九年级上册数学竞赛试卷

1、2015-2016九年级上学期数学竞赛试卷 （满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1 .如下图所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A1 B1C321 D1233.设一元二次方程（x1）（x2）=m（m0）的两实根分别为，且，则，满足（ ）A.12 B.12C.12 D.1且24.若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数y=(n+1)x-n的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若一次函数y=ax+b（a0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则

2、抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）A.直线x=1 B.直线x=2C.直线x=1 D.直线x=46.有一块长为30 m，宽为20 m的矩形菜地，准备修筑同样宽的三条直路（如图1所示），把菜地分成六块作为试验田，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形菜地面积的，设道路的宽度为x m，下列方程：30x +20x ×2=30×20×；30x+20x×22x2=30×20×；(302x)(20x)=30×20×,其中正确的是（ ）A B C D 图1 图2 图37.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图2所示的靶子，

3、点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EFAB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 8.如图3，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OCDO的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，APB的度数为y度，则如图4所示图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ） 图4 图5二、填空题（每小题3分，共21分）9. 已知2是一元二次方程x24x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_. 10.ABC中，AB=AC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是_.11.在平面直角坐标系中,将抛物线y

4、=x2x6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为_.12.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6 cm,则此圆锥的表面积为_cm2.13.设a,b为实数，则的最小值是_.14.如图5所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6 m，则厂门的高度约为_.（精确到0.1 m）15.如图6,RtABC的边BC位于直线l上,AC=,ACB=90°,A= 30°若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经

5、过的路线的长为_ (结果用含的式子表示). 图6三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线的解析式.17.（9分）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=.（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值和方程的另一根.18.（9分）端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）规定：同一日内，顾客在本商场每

6、消费满100元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘（1）该顾客最少可得_元购物券，最多可得_元购物券；（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率19.（9分）已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5.(1)k为何值时,ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时,ABC是等腰三角形?并求ABC的周长.20.（9分）为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，

7、施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.80.09x,(2)乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.80.05x.(注:工程款=施工单价×施工长度)(1)如果不考虑其他因素,单独由甲公司施工,那么完成此项工程需工程款多少万元?(2)考虑到设备和技术等因素,甲公司必须邀请乙公司联合施工,共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）.如果设甲公司施工a米（0<a&l

8、t;300）,那么乙公司施工_米,其施工单价y2=_万元/米,试求市政府共支付工程款P(万元)与a(米)之间的函数关系式;如果市政府支付的工程款为2 900万元,那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工?21.（10分）“五一”期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时开始计时. （1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？22.（10分）已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段A

9、D、AB上.（1）如图（1），连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图（2）为例说明理由.23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A,C间的一个动点（含端点）过点P作PFBC于点F，点D,E的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.(1)请直接写出抛物线的解析式

10、. （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由. （3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE的周长最小时“好点”的坐标.22015-2016九年级上学期数学竞赛答题卡一、选择题（每小题3分，共24分）题目12345678答案二、填空题（每小题3分，共21分） 9._ 10._ 11._ 12._ 13._ 14._ 15._3、 解答题

11、（本大题共8个小题，满分75分）16、 （8分）17、（9分）18、（9分）19、（9分）20、（9分）21、（10分）22、（10分）23、（11分） 2015-2016九年级上学期数学竞赛答案 一、CBDCCBCC 二、9、2+ 10、 11、2 12、 13、1 14、6.9m 15、 三、16 解：设抛物线的解析式为y=a(x2)2+k.把A(1,0),B(0,3)的坐标代入,得解得y=(x2)2+1= x2+4x3.17.（9分）（1）证明：原方程可化为x2-5x+6-=01分=（-5）2-4×（6-）=25-24+4=1+43分 0, 1+40,对于任意实数m，方程总有两

12、个不相等的实数根4分 (2)把x=1代入原方程，得=2，m=±2， 6分 把=2代入原方程得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4m=±2，方程的另一根是4. 9分18、解：（1）如答图所示，画树状图得：则该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券.故答案为：20；80；（2）树状图如图所示，共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况，该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为=.点拨：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的

13、事件.注意概率等于所求情况数与总情况数之比.19. 解：(1)x2(2k+1)x+k(k+1)=0,(xk)·x(k+1)=0,x1=k,x2=k+1.由勾股定理，得k2+(k+1)2=52,解得k1=3,k2=4(舍去).当k=3时,ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)当ABC是等腰三角形时,有三种情况:AB=AC,而在一元二次方程中,由于b24ac=(2k+1)24k(k+1)=1,即ABAC.因此此种情况不存在;AB=BC或AC=BC.此时x=5是已知方程的一个根，所以525(2k+1)+k(k+1)=0,解得k1=4,k2=5.当k1=4时,方程的两个根为x1=k=4,x

14、2=k+1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可以构成三角形,此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;当k=5时,方程的两个根为x1=k=5,x2=k+1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可以构成三角形,此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.20、解：(1)由题意得:(27.80.09×300)×300=240(万元).答:甲公司单独完成此项工程需工程款240万元.(2)(300a)，(0.05a+0.8)由题意,得P=(27.80.09a)a+(0.05a+0.8)(300a)140=27.8a0.09a20.05a2+14.2a+100=0.14a2+4

15、2a+100当P=2 900时,0.14a2+42a+100=2 900,整理,得:a2300a+20 000=0,解得:a1=100,a2=200,300a=200或300a=1 00.答:应将200米或100米长的施工距离安排给乙公司施工.21. 解：(1)设4分钟后小明到达点C,过点C作CDOB于点D,如答图，DA即为小明离地面的高度,COD=×4=60°，OD=OC=×20=10（m），DA=2010+1=11（m）.答:计时4分钟后小明离地面的高度是11 m;答图(2)当旋转到E处时,作弦EFAO交AO的延长线于点H,连接OE,OF,此时EF离地面高度为

16、HA.当HA=31 m时,OH=31120=10（m）,OH=OE,HOE=60°,FOE=120°.摩天轮每分钟旋转的角度为: =15°,由点E旋转到F所用的时间为: =8(分钟).答:在旋转一周的过程中,小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中.22. 解：（1）不正确，当F在线段AB上时，设大正方形边长为a，小正方形边长为b,计算可得DF=>a,BF=ABAF=a<a,故DF>BF,即此时DFBF;(2)BE=DG.理由：连接BE，在ADG和ABE中，AD=AB，DAG=BAE，AG=AE，ADGABE（SAS），BE=DG.23、解：（1）抛物线的解析式为y=3分（2）猜想正确。理由如下：设P（x，）则PF=8-()=4分过P作PMy轴于点M，则PD2=PM2+DM2=(-x)2+=PD=+2, 6分PD-PF=+2-=2,猜想正确. 7分(3)“好点”共有11个。9分当点P运动时，DE大小不变，PE与PD的和最小时，PDE的周长最小。PD-PF=2,PD=PF+2,P