第6讲曲线与方程

1、第6讲 曲线与方程一、填空题1ABC的顶点A(5,0)、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_来答案 1(x>3)2 点P到点(1,1)和到直线x2y3的距离相等，则点P的轨迹方程为_答案 2xy103已知一条曲线在y轴的右方，它上面的每一点到点A(4,0)的距离减去该点到y轴的距离之差都是4，则这条曲线的方程是_解析 由题意，曲线上每一点P到点A(4,0)与到直线l：x4距离相等，所以曲线是抛物线，方程为y216x.答案 y216x4 过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为_答案 xy105 有

2、一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若ABP为正三角形，则点P的轨迹为_答案 双曲线6设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为_解析M为AQ垂直平分线上一点，则AMMQ，MCMAMCMQCQ5，由椭圆的定义知，M的轨迹为椭圆a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案17若ABC的顶点A(5,0)、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析如图ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦

3、点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x>3)答案1(x>3)8方程|y|1表示的曲线是_解析原方程等价于或答案两个半圆9已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析由，又22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1(ab0)答案1(ab0)10.已知两条直线l1：2x3y20和l2：3x2y30，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是_解析设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和

4、d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，即消去r得动点M满足的几何关系为dd25，即25.化简得(x1)2y265.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程答案(x1)2y265二、解答题11. 如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)由已知，得点P在圆上，x2225，即点M的轨迹C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y

5、2)将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为AB .12抛物线C：yx2在点P处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B，.当点P在C上移动时，点M的轨迹为D.(1)求曲线D的方程；(2)设直线l与曲线D的另一个交点为N，曲线D在点M、N处的切线分别为m、n直线m、n相交于点Q，证明：PQ平行于x轴解(1)对yx2，求导，得y2x.设点P(x0，x)(x00)，则直线l方程为yx2x0(xx0)，在l方程中分别令y0，x0，得A、B(0，x)设M(x，y)，即(x，xy)，由此得x03x，x3y，消去x0，得曲线D的方程为y3x2(x0)(2)将y

6、3x2代入直线l方程，并整理得3x22x0xx0，由(1)知，M，设N(x1，3x)，则x1，x1x0.对y3x2求导，得y6x，于是直线m、n的方程分别为y2x0和y3x6x0(xx0)，即y2x0x和y6x0x3x，由此得点Q纵坐标为x，故PQ平行于x轴13在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，P是动点，且POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若Q是轨迹C上异于点P的一点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足SPQA2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)设点P(x，y)为所求轨

7、迹上的任意一点，则由kOPkOAkPA，得，整理，得轨迹C的方程为yx2(x0且x1)(2)设P(x1，x)，Q(x2，x)，由，可知直线PQOA，则kPQkOA，故，即x2x11，直线OP方程为：yx1x. 直线QA的斜率为：x12.直线QA方程为：y1(x12)(x1)，即y(x12)xx11.联立，得x，点M的横坐标为定值.由SPQA2SPAM，得到QA2AM，PQOA，OP2OM，由2，得x11，P的坐标为(1,1)存在点P满足SPQA2SPAM，P的坐标为(1,1).14有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地间的距离为10千米，顾客选A或选B购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点解 如图所示，以AB所确定的直线为x轴，AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(5,0)，B(5,0)设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米价格xA地运费价格xB地运费，即3aa.