结构动力学基础(new)2

1、结 构 动 力 学 基 础1.1 无阻尼单自由度体系的自由振动在研究振动问题时，为了简化计算，往往把具体的振动体系抽象为振动模型。结构发生运动时，确定其全部质量位置所需的独立几何参变量的数量，称为体系的自由度。单自由度体系的振动问题在工程上是常见的。例如，基础与地基之间的弹性支承（图1.11a），当只考虑铅直方向的振动时，就是单自由度体系的振动。又如，图1.11b所示的钢架，假定横梁为刚体，则在考虑横梁的水平振动时也属于单自由度体系的振动。这些单自由度体系，可以很方便地用图1.12所示的数学模型来描述，它包括下列单元： (a) (b)图1.11 (a) (b)图1.12 单自由度体系数学模型的

2、两种表示（1） 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性；（2） 弹簧系数k，用来表示结构的弹性回复力和势能；（3） 阻尼器c，用来表示结构的摩擦特性和能量损耗；（4） 激励荷载，用来表示作用于结构体系上的外力，力通常可写成时间函数的形式。利用牛顿运动第二定律或者达朗贝尔原理（该原理表明，把惯性力作为附加的虚拟力，可使体系处于动力平衡状态。）得到无阻尼单自由度体系的运动微分方程： （1.1-1）令，运动微分方程式（1.1-1）成为： （1.1-2）这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为： （1.1-3）上式中，为积分常数，由物体运动的初始条件时， 来确定：， ，将和带入式（1.1-3），得

3、到： （1.1-4）或等价写成： （1.1-5）其中：， （1.1-6）式（1.1-4）或（1.1-5）即为无阻尼单自由度体系的振动方程。下面简述自由振动的特性。1. 振幅和初位相式（1.1-5）中C为自由振动的振幅；角（）为相位，其中为初相位。由（1. 1-6）式可知，自由振动的振幅和初位相与物体运动的起始条件、物体的质量m和弹簧的刚度系数k有关。2. 周期和频率从式（1.1-4）或（1.1-5）可以看出，由该式所描述的运动是简谐运动，因此也是周期性运动，即可以用同一频率的正弦或余弦函数来表示。物体振动一次所需的时间称为周期，以T表示： （1.1-7）周期T的常用单位是秒。每秒内物体振动的次

4、数称为频率，以f表示，常用单位是赫兹（Hz）。频率与周期的关系为： （1.1-8）由（1.1-8）式得：，可见，是秒内振动的次数，称为圆频率，它的单位是弧度秒（注：在一些书中常把圆频率的单位简写成为1秒）。从上述关系式可以看出，系统自由振动的周期、频率或圆频率与运动的起始条件无关，而只与体系的质量m和刚度系数k有关，即与体系的惯性及弹性有关。由于质量m和刚度系数k是振动体系本身所固有的特性，所以自由振动的圆频率也称为固有频率。如欲降低振动体系的固有频率，可减小弹簧的刚度系数或加大物体的质量。 1.2 有阻尼单自由度体系的自由振动前面讨论的自由振动，其振幅始终不变，振动能持续进行而永不停止。但实

5、际上这种情况是不存在的。因为体系振动时必然要受到阻力的影响，从而使它的振幅逐渐衰减，以致停止振动。阻尼有各种不同的形式，例如，粘滞阻尼（空气、水或油质等流体介质的阻尼），干摩擦（物体于其它固体之间的摩擦）和材料的内摩擦等。这里我们只讨论粘滞阻尼，因为在许多情况下，粘滞阻尼的假定是真实的，然而，粘滞阻尼的假定却往往忽略了体系的实际耗散特性。这种方法之所以得到如此广泛应用，主要是因为它可以得到一种相对简单的数学分析方法。如果物体在流质介质中运动的速度不大，阻尼力近似地与速度的一次方成正比，这种阻尼称为线性阻尼。假设把一结构体系简化为如图1.21所示的具有粘滞阻尼的简单振子，图中m和k分别为振子的质

