第七节 泰勒公式

1、第七节第七节 泰勒泰勒( (Taylor) )公式公式一、问题的提出一、问题的提出二二、泰勒、泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理三三、简单的应用、简单的应用一、问题的提出一、问题的提出1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有例例如如, , 当当| x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln( )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf )()()(0 xxfxf )()()(000 xxxfxfxf f(x)在在 x=x0 处的处的一次近似式一

2、次近似式xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 一次近似的不足一次近似的不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 1.Pn和Rn的确定的确定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x假设假设 nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(0

3、0 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn )0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余项估计余项估计( )( )( )nnRxf xP x令令(称为余项称为余项) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()

4、( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn则有则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0)01(之间与在xx)102(之间与在x( )( )( )nnRxf xP x10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之间与在xx10()( ),nnPx 10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn)0(之间与在xx二、泰勒二、泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理泰勒泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶

5、的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一的一个个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 x0与与 x 之之间间) ). . nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称为称为 在在 处关于处关于 的的 n 阶阶泰勒多项式泰勒多项式. . )(xf0 x)(0 xx 下式称为下式称为 在在 处关于处关于 的的 n 阶阶泰勒公式

6、泰勒公式. . )(xf0 x)(0 xx nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()( )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 称为称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项.)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 称为称为皮亚诺型余项皮亚诺型余项0)()(lim00 nnxxxxxR.)()(0nnxxoxR 即即 10)1()(!1)()( nnnxxnfxR 10)(!1nxxnM时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(!

7、2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式三、简单的应用三、简单的应用1、求函数的展开式、求函数的展开式1) 直接展开法：直接展开法：.3cos)(处的三阶泰勒公式处的三阶泰勒公式在在写出函数写出函数 xxxf例例1例例 2 2 求求xexf )(的的 n 阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. . 解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe).10()(! 21

8、2nnxxonxxxe或或 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 课本课本132页页)()!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxx )()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnaxoxnnaaaxaaaxx xy xysin xy xysin ! 33xxy oxy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 37

9、53xxxxy oxysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o2) 间接展开法：间接展开法：.11)(0阶泰勒公式阶泰勒公式的的在在写出函数写出函数nxxxf 例例3.)1ln()(阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式的的写出函数写出函数nxxxf 例例4例例 5 5 计算计算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式2、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限、利用带皮亚诺余项的麦克劳林

10、公式可计算极限. .思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1 (sinlimxxxxexx思思考考题题解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1 (sinlimxxxxexx3333320)1 ()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx33330)(! 3! 2limxxoxxx61 四、小结四、小结 1、常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 课本课本132页页 能求出函数的能求出函数的 n 阶麦克劳林公式与泰勒公式阶麦克劳林公式与泰勒公式.2 2、能利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式计算极限、能利用带皮亚诺

11、余项的麦克劳林公式计算极限. .一一、 当当10 x时时，求求函函数数xxf1)( 的的n阶阶泰泰勒勒公公式式 . .二二、 求求函函数数xxexf )(的的n阶阶麦麦格格劳劳林林公公式式 . .三三、 验验证证210 x时时，按按公公式式62132xxxex 计计算算xe的的近近似似值值，可可产产生生的的误误差差小小于于 0 0. .0 01 1，并并求求e的的近近似似值值，使使误误差差小小于于0 0. .0 01 1 . .四四、 应应用用三三阶阶泰泰勒勒公公式式求求330的的近近似似值值，并并估估计计误误差差. .五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420

12、sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .练练 习习 题题一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .练习题答案练习题答案)!1()()()(!)()()()( )1(1000)(0000nfxxxxnxfxxxfxfxfxxnnnn之间，使得与介于存在即证分析：.)()( ,)(

13、!)()()( 10)(nnknktxtHtxktfxftG证明：令.)()( ,)(!)()()( 10)(nnknktxtHtxktfxftG证明：令.)(1()( ,)(!)()( )1(nnntxntHtxntftG则.)()( ,)(!)()()( 10)(nnknktxtHtxktfxftG证明：令)()()()()()( . 0)( , 0)( 0000 xHxHxGxGxHxGxHxG所以注意到.)(1()( ,)(!)()( )1(nnntxntHtxntftG则.)()( ,)(!)()()( 10)(nnknktxtHtxktfxftG证明：令nnnxnxnfHGxHxGxxxHxHxGxGxHxGxHxG)(1()(!)()()()()( )()()()()()( . 0)( , 0)( )1(0000000之间，使得与介于存在由柯西中值定理，所以注意到.)(1()( ,)(!)()( )1(nnnt