《高等数学》教案

1、高等数学授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数页脚教学目的了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。重 难 点|:数学新认识，基本初等函数，复合函数教学程序上数学的新认识一函数概念、性质（分段函数）一基本初等函数一 复合函数一初等函数一例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要：前言：本讲首先是高等数学的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行 复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量 反映。高等数学主要以函数作为研究对象,因此必须对函数的概念、图像及性质 有深刻的理解）。一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础一

2、一数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是 现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑一一数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左 脑）有全面的作用；（3）知识技术一一数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活 和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发一一数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一 生提供持续发展的动力。2、对数学的新认识（1）新数学观一一数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思 想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观一一数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方 法，培养人的

3、科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。（3）新数学素质教育观一一数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而 培养人的“一般素质”。见教材“序言”二、函数概念1、函数定义:变量间的一种对应关系(单值对应)。(用变化的观点定义函数)，记：y = /(x)(说明表达式的含义)(1)定义域：自变量的取值集合(D)。(2)值域：函数值的集合，即y|y = f(x),x£。例1、求函数y = ln(l-/)的定义域？2、函数的图像:设函数y = /(x)的定义域为D,则点集(x,y)|)，= /(x),x£。 就构成函数的图像。例如：熟悉基本初等函数的图像。3、分段函数:对自变

4、量的不同取值围，函数用不同的表达式。例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域:不同自变量取值围的并集。例2、作函数/")=卜''"<°的图像？2x, x > 0例3、求函数/(a=卜、的定义域及函数修(-1)J(O)J？b x<0三、基本初等函数瓯:五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。四、复合函数：设y=f(u),u=g(x),且与x对应的u使y=f(u)有意义,则y=fg(x) 是x的复合函数，u称为中间变量。说明卜(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。如：y = nu,u =一/就不能构成复合函数。

5、(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。例 5、设/(x) = xg(x)= 2利(g(x),g(/(x)?例6、指出下列函数由哪些基本初等函数(或简单函数)构成？(1) y = In (sin x2)(2) y = e'x (3) y = >/l + arctan2 x五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 个表达式所表示。遮：(1) 一般分段函数都不是初等函数，但)，=忖是初等函数；(2)初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。思考题1、确定一个函数需要有哪几个基本要

6、素？定义域、对应法则2、思考函数的几种特性的几何意义？奇偶性、单调性、周期性、有界性3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？不能一位旅客住在旅馆里，图15描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一 个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图15标上 具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个 函数解析式表达出来吗？五函数本质上是指变量间相依关系的数 学模型,是事物普遍联系的定量反映；复合函 数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事 物联系的多样性。作业|： P4 (A： 2-3) ； P7 (A： 2-3) 课堂练习(初等函数)【A组】1、求下列函数的定义域

7、？(l)y = 7?TT Q)，= /0) y = bg2(x-l) (4) y = -L- + ln(4-x2)2、判定下列函数的奇偶性？(1) y = f(x) + f(-x)(2),=屋+1),=”川5为自然数)3、作下列函数的图像？ X2 _ 1(1) y = :-(2) 丁 =，尸(3) y = |sinA-|x-1114、分解下列复合函数？(1) y = yx2 +1 (2) y = esm ' (3) y =1(4)y = In2 (cos x)Vl-sin3x【B组】1、证明函数y = ln(x + Jx2+i)为奇函数。2、将函数)，=卜-1| + |21-1|改写为

8、分段函数，并作出函数的图像？3、设/（丹，）=+一,利（x）? x 厂4、设/*） =一，求/"（x）, /«?1-X数学认识实验初等函数图像认识1、事函数：（如 y = x,y = X'）2、指数与对数函数：（如y = In x ）ax 35、分段函数：（y = N，y = sgnX）3、三角函数与反三角函数：（y = cosx,y = arccosx4多项式函数：（y =一N -3x + 3 ） 3第二讲 导数的概念（一）、极限与导数教学目的：复习极限的概念及求法：理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。重 难 点|:求极限，导数定义及由定义求导法教学程序卜极限的