6、量和弹簧常数，c是粘滞阻尼系数。运用牛顿定律或达朗贝尔原理得到有阻尼单自由度体系的运动微分方程： （1.2-1） (a) 粘滞阻尼振子 (b)隔离体简图图1.21令，则运动微分方程式（1.2-1）成为： （1.2-2）这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，设其解 代入上式可得特征方程： （1.2-3）该二次方程的两个根是： （1.2-4）于是方程（1.2-2）的通解为： （1.2-5）随着n、值的不同，、也具有不同的值，因而方程（1.2-2）也有不同的解，表示着不同的运动，下面分别讨论。1，临界阻尼体系这时，特征方程的根为两个相等的实根，方程（1.2-2）的通解为： （1.2-6）由上式可知，这

7、种运动是非周期性运动，这时阻尼的大小正好是系统在衰减过程中振动与不振动的分界线，故称为临界阻尼体系。在该体系下，阻尼系数称为临界阻尼系数，以表示，即： （1.2-7）在实际问题中，常常不直接使用阻尼系数c，而是用阻尼系数c和临界阻尼系数的比值作为阻尼的基本参数，称为阻尼比。 （1.2-8）2，过阻尼体系在过阻尼体系中，其阻尼系数大于临界阻尼系数（），这时特征方程有两个不等的实根，从而可以直接用式（1.2-5）给出振动方程的解。对于过阻尼体系或临界阻尼体系，产生的运动是不振荡的，其振幅随时间按指数衰减到零。图1.22描绘了具有临界阻尼的简单振子的反应。过阻尼体系的反应与图1.22所示临界阻尼体系

8、的运动相类似，但是随着阻尼的增加，恢复到平衡位置将需要更多的时间。图1.22 临界阻尼的自由振动3，小阻尼体系小阻尼体系也称为亚阻尼体系，其阻尼系数小于临界阻尼值（），这时方程（1.2-2）的通解为： （1.2-9）式中： ，图1.23给出了一个具有初始位移，但初始速度为零（）的小阻尼体系的反应曲线，该运动是振动的，在运动过程中，振幅不是常数，而是随循环次数依次递减。尽管如此，振动还是发生在相等的时间间隔内，该时间间隔称为振动的阻尼周期。 （1.2-10）图1.23 小阻尼体系的自由振动反应阻尼对自由振动的影响，主要表现在以下两个方面：（1） 振动周期增大，但是在较小的情况下，阻尼对周期的影响

9、很小，在小阻尼情况下，可近似地认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。（2） 振幅按几何级数衰减。设相邻两次振动的振幅分别为 和，由式（1.2-9）可知，这两个相邻振幅的比值为： （1.2-11）用实验方法确定体系阻尼系数的一种切实可行的方法是让体系作自由振动可得到振动记录如图1.24所示，并测出运动振幅的衰减率。这样衰减可以很方便地用对数衰减率来表示，它等于在自由振动中任意两个相邻最大振幅和之比取自然对数，即： （1.2-12）实际应用中，常取： （1.2-13）图1.24 峰值位移和切点位移曲线因此用实验方法确定了体系自由振动两相邻的峰值后，便可用式（1.2-13）计算出阻尼比

10、。1.3 简谐荷载作用下单自由度体系的反应本节，我们将研究理想化为单自由度体系的结构在简谐激励作用下的运动，即结构所受的力或位移幅值可以用正弦或余弦的时间函数来表示的运动。这种激励形式，在机械振动及结构动力学中也将产生一种非常重要的运动。由于在旋转机械的转动件中不可避免的质量偏心将产生简谐激励使结构经常受到转动件的动力作用。此外，即使在激励不是简谐函数的情况下，应用傅立叶方法也可以得到结构的反应，即对外部激励简谐分量的各个反应的叠加。1.3.1 无阻尼简谐激励假设作用在图1.3-1中的简单振子上的外力是等于的简谐力，其中为峰值，为力的频率。该体系的运动微分方程为： （1.3-1）图1.3-1

