

9、ABCD，AB- BC-2,可知 AE- EC.又 AE 丄 EC,所以 EG- .3,且 EG 丄 AC.在 RtAEBG 中,可得 BE- ,2,故 DF在 RtAFDG 中，可得 FG-13在直角梯形 BDFE 中，由 BD = 2, BE=2DF =孑，可得 EF= 弩，从 而 EG1 2+FG2= EF2，所以 EG 丄 FG.又 ACAFG= G，AC, FG?平面 AFC，所以 EG 丄平面 AFC.因为 EG?平面 AEC，所以平面 AEC 丄平面 AFC.(2)如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 所在直线为 x 轴、y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G

10、-xyz,1 求证：BD 丄平面 PAC;2 若 PA_AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值.14由(1)可得 A(0,.3, 0), E(1,0,、，F 1, 0,于,C(0, .3 0),所以 AE= (1，.3 . 2)， CF = 1， 3.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为Ek 纭 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，FA 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形,AB_2，ZBAD_60所以 AC 丄 BD.因为 PA 丄平面 ABCD，所以 FAXBD.又因为 ACnPA=A,所以 BD 丄平面 PAC.设 ACnBD=O.因为/ BAD= 60 PA= AB= 2

11、,所以 BO= 1, AO = CO= 3.如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz,则 P(0, .3, 2), A(0, .3, 0), B(1,0,0), C(0,；3, 0). 所以 PB= (1 , .3,2),AC= (0,2 .3, 0).故 cos AE，CFAE CF _3AE|CF|315设 PB 与 AC 所成角为 9,则PBAC _6_ _ J6|PB|AC|2-2X2 34(1)法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝

12、角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.酸加(2019 深圳模拟)已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PD =PB, H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交 PB, PD 于点M, N,且 BD /平面AMHN.(1) 证明：MN 丄 PC;(2) 当 H 为 PC 的中点，FA= PC= 3AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60求 AD 与平面 AMHN 所成角的正弦值.解(1)证明：连接 AC、BD 且 ACABD = 0,连接 PO.因为 ABCD 为菱形，所以 BD 丄 AC,cos9=即 PB 与 AC 所成角的余弦值为二6.誤爲临利用向量法求线面

13、角的 2 种方法16因为 PD = PB,所以 PO 丄 BD,因为 ACAPO = O 且 AC、PO?平面 FAC,所以 BD 丄平面 PAC,因为 PC?平面 PAC,所以 BD 丄 PC,因为 BD /平面 AMHN ,且平面 AMHNA平面 PBD= MN ,所以 BD / MN , MN 丄平面 PAC,17所以 MN 丄 PC.由(1)知 BD 丄 AC 且 P0 丄 BD,因为PA=PC,且 0 为 AC 的中点,所以 P0 丄 AC,所以 P0 丄平面 ABCD,所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为/ PAO,所以/ PAO= 60 所以 AO = 2PA,PO23PA,

14、以 OA, OD, OP 分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设 PA=2,所以 0(0,0,0),A(1,0,0),B 0,彳，0,C(-1,0,0),D0,f,0,P(0,0,.3), H |, 0,宁,所以 0,晋，0 ,AH= 3, 0,宁,AD= -1,扌 0 .设平面 AMHN 的法向量为 n = (x, y, z),2 *33 y 二, 即3 血 c*+亍=0,n BD= 0,所以 一nAH=0,因为 PA= ,3AB18z= 2,3,所以 n = (2,0,2.3),19设 AD 与平面 AMHN 所成角为 9,所以 AD 与平面 AMHN 所成角的正弦值为-43.京疔申 若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin3 49+cos2(A1求出其值不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求.洋(2019 浙江高考)如图，已知三棱柱 ABC-AiBiCi，平面 AiACCi丄平 面ABC,/ ABC = 90 / BAC= 30 AiA= AiC = AC, E, F 分别是 AC, AiBi的中点.3 证明：EF 丄 BC;4 求直线 EF 与平面 AiBC 所成角的余弦值.解法一：(几何法)(1)连接 Ai