9、定义及求法（例）一导数的引入（速度问题）一导数的概念导数与极限一基本初等函数的导数（定义法）一例子（简单） 授课提要.前言在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系（函数），本节将复习函数 的变化趋势（极限），在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数 是高数的重点,它的本质是极限（比值的极限）,在现实中有极丰富的应用。一、理论基础极限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）若/（X）为多项式，则出例1:求下列极限（1） Iim（AJ +2x-l）（2） lim（x2 +2x-l）（3） lim（x2 +2x-l）

10、x-0x-2（2）若卷为有理分式且g（x0）wO,则=（代入法）八,3"g（x） g（x0）例2：求下列极限.x +1.厂2x + 2.厂1（ lim lim门、lim 7 2X-1 J。，d+3-x + 1/（一（3）若分式g（x）,当x f/时,/。0）= ?（演）=。，则用约去零因子法求极限例3：求下列极限.x" - 1. J x + 83. x" + 2x 3 Inn o' hm lim3 I X-1 I X-1 I X-1fM(4)若分式同，当XT 8时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法 求极限。例4：求下列极限, r一1+ 2x 1x 1

11、 lim；(o lun； (q lun-W J8 21 3X 5x2-1 18 2厂一 13、两个重要极限(1)lim ' = ilim(1 + )x = esS.lim(1 + x)x = eV 1 7 KO X、乙'ATR xi)说明：其中X可以是"(X)的形式，且当x -0时，”(x) - O。例5；求下列极限r sin 3xr sin 3x1 小 3、1窸丁 (2)7 吧(l + 3x)x 蚓(1 + ?二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动5 = 32产）引例2、切线问题（曲线y = /）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系

12、来看，都是要求函数 y关于自变量x在某一点工。处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极 限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1、自变量x作微小变化及，求出函数在自变量这个小段的平均变化率y =,作为点与处变化率的近似值；Av2、对了求为-0的极限lim包，若它存在，这个极限即为点与处变化率的 上 to zk精确值。定义:设函数y = /5）在与点及附近有定义，当不在4点取得增量加时，相 应函数取得增量），= /（%+-）-/*。），若当时，比值包的极限存在， Ax则称此极限值为/（X）在X。处的导数或微商。记八X。）或# =/，即 r /（X。+-）-/（%）'/

13、（凡）=lim= Inn aiu zkvax AxW： （1）比值包是函数/（x）在L%,x°+A、1上的平均变化率；而广（X。）是M/（X）在/处的变化率，它反映函数在点X。随自变量变化的快慢程度；（2）若!吧0三不存在（包括8），则称“X）在X。点不可导；若/（X）在（a, b）每点可导，则称函数在（a,b）可导，记尸（幻，称 为导函数，简称导数。（4）/（x）是x的函数，而/（Xo）是一个数值，/（x）在点X。处的导数/（Xo）就是导函 数/（X）在点Xo处的函数值o三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-玲有极限，反之不成立。四、基本初等函数的导数（定义）

14、由定义知求函数导数的步骤：（三步源） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。例6、由定义求函数y = C的导数？例7、由定义求函数y = sinx的导数?（推导） 思考题1、 lim K是否存在，为什么？3收%2、若曲线y= Y在（X。,），。）处切线斜率等于3 ,求点（看,%）的坐标。, /兀 1SU1（+ x）-l3、已知（sinx），=cosx,利用导数定义求极限lim。0探究题：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法” 有什么体会？近似转化为精确的数学方法小 结I:导数的本质从微观(局部)上研究非均匀量(如：速度、密度、电流、电压等)的变化率问题，是处理非均匀量

15、的“除法”；其思想方法：(1)在小 围以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形 态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线(切线)，凭着切线的 斜率，可以研究函数的整体性质(导数应用中的单调性、极值等)。作 业|： P22 (A： 1-3； B： 3-4)课堂练习(导数的概念一)【A组】1、求下列极限小 r (X + 1)2X-1)2 Gr I /o r 工"(1) lun(2) hm (3) lun z (2x + 3)3厂一1 '-*x 2a- -x + 3.arc

16、s in x/八八 carc cost(4) hm(5) hm(l + 2x)x (6) hm.io 2xd2x322、求极限lim 0 + 1)3、求极限：+ 产"？ eahis(2x + 3)-x x4、已知 lim (-+ - x) = 1,求 a 的值？2 X + 15、用导数定义，求函数/(x) = -1在x=l处的导数？6、设物体的运动方程为$ ="+3,求物体在t=2秒和t=3秒间的平均速度？ (2)求物体在t=2秒时的瞬时速度？【B组】1、设/*) =，求极限吧:fx) = ex2、设函数/(x) = lim(l +)y(xwO)，求"M2)? 2

