双曲线的标准方程

1、双曲线的标准方程（第一课时）（一）教学目标掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线 标准方程.（二）教学教程【复习提问】由一位学生口答，教师板书.问题1:椭圆的第一定义是什么？问题2:椭圆的标准方程是怎样的？【新知探索】1.双曲线的概念如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生 什么变化？它的方程双是怎样的呢？（1）演示如图，定点耳、苒是两个按钉，期R是一个细套管，点鼠 移动时， 他园-明闻是常数，这样就画出双曲线的一支，由叱-囚牝1是同一个常数, 可以画出双曲线的另一支.这样作出的曲线就叫做双曲线.（2）设问定点耳、骂与动点M 不在同一平面内

2、，能否得到双曲线？请学生回答，不能.指出必须“在平面内”.M 到耳与居 两点的距离的差有什么关系？请学生回答，财 到耳 与居 的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线 的一支，即廊卜幽I是一个常数.这个常是否会大于或等区局?请学生回答，应小于忸阊且大于零.当常数诽向时，轨迹是以耳、居 为端点的两条射线；当常数,区为I时，无轨迹.(3)定义在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义：平面内与两个定点可、骂的距离的差的绝对值等于常数(小于 忸出) 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲 线的焦距.2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准

3、方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导.(1)建系设点取过焦点4、国的直线为或轴，线段吊尸的垂直平分线为厂轴建立在 直角坐标系(如图).设爪7)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为加匕 °)，则凰-G0)、 。可，又设点”与"、居的距离的差的绝对值等于常数2M加丈2G.(2)点的焦合由定义可知，双曲线上点的集合是W . 一 ：.(3)代数方程(4)化简方程由一位学生演板，教师巡视,将上述方程化为:., 二 移项两边平方后整理得：, 一两边再平方后整理得：由双曲线定义知2" 2 口即白 厘,.Y 厘Q ,工 1 j'

4、.2? Qf 1r 外、f= = l(d 0, S 0)设一支三国°)代入上式整理得：J投这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是即-G。)、曝心)，这里/ = /+/ .如果双曲线的焦点在尸轴上，即焦点死仇一)，居(0，/ ,可以得到方程y _Ld > 0, A > 0)这个方程也是双曲线的标准方程.教师应当指出：(1)双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方 程“一”号连接，(2)双曲线方程中 ，石 ，但也 不一定大于占 ;(3)如果X。的系数是正的，那么焦点在工轴上，如果/ 的系数是正的, 那么焦点在炉轴上，有别于椭圆

5、通过比较分母的大小来判定焦点的位置；(4)双曲线标准方程中芭、占、匕的关系是一二M十 ,不同于椭圆方 程中/ :.【例题分析】工+ 二=1例1说明：椭圆元 互一与双曲线/-I"" 的焦点相同.由一位学生板演完成，答案都是 仕4°).例2 已知两点 2。)、玛(羽 ,求与它们的距离的差的绝对值为 6 的点的轨迹方程.如果把上面的 6改为12,其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解解：按定义，所求点的轨迹是以 4、玛 为焦点的双曲线.这里q = 3 , 2 = 5 ,./=/= 25_9 = 15故所求双曲线的方程为+ = 19 16若2白二12，则2匕=10且2次

6、，所以动点无轨迹.(三)随堂练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)厘=4 , b = 3 .(2)焦点(0, 6) , (0, 6),经过点(2, 5).2,已知方程用/+郎:胭+耳3八：次十题),求它的焦点坐标.223,已知方程2+加加十1表示双曲线，求牌 的取值范围.I-工二1二一匕=1 匕-2=1 匕-土 =1答案：1. （1） 169 或 169； （2） 20 160, 土 J消一用2.1刑"J ; 3.一2 或海 -1（四）总结提炼1.双曲线定义融画一阿上助出父愀玛”（耳,邑为定点，冕为常数）|1尸图形4A .标准方程一。2- ifa > Os l-O)口

7、 t- - 1(口 >0. A > 0)焦点坐标瓦2）小，0） ?耳（0”）为他E） ?途，b产关系> dr > 0,>2) > 0)2 .双曲线的标准方程可统一写成'V-珍、1（月史°） .若,°产:°表 示焦点在K轴上的双曲线，若，入。则表示焦点在尸 轴上的双曲线.（五）布置作业1,已知平面上定点耳、居及动点M ,命题甲：枷用一1加玛上2。（厘 为常数）”，命题乙：" M点轨迹是4、居为焦点的双曲线”，则甲是乙的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .已知用（0T

8、）,即。，5）, |尸卫|-网=2口，当Q = 3和5时，尸点的轨 迹为（A,双曲线和一条直线B.双曲线和二条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线3 .双曲线4，一/+64 = 口上一点F到它的一个焦点的距离等于1,则点F 到另一焦点的距离等于 ;若F到它的一个焦点的距离等于17,则 点尸到另一焦点的距离等:+ 1=14.如果椭圆4 后与双曲线。 2 的焦点相同，那么5,已知方程4+二5+口（1）口为何值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点.6.已知双曲线的一个焦点坐标为 用（6-1司，双曲线上一点尸 到两焦点距 离之差的绝对值为24,求双曲线的标准方程.答案：1. B; 2. D; 3. 17, 1 或 33; 4. 1;二 2工 Pt 斗 =5. -“"-A ,当5足4一4时，方程4+曰5+4 表示双曲线.方23,y_二=i .程可表示为5+44十值 / = 5+47-4 =