11、简谐激励无阻尼振子及其隔离体简图式（1.3-1）是一个二阶常系数非齐次微分方程，其通解为： （1.3-2）上式表明，在恢复力和干扰力的作用下，体系的振动由两部分组成，第一部分为自由振动，第二部分为受迫振动。由于阻尼的存在，自由振动将迅速衰减，因此，下面只讨论受迫振动部分。由式（1.3-2）的第二部分可知，在简谐干扰力作用下的受迫振动是简谐振动，而且与起始条件无关，受迫振动的圆频率与干扰力的圆频率相等。如果以表示受迫振动的振幅与静变形的比值（这里静变形等于），称为动力放大系数，则有： （1.3-3）式中，称为频率比，表示干扰力的圆频率与受迫振动的圆频率之比。分别以和为纵向及横向坐标，将式（1.3

12、-3）绘成振幅频率特性曲线，如图1.32所示。图1.32 振幅频率特性曲线从图1.32可以看出：1当（即干扰力圆频率等于零）时，；当01时，动力放大系数随频率比的增大而增大，该区域为低频区。2当时，这说明当干扰力的圆频率接近体系的固有频率时，在无阻尼情况下，振幅将无限地增大，这种现象称为共振。工程中将0.751.25的区域称为共振区。当体系发生共振时，由于阻尼的影响，尽管振幅不会无限增大，但会达到相当大的数值，致使结构物受损。因此，如何避免或消除共振，是工程上的一个重要课题。3时，动力放大系数随频率比的增大而减小，直到静止，该区域称为高频区。在弹簧质量体系中，如果由于外界的干扰，使弹簧的支承点

13、发生简谐运动，那么，将同样引起受迫振动。例如，由地震荷载引起的结构物的振动，由路面不平引起的车辆的振动等，都属于这一类情况。1.3.2 有阻尼简谐激励考虑图图1.33中有粘滞阻尼影响下单自由度振动体系，其运动微分方程为： （1-3.4）图1.33 简谐激励有阻尼振子这是一个二阶常系数非齐次微分方程，其通解为： （1-3.5） 其中：振幅 ： 相位差： 、为积分常数，由运动的初始条件决定。由（1-3.5）式可知，在弹性力阻尼力和周期干扰力的作用下，体系的运动由两个部分组成：一部分是自由衰减振动，这一部分运动将很快消失；另一部分是受迫振动，在干扰力的作用下，这一部分运动将持久地进行，所以也称为稳态

14、振动。下面将讨论有阻尼受迫振动的有关性质。一阻尼对受迫振动振幅的影响如果振幅超过了允许的限度，就会在构件中产生过大的交变应力，使构件发生疲劳破坏，因此在受迫振动中，振幅的大小对工程问题是十分重要的。用表示有阻尼时的动力放大系数（即有阻尼受迫振动的振幅与静变形的比值），则有： （1-3.6）其中：；以频率比为横坐标，动力放大系数为纵坐标，将式（1-3.6）绘成不同阻尼情况下的幅频特性曲线，如图1.34所示。图1.34 不同阻尼情况下的幅频特性曲线图1.34与无阻尼受迫振动的幅频特性曲线图1.32相比较，有如下特点：1在共振区，振幅的增大非常明显，但不是无限制地扩大而是有限值。从图中可以看出，动力

15、放大系数的最大值并不在1的纵轴上。为求的最大值，对式（1-3.6）进行极值运算，即由，求得共振时的和分别为： （1-3.7） （1-3.8）由于大多数工程问题都属于小阻尼情况，阻尼比很小，可以将略去不计，于是可得到最大振幅时，。即可以近似地把共振时的动力放大系数作为体系的最大放大系数。2图1.34反应曲线的分析表明，这些曲线的形状由体系阻尼的大小所决定，特别是频带宽度（即相应于同一反应幅值的两个频率之差）与体系的阻尼密切相关，因此，在工程实际中，我们常用带宽法（半功率法）计算阻尼。图1.35给出一中等阻尼结构由实验方法得到的一条典型幅频特性曲线，在阻尼计算中，可以方便地量出图中倍峰值处的频带宽