17、一 8f3、证明导数公式：(/)' = 6N4、一药品进入人体t小时的效力E = I(%+ 3/一/)0</<4.5,求t=2,3,4时27的效力E的变化率?5、设/W = < 3%3，X-则/(外在x = 1 处Ax2,x > 1A、左右导数都存在B、左导数存在，右导数不存在C、右导数存在，左导数不存在D、都不存在6.若Hm二/)=4 (4为常数)，试判断下列命题是否正确。全部f x-a(1)/(乃在点x = "处可导；(2) /(X)在点x = a处连续；(3) /(%) 一 f(a) = A(x-a) + o(x - a)；数学认识实验：两个重要

18、极限的图像认识1、极限：lim ?由 ' =.7 x2、极限：lim(l + )l =e .lx x3、等价无穷小的直观认识：(X»0,x - sinx tanx )第三讲导数的概念(二)教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的几何意义，会求切线方程。重 难 点：基本导数公式，导数的几何意义(求切线方程)教学程序:复习导数定义一基本导数公式一例子(求导数)一导数的几何意 义一例子(切线方程)一导数的物理意义(例子)授课提要：一、基本初等函数的导数例1、求)，=/的导数？(由导数的定义推导)于是我们有公式:(Cy = O,(xaY = ax"-1;(sinx)'

19、 = cosx同样，由定义可得基本初等函数的导数公式：(cosx)'= -sinx; (In x = ; (ex = exx二、导数的运算法则(U,v为可导函数)1、代数和：(士口)，= '土/2、数乘：(0)' = %/例2、求下列函数的导数(1) y = 2x2 +3x-l(2) y = x2 +(3) y = 3sinx-l (4) y = x2yxx例3、求函数在给定点的导数值？(1) y = tan x, x = tt (2) y = 2e' + 3x + 2, x = 1三、导数的几何意义(作图说明)给添广(%)表示曲线y二f(x)在点(x0,f(x

20、。)的切线斜率。例4、求曲线)，=6-上在点(1,0)处的切线方程？尸例5、设f(x)为可导函数，且例/一 八1二)=1,求曲线y=f(x)在点 I 2x(l,f(D)处的切线斜率？导数定义及几何意义四、导数的物理意义结论:设物体运动方程为S = s«),则丁表示物体在时刻t的瞬间速度, 例6、设物体的运动方程为s = /+2r + 3,求物体在时刻t=l时的速度？ 例7、求曲线、=1/-一工一3上一点，使过该点的切线平行于直线2x-y + 2 = 0o x = 35Kx = -1 例8、设某产品的成本满足函数关系：C(x) = /+x 3(x为产量)，求x=2时 的边际成本，并说明

21、其经济意义。思考题|： /'(%)与/(%)'有无区别？ "()=(矶。，"(%)' =。1探究题I：导数(X。)的值可不可以为负值？举例说明。可以小结:导数的美学意义：局部线性之美(y =(x()(x-Xo)+ /(4)。它将 可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。作业：P25 （A： 1） ； P28 （A： 1, 3）课堂练习(导数概念二)【A组】1、求下列函数的导数(1) y = X' (2)y =(3)V = 2sin X (4) y =(5)y = x2、求下列函数的导数1 .23(1) y = +

22、 x2 - 3x' (2) y =-(3) y = x + lnx (4) y = ex - 2x3、求函数y = "+2x在x=l处的导数值？4、设 f(x) = x2 + 2sin x + 3,却，(0),/()?25、设物体的运动方程为s = 2/+3/-1,求时刻t=3时的速度？6、抛物线y = /在何处切线与以轴正向夹角为：，并且求该处切线的方程.【B组】1、一球体受力在斜面上向上滚动，在t秒末离开初始位置的距离为s =%-尸，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？X2 + 12、已知曲线)，=r-与y = l + lnx相交于点(1, 1),证明两曲线在该点处 相切

