空气动力学基础

1、我把Introduction to flight 的第四章Basic aerodynamics略读了一遍，提炼了其中的重点要点，将其总结在一起分享给同学们，希望对大家空气动力学的学习有所帮助。这个文档内容涉及的气流都是无黏的（书134228页），没有包含黏性研究的部分。因为领域导论书对黏性没怎么研究，基本都是只给结论，所以就不总结了。本文档包括两部分，一是一些基本方程，二是这些方程的一些应用。我读书只是蜻蜓点水，对一些公式的理解可能有错误；写的只是大致的推导过程，难免有不细致严谨之处；对一些英文的翻译可能不标准，同时可能输入有误。希望大家批评指正、私下交流。真心希望我们共同为之润色添彩，使其更

2、加准确无误。同时，大家有什么学习资料都记得共享啊，让我们共同进步！大家可以再看看领域导论书，看了这个总结，再看书就比较简单了。看书最好也看看例题，例题不仅是对公式的简单应用，而且有些还包含新的知识，能增进我们对公式的理解。这些内容只能算是一些变来变去的简单代数问题，大家不要有压力。不过有几条注意事项：1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。2、大物书上的理想气体方程是Pv=mMRT，其中的R是普适气体常量（universal gas constant），领域导论书上的P=RT是经过变换的等价形式，其中的R是个别气体常量(specific gas constant)，等于普适气体常量R普适/

3、M，大家变一下马上就懂了。2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要也不方便强调。在一、基本方程7、能量方程的推导中，v=1/，这里的1应理解为单位质量，后面的能量方程中的12V2也包含单位质量1，不然与h的量纲就不统一了；在二、公式应用3、空速测定C、高速亚声速流中，我们可以看出在本书中，Pv=RT，同样把大物书上的状态方程Pv=mMR普适T中的m当成单位质量1，并利用普适气体常量和个别气体常量的关系R个别=R普适/M，即可推出Pv=RT。 3、本书中涉及到比热（specific heat），用cv（对于等体过程）和cp（对于等压过程）在表示。我

4、们在大物中也学有cv和cp，不过它们不一样，不要混淆。大物中那两个是摩尔热容（molar heat capacity），分别为定体摩尔热容（molar heat capacity at constant volume）和定压摩尔热容（molar heat capacity at constant pressure）。对比起来有（下式中R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i指分子自由度，指热容比）：比热 摩尔热容cv=i2R个，cp=i+22 R个 cv=i2R普，cp=i+22 R普cp- cv= R个 cp- cv= R普=cpcv=i+2i =cpcv=i+2i4、小写v代表体积，大写

5、V代表速度，注意区分，其他字母符号的意义大家应该都能弄懂。一、 基本方程1、 连续方程dm1=1 dv1=1A1V1 dt =2A2V2 dt=dm2则1A1V1 =2A2V2即AV=const对于不可压缩流，1=2，则A1V1= A2V22、 欧拉方程（忽略了黏性和重力）在一个边长分别为dx dy dz的长方体流体元的x方向进行研究，忽略重力和黏性，朝向x正方向的力为P dy dz压强的变化率为dPdx则朝向x负方向的力为(P+dPdxdx) dy dz则合力F=P dy dz - (P+dPdxdx) dy dz=- dPdx(dx dy dz)又m= dv=(dx dy dz)，a=dV

6、dt=dVdxdxdt=dVdxV由F=ma化简得dP=-V dV3、 伯努利方程（忽略了黏性和重力，适用于不可压缩流）对于不可压缩流，不变，对欧拉方程进行积分，易得P1+12V12= P2+12V22即P+12V2在一条流线上是常量，其中12V2就是传说中的动压，用q表示，对于不可压缩流，P+12V2等于总压，我们在方程的应用中会再提及。4、 关于热力学第一定律系统的内能增量=外界传热+外界做功，即de=q +w其中w=-P dv(压缩，所以v减小，dv是负值，所以有负号)则q=de+P dv定义焓h=e+Pv做微分得dh=de+v dP + P dv与上式一起消去de得q=dh- v dP