16、度，相应于该频带宽度上的频率和叫做半功率点。该频带宽度的频率值，可以通过体系的反应幅值等于共振幅值的倍关系来确定。通过运算得到：阻尼比可以近似地用两个半功率频率比差值的一半来表示，即： （1-3.9）图1.35 实验幅频特性曲线二阻尼对相位差的影响将相位差写成： （1-3.10）分别以和为纵横坐标，根据式（1-3.10）可画出在不同阻尼情况下的相位差频率特性曲线，如图1.36所示。图1.36 不同阻尼情况下的相位差频特性曲线从图1.36中可以看出：当远小于1时，这时受迫振动与干扰力可近似认为是同相的，随着的增加，相位差也随之增大。在共振区附近，的变化最为剧烈，当发生共振时，它与阻尼的大小无关。

17、这时干扰力的相位比受迫振动的相位超前，或者说干扰力与振动的速度同相，因此出现了很大的振幅。经过共振区后，随着的增加，也增加，并趋向于。这时，受迫振动的位移与干扰力反向。1.4 任意荷载作用下单自由度体系的反应由于实际结构所受到的荷载往往并不是简谐荷载，本节研究任意荷载作用下单自由度体系的反应，可以看到，对于能用解析方法计算的一些简单荷载函数，其反应可以通过直接积分来求得，然而，对于一般荷载情况，借助于数值积分方法是必要的。一冲击荷载和杜哈梅积分冲击荷载是在一段很短的时间内作用的荷载，这种荷载相应的冲量等于力与其持续时间的乘积。如图1.41所示，在时间为时，力在时间间隔内的冲量可以用阴影部分的面

18、积表示，其值为。根据动量定理得到速度增量为： （1-4.1） 图1.41 冲击荷载的一般荷载函数由于瞬时冲量作用的时间极短，可以认为该体系在瞬时冲量作用下的振动是以，为初始条件的自由振动，将这种速度变化引入无阻尼单自由度体系的位移响应方程，作为时间时的初始速度，这样在稍后的某一时刻时产生的位移为： （1-4.2）因此，在荷载的连续作用下，在时间时刻所产生的总位移可以用微分位移从时刻到时刻进行积分来表示： （1-4.3）式（1-4.3）表示作用于无阻尼振子上的激励荷载所产生总位移，它包括相应于零初始条件和的运动的稳态和瞬态两部分。为了计入时的初始位移和初始速度的效果，只需要把由初始条件所得到的解

19、（1.1.4）式与（1-4.3）相加即可，因此，任意荷载作用下的无阻尼单自由度体系的总位移为： （1-4.4）对于一些简单的外力函数如恒力、矩形荷载、三角形荷载等可以通过式（1-4.4）得到其显式积分，当动力荷载较复杂时，有时不可能求出解析解，在实际运用中，对于所给定的时程，常常使用数值积分法。二无阻尼体系杜哈梅积分的数值计算应用三角函数关系和零初始条件，将式（1-4.4）的杜哈梅积分写成如下形式： （1-4.5）式中： （1-4.6）由此可见，动力反应的计算归结为计算积分和，可以使用任何数值积分方法来完成其计算。为了得出动力反应的时程曲线，一个基本思想是把所给定的时程划分为许多区间（即时间间

20、隔），然后计算对应于所有区间端点的动力反应。显然，区间的划分越细，计算结果越精确。通常要使区间的长度小于体系固有周期的110。常用于杜哈梅积分的数值计算方法是梯形法和辛普森法。对于一般函数，设： （1-4.7）用梯形法所进行的基本运算是： （1-4.8） 用辛普森法所进行的基本运算是： （1-4.9）对于辛普森法，必须是偶数。由于梯形法基于用函数代替分段线性函数，而辛普森法则基于用函数代替分段抛物线函数，所以其解都是近似的。计算杜哈梅积分的另一种方法是基于假定加载函数由一给定的分段线性连续函数来获得积分的解析解。该方法除了原有的舍入误差之外，不会造成积分的数值近似。 图1.42 分段线性荷载函