23、，并求出切线方程?I数学认识实验|:导数的几何意义和美学价值(1)在x=0处比较：曲线y = sinx与切线y=x；(2)在x=l处比较：曲线)，=/+1与切线)，= 2x。第四讲 求导公式与求导法则(一)教学目的|：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。重难点上基本导数公式与法则教学程序|：基本公式一运算法则一例子一二阶导数的定义及求法授课提要：一、基本导数公式由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：(cy = o； (x)z = 1; (xay = axa-x (?) = " (nxy = - X(sin x = cosx; (cosxY = - sin x;

24、(tan x = sec2 x; (cot x = -esc2 x二、导数的四则运算法则设U、V为可导函数，则1、(h ± v) =u ±vr2、(ku) = kuk 丰 0)tHf f4 ( ll ，一/, N=u v + MV4、；一=、(v 丰 0)V) V-例1、求下列函数的导数2-x2(1) y = 3x2 -x + 1 (2) y = - (3) y = In x - ex (4) y = ex cosx x例2、求函数在给定点的导数值？(1) y = tan x, x =兀 (2) y = 2/+3x + 2, x = 1例 3、设 y = / In x,求证

25、：区'- 2y = x2例4、已知曲线y = xln«的切线与直线2x + 2y + 3 = 0垂直，求此切线方程?三、二阶导数r定义：若导函数尸(幻再求导数，称为/“)的二阶导数。记：/"(X)2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。例5、求下列二阶导数1(1) y = 3a 2 - x + 1 (2) y =: (3) y = In x + ex (4) y = xex x3、二阶导数的物理意义设物体的运动规律为：S = 5(0 ,则S"表示物体在时刻t的加速度。例6、设物体的运动方程为：s = 3/-2f + 2,求t=2时的速度

26、和加速度？思考题卜1.思考下列命题是否成立？若/(X)，g(x)在点X。处都不可导，则/(x) + g(x)点X。处也一定不可导.x<0,x > 0,答：命题不成立./ °， 如：/(%)=<X,f(x), g(x)在x =0处均不可导，但其和函数/(x) + g(x)= x在x = 0处可导.(2)若f(x)在点八处可导,g(x)在点X。处不可导，则/(x) + g(x)在点处一定 不可导.答：命题成立.原因：若/'(x) + g(x)在见处可导，由/(X)在X。处点可导知 g(x) ="(“) + g(x) 一。(X)在点处也可导,矛盾.探究题

27、卜某产品的需求方程和总成本函数分别为尸+ 0.1x = 80, C(x) = 5OOO+2Ox,其 中x为销售量，户为价格。求边际利润，并计算x = 150和x = 400时的边际利 润，解释所得结果的经济意义。导数的经济意义小结卜导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的 变化率。S”)指路程对时间的变化率，/指速度对时间的变化率。二阶导数的 几何意义：反映曲线的凹向。作业P30 (A： 1-2)小知识卜数学的三次危机第一次数学危机：无理数的产生。(单位正方形的对角线长) 第二次数学危机：微积分的产生和完善。(极限和无穷小的定义) 第三次数学危机：集合论的产生。(罗素悖论)

28、课堂练习(导数公式与法则一)【A组】1、求下列导数2(1) y = 3x2 - In x + 3(2) y = (3) y = xhi x (4) y = (sin x)2x22、曲线)，= /在何处有水平切线？ x=-2/33、已知曲线)，= xln«的切线与直线2x+2y + 3 = 0垂直，求此切线方程？ e 4、求下列二阶导数(1) y = 3x2 -Inx (2) y = (3) y = xhi xx【B组】1、设曲线)，=X”在点(1,1)处的切线与X轴的交点为(XnO),求极限”吧/(%)?2、若/(O) = O,lim&2 = 3,求/''(0

29、)? 13、设/(%) = 2,求3n “包十加一 回一2)? _2Xh4、已知/(x) = x7(x),奴x)二阶连续可导，求/"(0) ? 2*(0)5、设某种汽车刹车后运动规律为5 = 192-0.4，假设汽车作直线运动，求 汽车在t= 4秒时的速度和加速度。数学认识实验：函数与导函数的图像比较（y = x3,y，= 31,y = 6x）第五讲求导法则（二）、连续与导数教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。重难点：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系 教学程序复习基本导数公式、法则一 连续概念（极限定义）一 连续的条件初等函数的连续性一可导与连续（例