7、5、 内能与焓定义比热（specific heat）c=qdT，即系统增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作cv，等压过程的比热写作cp对于等体过程dv=0代入q=de+P dv可得de=q=cv dT从e=0和T=0积分得e= cvT我们在大物中学的是e=mMi2R普T，m还是要当做单位质量1，推出e=i2R个T= cvT。因此，它们是等价的。对于等压过程dP=0代入q=dh- v dP则dh=q=cp dT从h=0和T=0积分得h= cpTde=cv dT，e= cvT，dh=cp dT，h= cpT四式虽然是从等体过程和等压过程推出的，但对于理想气体是普遍适用的。6、 等熵过程（适用

8、于等熵过程）对于等熵流（绝热可逆）q=0代入q=de+P dv和q=dh- v dP则-P dv=de = cv dT，v dP=dh= cp dT两式相除得dPP=-dvv其中定义了热容比=cp/cv对于空气，=1.4，应该是因为空气的绝大部分是氮气和氧气，都是双原子分子，分子自由度i=5，根据大物中学的热容比=i+2i，可得=1.4。再积分P1P2dPP=-v1v2dvv得P2P1=(v2v1)-把体积换成密度得P2P1=(21)同时借助状态方程=P/(RT)在有的那个式子中消去或借助我们熟悉的形式（大物书上的）Pv=mMRT在有v的那个式子中消去v可得P2P1=（T2T1）/(-1)总结

9、：P2P1=(21)=（T2T1）/(-1)，即P-=常量，P-1T-=常量把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完全一样了7、 能量方程（适用于无黏）对于绝热过程q=dh- v dP=0代入欧拉方程dP=-V dV得dh+vV dV=0v=1/（这里的v应理解为单位质量的体积）则dh+V dV=0做积分得h1+12V21= h2+12V22，即h+12V2=常量代入h= cp T得cp T1+12V21= cp T2+12V22，即cp T+12V2=常量对于非绝热过程q0可得q=dh+ V dV做积分12q=h1h2dh+V1V2VdV得h1+12V21+Q12= h2+12V22也可

10、写为cp T1+12V21+ Q12= cp T2+12V228、 一个重要结论对于等熵流，总温T0，总压P0，总密度0是定值总温（total temperature），总压（total pressure），总密度（total density）定义：Total temperature/pressure/density at a given point in a flow is the temperature/pressure/density that would exist if the flow were slowed down isentropically（等熵地） to zero vel

11、ocity二、 公式应用1、 声速公式的推导由于声波穿过气流与气流以声速穿过声波等价，因此可用后者来研究在声波两侧，设气流压强分别为P和P+dP密度和+d温度T和T+dT速度a和a+da应用连续方程有A1a=（+d）A2（a+da）A1=A2，则a=（+d）（a+da）展开，再忽略无穷小量dda,可得a=-dad代入欧拉方程dP=-a da，即da=-dPa可得a2=dPd通过声波的气流是等熵流，则P/=const=c因此dPd=ddc=c-1代入c= P/,得a2=P对于理想气体，可以再代入状态方程P=RT最终得出a=RT可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关2、 低速亚声速风洞设Settl

12、ing chamber（reservoir）和Test section的气流速度分别为V1，V2压强分别为P1，P2面积分别为A1，A2通过低速亚声速风洞的气流可以看作不可压缩流，由连续方程和伯努利方程可得V1=A2A1 V2 ，P1+12V12= P2+12V22联立两式消去V1，可得V2=2（P1-P2）1-A2A1 2 A2/A1对于给定风洞是定值，要想调节Test section的速度大小，可以调节P1-P2。以前人们用U型管分别连接Settling chamber（reservoir）和Test section来测P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传感器实现3、 空速测定A、 设

