数值分析三次作业

1、.习题.pdf第六章 解线性方程组的迭代法解：由于A为对称矩阵，且a11,a22,a33均大于0，故： Gauss-Seidel方法收敛的充要条件是A为正定矩阵； Jacobi方法收敛的充要条件是A和2D-A均为正定矩阵。对矩阵A，顺序主子式1=3>0,2=3002=6>0,3=30-2021-212=1>0，故A为正定矩阵2D-A=600040004-30-2021-212=30202-12-12对2D-A矩阵，顺序主子式1=3>0,2=3002=6>0,3=30202-12-12=1>0，故2D-A为正定矩阵综上，对线性方程组Ax=b，若A=30-202

2、1-212，则Gauss-Seidel方法和Jacobi方法均收敛。由于Gauss-Seidel方法利用了更新值，其收敛速度更快。解：取x(0)=0，SOR法迭代公式为x1(k+1)=x1(k)+4(1-4x1(k)+x2(k)x2(k+1)=x2(k)+4(4+x1k+1-4x2k+x3k)x3(k+1)=x3(k)-4(3-x2(k+1)+4x3(k)1） 当=1.03,迭代到第6次时，x(6)=(0.500000280744456,1.000000091599815,-0.499999984294099)x*-x(6)=3.880501726061247*10-7<5*10-6，满

3、足要求。2） 当=1, 迭代到第7次时，x(7)=(0.500000476837158,1.000000238418579, -0.499999940395355)x*-x(6)=7.748603820800781*10-7<5*10-6，满足要求。3） 当=1.1, 迭代到第7次时，x(7)=(0.499999235607344,0.999999924905289,-0.500000016711780)x*-x(6)=8.561991469702157*10-7<5*10-6，满足要求。第七章 方程求根解：(1) x=1+1x2,'x=-2x-3,'x0=2*1.

4、5-30.59259<1 该迭代公式收敛(2)x=31+x2,'x=23x1+x2-23，'x0=23*1.5*1+1.52-23 0.45577<1 该迭代公式收敛(3) x=121+x，'x=-12x-1-32，'x0=12*1.5-1-32 1.41421>1 该迭代公式发散由于(2)式与(1)式相比，L更小，故选择(2)式进行计算。依题意可知，需求具有4位有效数字的近似根，取m=0,n=4故需满足xk-x*xk-xk-1<12*100-4+1=12*10-3计算结果如下表所示,kXK11.48124821.47270631.468

5、81741.46704851.46624361.465877由于x6-x5<12*10-3，故取x*=x61.466解：由题目，要求计算结果精确到4位有效数字，取m=0,n=4,即xk-x*12*100-4+1=12*10-3(1)由牛顿法，有迭代公式xk+1=xk-fxkf'xk=xk-xk3-3xk-13xk2-3列表计算如下：kXK0211.88888888921.879451567由上表可知，当迭代2次时，xk-x*<12*10-3,故取x*=x21.879(2)由弦截法，有迭代公式xk+1=xk-fxkfxk-fxk-1xk-xk-1列表计算如下：kXK0211.

6、921.88109393631.879411060由上表可知，当迭代2次时，xk-x*<12*10-3,故取x*=x31.879(3)由抛物线法，有迭代公式xk+1=xk-2fxk+sgn2-4fxkfxk,xk-1,xk-2=fxk,xk-1+fxk,xk-1,xk-2(xk-xk-1)列表计算如下:kXK01132231.89314982441.879135257由上表可知，当迭代2次时，xk-x*<12*10-3,故取x*=x41.879计算机习题.pdf解:（1）Jacobi程序如下:function x,count=h_jacobi(n,deviation)%输入矩阵的维

7、数n,误差|*|%输出估计值x,迭代次数counth=zeros(n); %Hnfor i=1:nfor j=1:nh(i,j)=1/(i+j-1);endendx_acc=ones(n,1); %x的精确解x=zeros(n,1);count=0;b=h*x_acc;%b的值 I=eye(n);D=diag(diag(h);%对角阵B0=I-Dh; f=Db;B0_c=eig(B0);error=0;for i=1:n if(abs(B0_c(i)>=1) %检查特征值 error=1; break; end end if(error=1) disp('error');

8、 else while(sum(abs(x-x_acc)<deviation) %误差控制 count=count+1; x=B0*x+f; end end假设误差为0.01，分别输入h_jacobi(6,0.01); h_jacobi(8,0.01); h_jacobi(10,0.01);结果均显示error，表示用此法发散。（2）SOR迭代法：function x,count=h_sor(n,w,deviation)%输入矩阵的维数n,松弛因子w,误差|*|%输出估计值x,迭代次数counth=zeros(n); %Hnfor i=1:nfor j=1:nh(i,j)=1/(i+j-1);endendx_acc=ones(n,1); %x的精确解x=zeros(n,1);count=0;b=h*x_acc;%b的值 D=diag(diag(h);%对角阵L=-(tril(h)-D);U=-(triu(h)-D);Lw=inv(D-w*L)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-w*L)*b;while(sum(abs(x-x_acc)<deviation) %误