30、）一连续函数的极限（例子） 授课提要.一、复习基本导数公式和法则举例：（略）二、连续的概念（作图直观理解）1、定 义:设函数y = /'（x）在x。点及附近有定义，当时，有 /（x）-/（/）,则称f（x）在X。点连续。陋：连续是一种特殊的极限。连续玲有极限，反之不成立。例1、试证），=凶在x=O处连续？三、函数连续的条件（1）f（x）在X。点及附近有定义（2 ） f（x）在X。点的极限存在（3 ）极限值等于函数值。例2、讨论函数尸卜r 20在x=0处的连续性？l,x < 0四、初等函数的连续性初等函数在定义区间都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。五、可导与连续1、可导与连续

31、的图象特征(1)连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。(作图示例)(2)可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性(无尖点、折点)2、可导与连续的关系定理：若函数f(X)在X。点可导，则f(x)在点X。连续；反之，结论不成立。例3、试证函数)，=卜inx|在x=0点连续但不可导。例4、试证函数)，=疗在x=0点连续但不可导,但切线存在。3、极限、连续、可导之间的关系可导今连续。有极限；反之不一定成立。如/(x)=' 在x=0处。六、连续函数的极限若 f (x)在 Xo点连续,则 lim f(x) = f(xQ)if例5、求下列极限.ln(l + x)(1) liin x2 (2) l

32、im cosx(3) 11111 -2' I。 A1 -cosx例6、讨论/(x) =，一在x=0处的连续性？x2 +hx>0思考题1 .如果/*)在X。处连续，问I/(x) I在X。处是否连续？连续2 .如果/*)在/处可导，问在凡处是否可导？不一定3 .求函数/(刈=的间断点，并判断其类型。(X - l)x施题作图说明函数不可导点的类型。不连续点、尖点、折点正窗：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社 会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩 和社会发展中的跳跃性。作 业P34 (A： 1-2)；复习题(2-5)课堂练习(求

33、导公式与法则二)【A组】1、求下列函数的导数. 1X- 14 1) y = 2x2 +3x-(2) y = x +- + nx (3) y = xlnx (4) y = -xx + 2、求函数y =，/Inx在x=l处的导数值？3、求曲线y = °二；2'十1在点(-1, 0)处的切线方程？攵=2尸+ 234、试定义f(0)的值，使函数/*) =三9二1在x=0处连续？ "(0) = L x25、设=问a为何值时，函数在x=0处连续？ 2a-ex ,x<0【B组】1、作函数y =卜'"I的图像？1,X<12、设函数f(x)在x=2处连续

34、，且lim”? = 2,求/'？ 2 12%23、设f(x)有连续导数，/= 2J(2) = 1,求lim "刈葭/ 1212 X 2r2 r < 14、设/（x）= . '. 一 ，问电b为何值时，函数f（x）处处连续、可导？ ax + b,x>.5、x=l是函数），=立二的（B ） X-1（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点*6、若f（x）在0, a上连续，且f（0）=f（a）,试证：方程/（幻=/（、+3）在 2（0, a）至少有一个实根。提示：作新函数，在0二上使用零点存在定理2数学认识实验：不可导点的类型2、不连续点为不可

35、导点:第六讲定积分的概念教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义。重难点：作为面积的定积分概念教学程序：提出问题一解决问题（思想）一定积分定义一定积分的几何意义 （例子）一定积分的性质（简单）授课提要：前言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面 图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学 的方法计算，但由任一连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线 所围成的平面图形的面积的计算方法。一、问题引入1、曲边梯形的定义所谓曲边梯形是指有三条直线段,其中两条相互平行，笫三条与这两条相互 垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（

36、如图所示）2、引例：如何求曲线），=/,工=0/ = 1,），= 0所围成的面积？（特殊曲边梯形） （1）分析问题若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一 条边是曲的。设想I:用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲 边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近 似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。(2)解决问题(思路)第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和第四步：取极限二、定积分的定义现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“父 割取近似,求和取极限”的方法，将所