21、数假设动力函数可以用图1.42所示的分段线性函数来近似，为了得到一条完整的反应时程曲线，将式（1-4.6）以增量的形式来表示： （1-4.10）式中和代表时的积分值，假设动力函数可以用分段线性函数逼近，即可写成： （1-4.11）式中： ，将式（1-4.11）代入式（1-4.10）积分得： （1-4.12）式（1-4.12）即为（1-4.6）在任意时刻时计算积分的递推公式。三有阻尼体系杜哈梅积分的数值计算由杜哈梅积分所表示的有阻尼体系的反应，将产生初始速度 的冲量代入相应的有阻尼自由振动方程，便可以得到当时间为时的微分位移： （1-4.13）对整个荷载区间上的这些微分项求和得到杜哈梅积分所表示

22、的有阻尼体系的反应： （1-4.14）在数值计算时，可以按无阻尼体系的情况进行，请自己推导。1.5 傅立叶变换和频域反应一般说来，可以把任一周期函数展开成傅立叶级数形式： （1-5.1）对于给定函数的系数和可由下式确定： （1-5.2）一用傅立叶级数表示的荷载作用下的反应无阻尼单自由度体系用傅立叶级数表示的周期力的总反应，由该级数各项反应的叠加组成，包括恒力的反应（稳态反应），即： （1-5.3）式中：，有阻尼单自由度体系用傅立叶级数表示的周期力的总反应，也由该级数各项反应的叠加组成，可表示为： （1-5.4）式中：为阻尼比二分段线性函数的傅立叶系数如前面杜哈梅积分所述，可以用图1.42所示的

23、分段线性函数来表示外力函数，这样就可以把傅立叶系数的计算式（1-5.2）用外力函数的各分段积分和来表示： （1-5.5）式中N是外力函数的分段数，任意时间间隔ti-1tti的外力函数可由式（1-4.11） 表示。将式（1-4.11） 代入式（1-5.5），积分得到分段线性函数的傅立叶系数为： （1-5.6）三离散傅立叶变换将傅立叶系数拓展到非周期函数所得到的积分称为傅立叶变换。级数，（j=0,1,2N-1）的傅立叶变换常常通过欧拉公式用指数形式来表示： （1-5.7）式中： （1-5.8）它的离散傅立叶逆变换为： （1-5.9）用有限和的形式，给出了任意离散函数，就可以得到受荷载函数的简谐分量

24、激励的简单振子的反应。在有阻尼简谐激励的运动微分方程中，引入单位指数外力函数便得到： （1-5.10）其稳态解为： （1-5.11）把式（1-5.11）代入式（1-5.10），便得到函数H(n)，称为复频反应函数，其表达式为： （1-5.12）式中：为频率比，为阻尼比。因此，由式（1-5.9）给定的具有幅值的简谐分量在时的反应可表示为： （1-5.13）于是，由N个简谐分量得到的总反应为： （1-5.14）1.6 反应谱反应谱是单自由度体系在特定荷载作用下的最大反应曲线（最大位移最大速度和最大加速度等）。反应谱的横坐标是体系的自振频率（或周期），纵坐标是最大反应。考虑图1.61所示无阻尼振子受

25、半周期正弦荷载的激励作用，假设体系初始处于静止状态，正弦波的持续时间为，其运动微分方程为： （1-6.1）其中： 图1.61 荷载F(t)作用下的无阻尼简单振子该运动微分方程的解可以用直接积分法求得，它分为两部份： （1-6.2）式中：；。由式（1-6.2）可以看出，按表示的反应是脉冲持续时间与系统自振周期比（）和时刻与周期的比值（）的函数。因此对于参数的任一给定值，由式（1-6.2）可得到其最大反应，图1.62即为函数的最大反应值，它也就是半正弦荷载时程的反应谱。图1.62 持续时间为td的半正弦荷载的反应谱从图1.62可以看出，反应谱的最大值（放大系数）1.76，位于0.8处。由于输入荷载

