海森堡的矩阵力学实用教案

1、课程(kchng)简介 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是物理学专业的专业必修课程之一。设置量子力学课程的主要目的是： 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用(ynyng)这些方法解决较简单问题的能力。 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与提高打下必要的基础。第1页/共83页第一页，共84页。基本粒子基本粒子原子核原子核原子原子分子分子团簇团簇纳米纳米(n m)体系体系介观体系介观体系研研 究究 对

2、对 象象天体物理天体物理 宇宙学宇宙学能源能源(nngyun)化学化学 生物学生物学材料科学材料科学第2页/共83页第二页，共84页。目目 的的 要要 求求1. 深入理解微观粒子的运动特性。深入理解微观粒子的运动特性。掌握描述微观粒子运动的方法，掌握描述微观粒子运动的方法， 即量子力学即量子力学(lin z l xu)的数学框架。的数学框架。3. 初步掌握应用量子力学初步掌握应用量子力学(lin z l xu)处理简单体处理简单体系的方法。系的方法。 学习方法学习方法(fngf) 少问为什么少问为什么 多问是什多问是什么么第3页/共83页第三页，共84页。主主 要要 内内 容容 I. 绪论：量

3、子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论，微观粒子的波粒二象性。 II. 波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，测不准原理和态迭加原理，薛定谔方程，一维定态问题。 III. 力学量的算符表示：表示力学量的算符，算符的本征值和本征函数，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，电子(dinz)在库仑场中的的运动，氢原子。第4页/共83页第四页，共84页。 IV. 态和力学量的表象：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公

4、式的矩阵表述，幺正变换。 V. 近似方法：定态微扰理论，变分法的基本原理及方法，含时微扰理论（跃迁几率、光的发射和吸收、选择定则）。 VI. 电子自旋与角动量：电子自旋，自旋算符和波函数，角动量耦合，涉及自旋-轨道(gudo)耦合时哈密顿的处理方法。 VII. 全同粒子体系：全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，氢分子。 VIII. 散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩近似，方形势阱与势垒所产生的散射。第5页/共83页第五页，共84页。参参 考考 教教 材材1周世勋，量子力学教程(jiochng)，人民教育出版社。2曾谨言，量

5、子力学，科学出版社。3L. I. 希夫，量子力学，人民教育出版社。4A. 梅西亚，量子力学，人民教育出版社。5钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。第6页/共83页第六页，共84页。第一章 绪论(xln)1.2 经典(jngdin)物理学的困难1.3 光的量子(lingz)性1.4 玻尔的量子论1.1 量子力学发展简史1.5 微观粒子的波粒二象性1.6 波函数的统计解释第7页/共83页第七页，共84页。1.1 量子力学(lin z l xu)发展简史1896年 气体放电管，发现(fxin)阴极射线。1897年 J.J Thomson 通过(tnggu)测定荷质比， 确定了电子的存在。1900

6、年 M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。第8页/共83页第八页，共84页。1924年 L.de Brglie 提出(t ch)了“物质波”思想。1913年 N.Bohr 提出(t ch)了原子结构的量子化 理论（旧量子论）1911年 E.Rutherfold 确定(qudng)了原子核式结构1923年 A.H.Compton散射证实了光子的基本公式hE /hp 的正确性，并证实在微观碰撞过程中能量守恒、动量守恒成立。第9页/共83页第九页，共84页。第二节1.2

7、 经典(jngdin)物理学的困难一、一、 固体固体(gt)与气体分子的与气体分子的比热比热二、二、 原子原子(yunz)的线状光谱与稳定的线状光谱与稳定性问题性问题三、三、 黑体辐射黑体辐射四、四、 光电效应光电效应第10页/共83页第十页，共84页。一、固体与气体一、固体与气体(qt)(qt)分分子的比热子的比热 固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以(ky)看成是具有三个看成是具有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。因此，固。因此，固体的定容比热为体的定容

8、比热为 C =3R5.96cal/kv图图1.1 固体比热固体比热 实验发现，在极低温度下，固体比实验发现，在极低温度下，固体比热都趋于热都趋于0，如图所示。此外，若考虑到，如图所示。此外，若考虑到原子由原子核和若干电子组成，为什么原子由原子核和若干电子组成，为什么原子核与电子的这样多自由度对于固体原子核与电子的这样多自由度对于固体比热都没有贡献？比热都没有贡献？CVT3R第11页/共83页第十一页，共84页。 多原子分子的比热也存在类似的问题。例如多原子分子的比热也存在类似的问题。例如(lr)，双原子分子有，双原子分子有6个自由度个自由度（三个平动自由度、两个转动自由度、一个振动自由度），比