37、求的量归结为一个和式极限。我们称这种 “和式极限”为函数的定积分。定义：f= lini £ /' ©)(说明定积分中各符号的称谓)由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积A = 公说明卜定积分是一个特殊的和式极限，因此，它是一个常量.它只与被积函 数f(x)、积分区间nb有关，而与积分变量用何字母表示无关。三、定积分的几何意义(作图)当函数f(x)在a,b上连续时，定积分可分成三种形式：1、若在a,b上，/(x) >0,则定积分表示由曲线f(x),直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A,即小=A2、若在a,b上，/(a) <0,则定积

38、分表示由曲线f(x),直线x=a,x=b,y=0所围 成的曲边梯形的面积A的相反数，即f/(x)公=-A3、若在a,b上，f(x)可正可负，则总积分表示x轴上方图形的面积Ai与下方图形的面积A?之差，即公=4-4结论 定积分的几何意义：“有号面积”，即4 =，/")降。例1、用定积分几何意义判定下列积分的正负：(1 ) £ exdx (2) J * sin xdxy例2、用定积分表示由曲线y=x?+l,直线x=l,x=3和y=0所围成的图形面积？四、定积分的性质(简略)M油&Qfib(1) f(x)dx = 0(2) f(x)dx = - | f(x)dx (3)

39、dx = b-aJaJa 'JbJa(4)积分中值定理：设函数/U)在以Q, b为上下限的积分区间上连续，则在Q, b之间至少存在 一个。(中值)，使 bfMdx =fib-a)y=M 积分中值定理有以下的几何解释：若/x)在。，切上连 续且非负，定理表明在。，上至少存在一点多使得以 m，3为底边、曲线厂am为曲边的曲边梯形的而积，与同 底、高为火乡的矩形的面积相等，如图所示.因此从几何角 度看，大与可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值 角度上看，大乡理所当然地应该是#x)在。，句上的平均值.万因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题.1、用定积分的定义计算定积

40、分cdh其中C为一定常数。矩形的面积2、如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求下列积分的值:(1) 1 1 xdx. (2) J!R2 -x2dx, (3) Jcos.xdY, (4):忖吐 睬藕：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分” ？小结卜定积分的本质：从宏观(整体)研究非均匀量的“改变量”问题。是 处理非均匀量的“乘法”；其思想方法：在小围以“不变”代“变”，获得近 似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。作业|： P40 (A： 1-3)课堂练习(定积分的概念)【A组】一、判定正误：1、

41、定积分f'/(x)八表示曲边梯形的面积。(F )2、定积分£/*)八的值与被积函数f(x)、积分区间a,b及积分变量x有关。F3、jjnAt/x>0 ( T )4、£/(x)t/Az = /(x) ( F )二、用定积分表示面积：(1)曲线y = 直线x = 一1, x = 1及)，=。所围成的平面？(2)由方程/+ y 2 = 4所确定的圆的面积？三、用定积分的定义计算定积分jcdx,其中C为一定常数。【B组】一、由定积分的几何意义计算：£7?=7公？ ?二、由定积分的儿何意义求直线y = 2x + l,x = l,x = 2,y = 0所围成的平

42、面图 形的面积？三、用定积分的定义求曲线丁 = /+1» = 1=2,)，= 0所围成的平面图形的 面积？数学认识实验：定积分思想的几何直观1、函数丁 = /在0,1上所围成的面积分析: (1)步长为0.1的分割。(n=10)(2)步长为0. 05的分割。(n=20)/第七讲定积分与导数教学目的：掌握原函数的概念及N-L公式。重 难 点：作为路程的定积分、微积分基本定理教学程序:复习定积分概念(和式极限)一原函数一N-L公式(求路程) 推导一NL公式(计算方法)一定积分的计算(简单)授课提要：前言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所 以必须寻找新的计算方法。

43、下面将研究定积分与导教的关系。一、原函数的概念定义：若在某一区间上有尸(x) = /(x),则称F(x)是f(x)的一个原函数。如：已知(/)' = 2x,所以一是2x的一个原函数，同理，/+i也是它的原函 数。(说明：原函数不唯一)*二、变上限函数设函数f(x)在a,b上连续，且则称函数/(/),为交上底函或二记p(x) = /«)， o它有如下性质:(l)p()= O, ()= £'/力；(2)若/(x)在a,b上连续，则p(x)在a,b上可导，且有p'(x) =/(x)。由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是f(x)的一个原函数。定理(原函数

