2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 教案

1、1第三节第三节三角恒等变换三角恒等变换最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan()tan tan 1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；

2、(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 22tan 1tan23辅助角公式asin bcos a2b2sin()(其中 sin ba2b2，cos aa2b2.)常用结论1公式的常用变式tan tan tan()(1tan tan )；sin 22sin cos sin2cos22tan 1tan2；cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2.2降幂公式2sin21cos 22；cos21cos 22；sin cos 12sin 2.3升幂公式1cos 2cos22；1cos 2sin22；1sin sin2cos22；1sin sin2co

3、s22.4半角正切公式tan2sin 1cos 1cos sin .一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(2)公式 asin xbcos x a2b2sin(x)中的取值与 a， b 的值无关 ()(3)cos 2cos22112sin22.()(4)当是第一象限角时，sin21cos 2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知 cos 35，是第三象限角，则 cos4为()a.210b210c.7 210d7 2103acos 35，是第三象限角，sin 1cos245.cos422(cos sin )2235452

4、10.故选 a.2sin 347cos 148sin 77cos 58_22sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 13522.3计算：sin 108cos 42cos 72sin 42_12原式sin(18072)cos 42cos 72sin 42sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242)sin 3012.4tan 20tan 40 3tan 20tan 40_3t

5、an 60tan(2040)tan 20tan 401tan 20tan 40，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40) 3 3tan 20tan 40，原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.5若 tan 13，tan()12，则 tan _417tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317.第第 1 课时课时两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦余弦、正切正切公式及二倍角公式公式及二倍角公式考点 1公式的直接应用(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相

6、关角的函数值，再代入公式求值1.(2019全国卷)已知(0，2)，2sin 2cos 21，则 sin ()a.15b.55c.33d.2 55b由二倍角公式可知 4sin cos 2cos2.(0，2)，cos 0，2sin cos ，tan 12，sin 55.故选 b.2已知 sin 35，(2，)，tan()12，则 tan()的值为()a211b.211c.112d112a(2，)，tan 34，又 tan 12，5tan()tan tan 1tan tan 34121（12）（34）211.3(2019太原模拟)若(0，2)，且 sin(6)13，则 cos(3)_2 616由于角

7、为锐角，且 sin(6)13，则 cos(6)2 23，则 cos(3)cos(6)6cos(6)cos6sin(6)sin62 233213122 616.4计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为_12sin 110sin 20cos2155sin2155sin 70sin 20cos 310cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 4012.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用，的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的考点 2公式的逆用与变形用公式的一些常

8、用变形(1)sin sin cos()cos cos ；(2)cos sin sin()sin cos ；(3)1sin (sin2cos2)2；6(4)sin 22sin cos sin2cos22tan tan21；(5)cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2；(6)tan tan tan()(1tan tan )；(7)asin bcos a2b2sin()(tan ba)公式的逆用(1)化简sin 101 3tan 10_(2)在abc 中，若 tan atan btan atan b1，则 cos c_(1)14(2)22(1)sin 101 3tan 10s

9、in 10cos 10cos 10 3sin 102sin 10cos 104（12cos 1032sin 10）sin 204sin（3010）14.(2)由 tan atan btan atan b1，可得tan atan b1tan atan b1，即 tan(ab)1，又 ab(0，)，所以 ab34，则 c4，cos c22.(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系(2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题

10、(3)重视 sin cos ，cos sin ，cos cos ，sin sin 的整体应用公式的变形用(1)化简sin23512cos 10cos 80_(2)化简 sin2(6)sin2(6)sin2的结果是_7(1)1(2)12(1)sin23512cos 10cos 801cos 70212cos 10sin 1012cos 7012sin 201.(2)原式1cos（23）21cos（23）2sin2112cos(23)cos(23)sin21cos 2cos3sin21cos 221cos 2212.注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊

11、角，把“值变角”构造适合公式的形式1.设 acos 50cos 127cos 40cos 37，b22(sin 56cos56)，c1tan2391tan239，则 a，b，c 的大小关系是()aabcbbacccabdacbd由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 acos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 127cos(50127)cos(77)cos 77sin 13，b22(sin 56cos 56)22sin 5622cos 56sin(5645)sin 11，c1tan2391tan2391sin239cos2391sin2

12、39cos239cos239sin239cos 78sin 12.因为函数 ysin x，x0，2为增函数，所以 sin 13sin 12sin 11，所以 acb.2一题多解 3cos 154sin215cos 15()8a.12b.22c1d. 2d法一： 3cos 154sin215cos 15 3cos 152sin 152sin15cos 15 3cos 152sin 15sin 30 3cos 15sin 152cos(1530)2cos 45 2.故选 d.法二：因为 cos 156 24，sin 156 24，所以3cos 154sin215cos 15 36 244(6 24

13、)26 246 24( 32 3)6 24(2 32) 2.故选 d.3已知4，则(1tan )(1tan )_2(1tan )(1tan )tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan 11tan tan tan tan 12.4已知 sin cos 12，则 cos sin 的取值范围_12，12由题知 sin cos 12，设 cos sin t，得 sin cos cos sin 12t，即 sin()12t，得 sin cos cos sin 12t，即 sin()12t.1sin()1，9112t1，112t1.12t12.考点 3公式的灵活运用

14、三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化， 如： 2()()， ()()， 406020，(4)(4)2，224等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦三角公式中角的变换(1)设， 都是锐角， 且 cos 55， sin()35， 则 cos _(2)已知 cos(75)13，则 cos(302)的值为_(1)2 525(2)79(1)依题意得 sin 1cos

15、22 55，因为 sin()35sin 且，所以(2，)，所以 cos()45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 4555352 552 525.(2)cos(75)sin(15)13，所以 cos(302)12sin2(15)12979.10(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系(2)常见的配角技巧：2()()，()，22，22，2(2)(2)等三角公式中名的变换(1)化简：（1sin cos ）

16、（sin2cos2）22cos (0)；(2)求值：1cos 202sin 20sin 10(1tan 5tan 5)解(1)由(0，)，得 022，cos20， 22cos 4cos222cos2.又(1sin cos )(sin2cos2)(2sin2cos22cos22)(sin2cos2)2cos2(sin22cos22)2cos2cos .故原式2cos2cos 2cos2cos .(2)原式2cos21022sin 10cos 10sin 10(cos 5sin 5sin 5cos 5)cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 511cos 102sin 10sin 10cos 1012sin 10cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin（3010）2sin 10cos 102（12cos 1032sin 10）2sin 103sin 102sin 1032.1.(2019石家庄模拟)已知 tan 1tan 4，则 cos2(4)()a.12b.13c.14d.15c由 tan 1tan 4，得sin cos cos sin 4，即sin2cos2sin cos 4，sin cos 14，cos2(4)1cos（2