13、备：总压管（Pitot tube），空速管（Pitot-static tube）B、 对于低速亚声速流(M<0.3)在上图中空速管上的A点压强为静压P，速度为V1在B点压强为总压P0，速度为0应用伯努利方程得P0= P+12V12可得V1=2（P0- P）定义动压q=12V2（此定义式对所有气流都成立）可得P0= P+q（注意此式和P0= P+12V12只对不可压缩流成立）可见：只要设法获得P0- P和的值，就能求出速度，P0- P的测定通过空速管或总压管可以实现。对于，若使用真值（true value，即设法测的飞机周围的），则获得真实空速（true airspeed）Vtrue=2（

14、P0- P）但是测定飞机周围的比较难，所以低速飞机计算时都是用的标准海平面密度s，获得当量空速（equivalent airspeed）Ve=2（P0- P）s其实当量空速有更深层次的意义：Consider an airplane flying at some true airspeed at some altitude .Its equivalent airspeed at this condition is defined as the velocity at which it would have to fly at standard sea level to experience th

15、e same dynamic pressure.给定了当量空速，就相当于给定了动压。当量空速的概念十分重要，在研究飞行表现时很有用。C、 对于高速亚声速流（0.3<M<1）由h=e+Pv=e+RT,即cpT=cvT+RT可得cp-cv=R根据= cp/ cv可得cp=R-1气流在空速管或总压管前的探针前的停滞点（stagnation point）处从最开始温度T1和速度V1的状态等熵静止,速度变为0，因此温度为总温（total temperature）T0，压强为总压（total pressure）P0，在此过程应用能量方程得cpT1+12 V12= cpT0变换等式可得T0T1=

16、1+V122cpT1代入cp=R-1可得T0T1=1+-12V12RT1又声速a12=RT1则T0T1=1+-12V12a12=1+-12M12(只要求是绝热过程)结合等熵过程方程P0P1=(01)=（T0T1）/(-1)可得P0P1=（1+-12M12）/(-1)，01=（1+-12M12）1/(-1)（要求是等熵过程）由上式可得M12=2-1(P0P1)(-1)/-1因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数代入M1=V1/a1则V12=2a12-1(P0P1)(-1)/-1也可写为V12=2a12-1(P0-P1P1+1)(-1)/-1因为实践中一般获得P0-P1,所以上式用得较多而且

17、，由于T难以测量，即a难以获得，静压P1也难测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和压强as和Ps代入上式。airspeed indicator会感应P0-P1的值。从而获得校正空速（calibrated airspeed）Vcal2=2as2-1(P0-P1Ps+1)(-1)/-1D、 对于超声速流在超声速流中，物体前会产生激波（shock wave），在一个流体元穿越激波前后：马赫数减小静压增加静温增加速度减小总压减小总温不变由于激波的产生（产生的大致原理在P206），穿越激波的气流不是等熵流。空速测定的理论非常复杂，书上只给了最后结果，称为Rayleigh Pitot tube f

18、ormula:P02P1=+12M124M12-2(-1）/(-1)1-+2M12+1其中，P02为激波后的总压，P1为自由流静压,由飞机表面的静压孔（static pressure orifice）测量，由此推出马赫数。若想推出空速，还需要其他信息。4、 超声速风洞和火箭发动机由连续方程知AV=const取对数再做微分，得d+dAA+dVV=0由欧拉方程dP=-V dV得=-dPV dV 代入上式，可得-dV dVdP+dAA+dVV=0由于气流是等熵流,所以ddP=1dPdisentropic=1a2代入上式，可得dAA=(V2 a2-1) dVV即dAA=(M2-1) dVV称为area

19、-velocity relation由此关系式可知：对于亚声速流（M<1），要使速度增加，面积必须减小对于超声速流（M>1），要使速度增加，面积必须增大若M=1dVV=1M2-1dAA=10dAA咋一看dVV无限大了，不过显然dVV是有限大的，因此：需使dAA=0，构成0/0型不定型极限，以此来使得dVV的值为有限大反过来可以看出：当dA/A=0时，M=1，即stream tube有最小面积时，M=1，称此处为throatTherefore ,to expand a gas to supersonic speeds，starting with a stagnant gas in a reservoir，the preceding discussion that a duct of