44、存在定理)若f(x)在a,b上连续，则其原函数一定存在，且原 函数可表示为尸a 7f sin tdt例 1、求一(f cos2/Jr) ? 例 2、求lim 业_； ？dx J。J。三、N-L公式(直观推导)设一辆汽车作变速直线运动(如图)，从时刻a到b,求其经过的路程？(1)若已知路程函数s = s(f),则s = s(b)-s(a)；(2)若已知速度函数吁uQ),则由定积分有5 =。)， = s()-s(a)；(3) s(t)与v有如下关系:sf(t) = v(r),即s(t)是v的一个原函数。一般地，有如下定理：设函数f(x)在区间a,b上连续,F(x)是f(x)的一个原函数，则 f(x

45、)dx=F(b)-F(a)邈：(DN - L公式揭示了定积分与原函数(不定积分)间的联系，给 定积分的计算提供了有效而简便的方法。(2)由定义知求定积分的步聚求原函数求原函数的增量例3、求下列定积分：(1) £x'dx (2) £ sinay/x (3) J (3x2 + )tZx例4、求由曲线)，=$111%，直线x=0, x= Ji , y=0所围成的图形面积?例5、求曲线y = / + l,x = l,x = 2,y = 0所围成的平面图形的面积？例6、设物体的速度y = 2sin3求时段0,句的距离?1、 .(sin fd”?答：因为J；sin/出是以x为自

46、变量的函数，故，sinfdLO.2、 (J：/(x)dA)' = ?答：因为J：/(x)也是常数，故(J：/(x)dx)' = O.3、 f = ?dv J Q答：因为J，(X)dA-的结果中不含X,故/j：/'(X)dA =O.4、 f cos/2dv = ?dx J。答：由变上限定积分求导公式，知 cosrdr = cosx2. dxJn小结：NL公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中 的“对立统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观 上的统一之美。作业|： P46 (A： 1) ； (B： 1) 课堂练习(定积分与导数)【A

47、组】1、计算下列定积分：(1) 2(3x2 +- + 2)dx (2)(ex + cos2 -)dx (3)(x + -)2dx xM2x(4)J1百八(;5) j'7x(1 + xdx (6) J'"| sinxI dx2、求曲线y = 1,x = l,x = 2,y =。所围成的图形的面积？ x3、设，(2x + A)"x = 3,求 k 的值？4、设：/«), = ln(/+1),求/*)?两边求导数【B组】1、2、3、设 6 + /(f), = 2x，求 a 的值？ 3求导数：”"? *%osx dx屈*4、利用定积分的性质求极限

48、:lim f 二 Jx? iJul+X（估值定理、夹值定理）用定积分求极限：蚓,(，1 + - + 1 + 2 +. + ,1 + -) ( £ Vi + xdx )*5、证明方程31吕=。在©D有唯一实根。*6、设f（x）在0, 4上连续，且工-"（在 =%-仃，则f（2）= 1/4。教学认识实剑定积分：£户山=。的几何直观第八讲 习题课（导数与定积分）教学目的：系统化本单元容，掌握基本概念与方法。一、基本概念及方法：1、极限的概念，求极限的方法；2、导数的概念，导数公式及运算法则3、导数的几何、物理及经济意义4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义（

49、经济意义）5、用N-L公式求定积分二、基本题型：1、求下列极限/、 x2 4-X-1,、 x2 +2x-3/、 X2 +x-l /、 sin3x(1) hm (2) hm (3) Inn彳(4) Iimi 2xi x-1i 2厂J。2x2、求下列导数(3) y = + Inx + sinxx(3) y = (x-)2x(1) y = 2x2 -x + 2(2) y = 2ex -cosx3、求下列导数r2 4)(1) y = : (2) y = sin- x-lnxx 24、求下列积分(1) J (2x-)dx(2) £ (2sinx-l)i/x5、求曲线y = i+l在点(1, 2