9、热应该为（三个平动自由度、两个转动自由度、一个振动自由度），比热应该为7R/2。双原子双原子(yunz)分子分子的比热的比热 实际上只有在高温下为实际上只有在高温下为7R/2，在常温下，观测，在常温下，观测(gunc)结果为结果为5R/2，在低，在低温度下它们的比热都降到了温度下它们的比热都降到了3R/2 。CVT3R/25R/27R/2第12页/共83页第十二页，共84页。分子分子(fnz)的转动与振的转动与振动能级动能级EhnEn)(21IhllEl2) 1(2第13页/共83页第十三页，共84页。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度(wnd)越高，速率大的分

10、子数越多f(v)= 4 m2 kT3/2v2e -m v /2kT2第14页/共83页第十四页，共84页。二、原子的线状光谱二、原子的线状光谱(gungp)(gungp)与稳与稳定性问题定性问题1895年年Rntgen发现发现X射线射线1896年年A.H.Bequerrel发现天然放射性发现天然放射性1898年年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭夫妇发现了放射性元素钚与镭 电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。原子既然可以放出带负电的它们具有复杂的结构，并可相互转化

11、。原子既然可以放出带负电的粒子来，那粒子来，那么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。1. 1. 原子原子(yunz)(yunz)的稳定性的稳定性第15页/共83页第十五页，共84页。1904年年Thomson提出有关原子结构的提出有关原子结构的Thomson模型模型1911年年Rutherford通过通过粒子散射实验提出Rutherford模型，模型， 即今天众所周知的即今天众所周知的“核式结构模型核式

12、结构模型” 由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动 力学力学(l xu)，加速运动的带电粒子将不断辐射而，加速运动的带电粒子将不断辐射而 丧失丧失 能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会 大量丧失能量而大量丧失能量而“掉到掉到”原子核中去。这样，原原子核中去。这样，原 子也就子也就“崩溃崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定了。但现实世界表明，原子是稳定 的存的存 在着。在着。第16页/共83页第十六页，共84页。 2. 原子的线状光谱原子的线状光谱(gungp)及及其规律其规律6562.84861.34340.

13、5 4101.7HHHHH图图1.2 氢原子光谱（氢原子光谱（Balmer系）系） 最早的光谱分析始于牛顿（最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到世纪），但直到(zhdo)19世世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。 由于光谱分析由于光谱分析(un p fn x)积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。分析。1885年，年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律第17页/共83页第十七页，共84页。 5 , 4 , 3)121(22R

14、nR1581.109677cmRBalmer公式与观测结果公式与观测结果(ji gu)的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差)()(mTnTnm其中其中(qzhng)m, n是某些整数。是某些整数。显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。显然，光谱项的数目比光谱线

15、的数目要少得多。第18页/共83页第十八页，共84页。三、黑体三、黑体(hit)(hit)辐射辐射实验(shyn)表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。辐射的能量与温度(wnd)有关，称之为热辐射。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。单色辐出度dTdmTM),(),(单位时间、单位表面积上所辐射出的、单位波长间隔中的能量。辐射出射度0),()(dTMTM第19页/共83页第十九页，共84页。入射总能量吸收能量),(T吸收(xshu)比 反射(fnsh)比入射总能量反射能量),(T1),(),(TT对于对于(duy)非透明物体非透明物体基尔霍夫定律基尔霍夫定律：),(),

16、(),(0TMTTM在热平衡下，任何物体的在热平衡下，任何物体的单色辐出度单色辐出度与与吸收比吸收比之比，是个普适函数。之比，是个普适函数。第20页/共83页第二十页，共84页。 绝对绝对(judu)黑体的热辐黑体的热辐射规律射规律 对于任意温度、或波长(bchng)，绝对黑体的吸收比都恒为1用不透明材料制成一空心(kng xn)容器，壁上开一小孔，可看成绝对黑体黑体000),()(dTMTM绝对黑体的辐射出射度绝对黑体的辐射出射度第21页/共83页第二十一页，共84页。 斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律(dngl)40)(TTM）开（米瓦428/1067. 5维恩位移(wiy)定律bTm

17、开米310897. 2b实验发现：当绝对黑体的实验发现：当绝对黑体的温度温度(wnd)升高时，单色辐出度升高时，单色辐出度最大值最大值m 向短波方向移动。向短波方向移动。),(0TM1700k1500k1300k第22页/共83页第二十二页，共84页。 经典物理遇到经典物理遇到(y do)的困难的困难 瑞利和琼斯用瑞利和琼斯用 能量均分定理能量均分定理(dngl) 电磁理论得出：电磁理论得出：402),(ckTTM只适于长波，有所谓只适于长波，有所谓(suwi)的的“紫外灾难紫外灾难”。),(0TM实验瑞利-琼斯线维恩线T=1646k 维恩根据经典热力学得出：维恩根据经典热力学得出：TcecT