26、简单，这时有可能得到封闭解，并画出按无量纲比值表示的反应谱，该谱曲线对任何用半正弦波描述的脉冲荷载都是有效的。但是，对于随机输入荷载，不能期望得到一般的反应谱曲线，通常反应谱曲线应针对特殊激励给出。一、支座受激振的反应谱结构动力学中的一个重要问题就是结构的基础或支座受到激振时体系的反应分析。如图1.63所示有阻尼振子的结构在基础输入一激振力，激振力由图1.64表示的加速度函数来给定。 图1.63 基础激振的有阻尼简单振子 图1.64 基础激振的加速度函数由图1.63相应的隔离体图中的合力为零得到其运动微分方程为： （1-6.3）式（1-6.3）是用绝对运动表示的有阻尼振子的运动微分方程，更实用

27、的是由它得到的质点对于支座的相对运动表达式，相对位移，代入（1-6.3）式得到： （1-6.4）式中：；。微分方程（1-6.4）的解可以用前面介绍的单自由度体系的求解方法得到，例如用杜哈梅积分得出： （1-6.5）二、三联反应谱使用对数可以把最大加速度相对位移和相对拟速度的最大反应画在同一张纸上，即把加速度谱、位移谱和速度谱画在一起，称为三联反应谱。这里拟速度并不是精确的实际速度，但它们之间联系密切，是真实速度的一种较方便的代换。对于支座受激振的无阻尼体系的运动微分方程，用相对位移表示为： （1-6.6）从上式中可见，绝对加速度总是与相对位移成正比的，特别是在最大值时，加速度谱与位移谱成正比，

28、即： （1-6.7）式中：，是体系的自振频率；。为了方便起见，定义拟速度的最大值为速度谱，即： （1-6.8）弹性体系单自由度动力反应谱由输入运动的数字来计算。单自由度受支座运动的三联反应谱典型例子如图1.66。该反应谱是输入1940年埃尔森特罗地震地面加速度记录的运动反应，这个地震加速度记录广泛应用于地震工程研究之中，该地震加速度记录图形如图1.65所示。在1971年加州的圣费尔南多地震以前，埃尔森特罗地震记录是已有的最长和最强烈的地震记录之一。图1.66是将式（1-6.7）和式（1-6.8）用自振频率来表示（），并对各项取对数而得到的，因此其纵横坐标均采用对数坐标，并通过位移横坐标倾斜，加

29、速度横坐标倾斜而画出以对角线为横轴的坐标，这样就可以从一张图上同时读出加速度速度和位移谱值。图1.65 1940年5月6日Elecentro地震南北分量地面加速度记录 图1.66 1940年Elecentro地震弹性体系的反应谱三非线性体系的反应谱一般来说，反应谱来自不同阻尼单自由度体系特殊激振计算的反应，并用短时间间隔数值积分来计算体系的反应。对于非线性体系，体系的反应采用逐步积分法计算，其基本思路是：将振动微分方程用增量形式表示，为计算方便，通常将所要计算的时程划分成许多相等的时间间隔（即步长），在每一个连续的时间增量上计算反应值。在每一个时间间隔开始时已经建立了动力平衡条件，因此对时间增量的反应是基于刚度系数和阻尼系数在上保持不变的条件下近似计算出来的。在分析中，通过在每一个时间增量的起点重新计算这些系数来考虑它们的非线性特性。而反应值是用上一时间间隔结束时的位移和速度作为下一时间步长的初始条件而计算得到。由此可见，对于每一个时间间隔，是在其开始时来计算系数和的，并假定直到下一个时间步长，它们都保持不变，所以体系的非线性特性近似于依次连续变化的线性体系，常用线性加速