50、)处的切线方程？6、求S = 2产一。+ 3在t=2时的速度?7、设某产品的成本函数C(x) = gx3+x-1,求其边际成本?8、求曲线y = / +Lx = 0,x = 2,y =。所围成的图形的面积？9、已知物体的速度为】，(/) = 2cos/,求时段0，经过的路程？2r < 1 c210 设/'(x) = 4 ' 一，求f f(x)dx?可加性lx.x > 111、设f(x)在a,b上连续，则曲线y=f(x),直线x=a, x=b及y=0所围成的曲边梯形的面积为 o f(x)dx三、提示与提高：1、无穷小的定义与性质定 义：若 lim a(x) = 0(l

51、im a(x) = 0),则称 tz(x)当x f x。“ 一 °°)时为无穷小。 X+o.V->X性质:有界函数与无穷小的乘积为无穷小。例1、求极限lim - , lim ?D X x X2、无穷小的比较：(略)当 x f 0 时,有 x与 s in x9 tan x9 arcs in x9 arctan x, ln(l + x), e" -1 等价;当x - 0时，-ax与中+ ax -1等价;等-与1 - cos 等价；例2、当x -0时，比较l-cosx与的阶？23、闭区间上连续函数的性质(1)有界定理；(2)最值定理；(3)零点定理；(4)介值定理

52、例3、设例x)在0, 2上连续,且例0)=f(2),证明方程/。) = x + l)在0, 1 上至少有一实根。4、函数间断点的分类(略)5、定积分的性质(1)f/(x)4x = °； £/(x)Jx = -£/(x)t/x(2)若在a, b上有 /(a) > g(x),则 £ f(x)dx > £ g(x)dx特别地，若在a,b上有/(xRO,则，/(x)dxNO(3 )对任意实数 C 有 j/(x)dx = £ /(x)Ja + £/W(4)设函数f (x)在a, b上的最大、最小值分别为M、m,则有mb 一

53、 4)«/(x)dx < M - a)(5)设f(x)在连续，则其在a, b上的平均值h - a例3、比较大小：1/dx与1/(/X例 4、求定积分：Cf(x)dX,其中=J()l,x< 1例5、求/(x) = 31 - 2x在区间1, 3上的平均值？第九讲求导法则(三)、复合函数求导(一)教学目的：掌握基本导数公式和四则运算法则，会求一般函数的导数。重 难 点：四则运算法则、复合函数的连锁法则 教学程序：基本初等函数的导数公式(复习)一>导数四则运算法则一>例子 授课提要：前面我们学习了导数的概念及简单函数求导，本节将系统学习函数求导方法。一、复习基本初等函

54、数的导数公式(重点)(板书略)二、复习导数四则运算法则(更直)&，="LVV-X 1(3) y = xn x (4) y =x + 1设u(x),v(x)为可导函数，则(1) (u±v = u ±vf (2) (y)'= “、+ /例1、求下列函数的导数 y = 2.r +3x-l y = x2 +- + U1Xx例2、求)，=匕口的导数？(由商的导数公式推导)于是有 (tan X)' = sec2 x同理： (cot x)' = -esc2 x(secx)r = secxtanx;(cscx)z = -cscxcotx 例3、求函

55、数y在工=巳处的导数值？1 + cosx 2例4、求过点(1, 2)且与曲线y = 2x-/相切的直线方程？三、复习复合函数的概念及分解询:复合函数分解一般从外向分解，分解至基本初等函数或简单函数即可例5、分解下列函数(1) y = (2x-Y)'(2) y = siii(2x-l) (3) y = hi(ln(2x -1)四、复合函数的求导法则设)，= /(x)是关于x的复合函数，则半=2x半或y；=/( )/0)ax an dx画：(1)求复合函数的导数，首先分清楚函数的复合结构,求出每一层次简 单函数的导数，再使用连锁法则,就得到复合函数的导数；(2)复合函数的分解一般按由外向的顺序进行。例6、求下列导数(先分解后求导)(1) y = sin3x (2) y = (2x + V)3 (3) y = Z+, (4) y = x2e2x+i例 7、设 y = /(x)在 可导，且 /'(Xo) = 2 ,记0。)= f(x() + at),其中 a 为常数，求力？例8、设/(/) = 1山【/(±±2£,求人1)?5e3 X思考题卜1、设)，= /,求？利用指数恒等式:X =2、设 y = /(),= sin/,求色？虫=2xcos/"(sinx2) dx dr小结I:掌握复合函数求导的连锁法则；对复合函数求