18、M2510),(秒米焦耳/1070. 32161c开米221043. 1c第23页/共83页第二十三页，共84页。112),(520TkhcehcTM),(0TM实验瑞利-琼斯线维恩线T=1646k普朗克线普朗克的拟合(n h)结果第24页/共83页第二十四页，共84页。 普朗克能量子假说(ji shu)* 辐射物体辐射物体(wt)中包含大量谐振子，它们的能量取分立值中包含大量谐振子，它们的能量取分立值 * 存在存在(cnzi)着能量的最小单元（能量子着能量的最小单元（能量子=h)* 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量从理论上推出：从理论上

19、推出：112),(520TkhcehcTM分别分别是玻尔兹曼常数和光速。是玻尔兹曼常数和光速。ck和 h=6.626 10-34焦耳。焦耳。第25页/共83页第二十五页，共84页。o(m)1 2 3 5 6 8 947MB维恩瑞利-金斯实验(shyn)值紫外灾难第26页/共83页第二十六页，共84页。四四. .光电效应光电效应( (unun din din xio xio yng)yng) 光电效应的实验(shyn)规律及经典理论的困难UG 饱和(boh)光电流强度与入射光强度成正比。或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比U0312UIIS0相同频率，不同入射光强度相同频

20、率，不同入射光强度第27页/共83页第二十七页，共84页。U03U02U01312UIIS0相同(xin tn)入射光强度，不同频率 光电子的初动能与入射光强度(qingd) 无关，而与入射光的频率有关。截止电压的大小反映(fnyng)光电子初动能的大小20021mVeUaUKU0截止电压与入射光频率有线性关系aeUeKmV20210UaU0红限频率第28页/共83页第二十八页，共84页。 * 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关有关(yugun)

21、而与光强无关。而与光强无关。经典理论经典理论(lln)的困难：的困难：* 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有频率低于红限时，无论光强再大也没有(mi yu)光电流。光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。而经典认为有无光电效应不应与频率有关。 * 瞬时性。瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。能量要时间，即需能量的积累过程。第29页/共83页第二十九页，共84页。 当采用了光量子概念当采用了光量子概念(ginin)后，后，光电效应问题

22、迎刃而解。当光量子射光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能到金属表面时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属表面。逸出表面后，电子的动出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：能为：AhmV2021A 称为逸出功。只与金属性质有关。与光的频率无关。（4） 当当 （临界频率）时，电子无法克服金属表面的引（临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。力而从金属中逸出，

23、因而没有光电子发出。hA/0 Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度成功地解决了固体比热在温度T0K是趋于是趋于0的现象。这时，的现象。这时，P lank的光量的光量子能量不连续性概念才引起很多人的注意。子能量不连续性概念才引起很多人的注意。第30页/共83页第三十页，共84页。1.3 1.3 光的量子光的量子(lingz)(lingz)性性一、光的量子性一、光的量子性二、二、Plank-Einstein关关系系三、三、Compton Scattering第31页/共83页第三十一页，共

24、84页。一、光的量子一、光的量子(lingz)性性干涉、衍射干涉、衍射(ynsh)现象：现象：光是波光是波赫兹赫兹(hz)：光是电磁波光是电磁波黑体辐射、光电效应：黑体辐射、光电效应：光的量子性光的量子性:电磁辐射的能量是被一份一份电磁辐射的能量是被一份一份 地发射和吸收的。地发射和吸收的。第32页/共83页第三十二页，共84页。二、二、Plank-EinsteinPlank-Einstein关系关系(gun x)(gun x) Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念：在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个即认为辐射场由光量子组成，每一个(y )

25、光量子的能量与辐射场的频率的关系是：光量子的能量与辐射场的频率的关系是： 并根据狭义相对论以及光子以光速并根据狭义相对论以及光子以光速C运动运动(yndng)的事实，得出光子的动量的事实，得出光子的动量P波波长长的关系：的关系：hE /hcEp第33页/共83页第三十三页，共84页。三、三、ComptonCompton散射散射(snsh)(snsh) Compton散射曾经被认为是光子概念以及散射曾经被认为是光子概念以及(yj)Plank-Einstein关系关系的判定性实验。的判定性实验。 早在早在1912年，年，C.Sadler 和和A.Meshan就发现就发现X射线被轻原子量的物质散射后

26、，波长有射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，变长的现象，Compton把这种现象看成把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验实验(shyn)结果。结果。第34页/共83页第三十四页，共84页。康普顿散射(snsh)的实验规律：1、散射线波长的改变(gibin)量 随散射角 增加而增加。2、在同一(tngy)散射角下 相同 , 与散射物质和入射光波长无关。3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。8 入射X光 散射X光散射角0 045 090 0 135 第35页/共83页第三十五页，共84页。 Compton Compton

27、认为认为X X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量(dngling)(dngling)是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量(dngling)(dngling)，因而散，因而散射出去的光子的能量与动量射出去的光子的能量与动量(dngling)(dngling)都相应减小，即都相应减小，即X X射线频率变小而波长增大。射线频率变小而波长增大。 相对于相对于X X射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很

28、小，在碰撞前电子可视为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量中能量与动量(dngling)(dngling)守恒，即：守恒，即：第36页/共83页第三十六页，共84页。eepppEhmch2（5）（6）222)6(/)5(c并利用相对论中能量动量关系式并利用相对论中能量动量关系式22222/cmpcEee 入射X光 散射X光散射角第37页/共83页第三十七页，共84页。可得可得222222)()(1cmpphmchc（7）对于光子，对于光子，chpchp/,/则则co

29、scos2chpppp代入式（代入式（7），可解出），可解出)cos1 (12mch（8）或或)cos1 (1 112mch第38页/共83页第三十八页，共84页。利用利用/,/cc上式改写成上式改写成)cos1 (mch（9）令令021043. 2Amchc（电子的（电子的ComptonCompton波长）波长）（10）)cos1 (c)cos1 (c（11） 由式（由式（9 9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。所得公式与实验结果完全符合。第39页/共83页第三十九页，共84页。 从式（从式

30、（9）可以看出，散射的）可以看出，散射的X射线波长与角度的依赖关系中包含了射线波长与角度的依赖关系中包含了Plank常数常数K。因此。因此(ync)，它是经典物理学无法解释的。，它是经典物理学无法解释的。 ComptonCompton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持，因为在散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是它的一部分）被散射。此外，上述推导中，假设了整个光子（而不是它的一部分）被散射。此外，ComptonCompton散射实验还证实：散射实验还证实：a.a. Plank-EinsteinPlank-Einstein关系在定量上是正

31、确的关系在定量上是正确的b.b. 在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）第40页/共83页第四十页，共84页。1.4 1.4 玻耳的量子论玻耳的量子论一、原子的线状光谱和稳定性一、原子的线状光谱和稳定性二、二、Bohr的量子论的量子论第41页/共83页第四十一页，共84页。一、原子一、原子(yunz)的线状光的线状光谱和稳定性谱和稳定性组合原理：组合原理：)()(nTmT氢原子：氢原子：)11(22nmRH)11(22nmcRHnmHEEnmchRh)11(22第42页/共83页第四十

32、二页，共84页。mnEEh（频率条件）（频率条件）2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁 时，吸收或发射的辐射的频率时，吸收或发射的辐射的频率是二、二、BohrBohr的量子论（的量子论（19131913）Bohr量子论的两个量子论的两个(lin )重要假定：重要假定：1、定态假定：原子能够，而且只能够存在于定态假定：原子能够，而且只能够存在于 分立的能量相应的一系列状态中。分立的能量相应的一系列状态中。第43页/共83页第四十三页，共84页。1.5 1.5 微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性一、德布罗意的物质波一、德布罗意的物质波二、电子衍射实验二

33、、电子衍射实验三、微观粒子的波粒二象性三、微观粒子的波粒二象性第44页/共83页第四十四页，共84页。一、德布罗意的物质波一、德布罗意的物质波德布罗意德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960) 德布罗意原来学习历史，后来(huli)改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。法国(f u)物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力

34、学的创始人，量子力学的奠基人之一。第45页/共83页第四十五页，共84页。 一个(y )质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n和波长l所描述的波动性。hEPh德布罗意关系(gun x)如速度v=5.0 102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：nmmvh25103 . 1 如电子m=9.1 10-31Kg，速度v=5.0 107m/s, 对应的德布罗意波长为：nmmvh2104 . 1 太小测不到！X射线波段第46页/共83页第四十六页，共84页。二、电子衍射实验二、电子衍射实验(shyn)1 1、戴维逊、戴维逊

35、- -革末实验革末实验(shyn)(shyn)GM 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们(t men)与G. P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。实验装置：实验装置：电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体M上，散射后进入电子探测器，由电流计G测量出电流。K第47页/共83页第四十七页，共84页。实验现象：实验现象：实验发现，单调地增加加速电压，实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现

36、增加的，而是出现(chxin)明显明显的选择性。例如，只有在加速电的选择性。例如，只有在加速电压压U=54V,且且=500时，探测器中时，探测器中的电流才有极大值。的电流才有极大值。d kd 2cos2sin22 kd sin实验实验(shyn)解释：解释：54U(V)IO/2/2/2/2第48页/共83页第四十八页，共84页。meUkhd2sin X射线实验测得镍单晶的晶格(jn )常数d=0.215nm777.0arcsin 实验结果：实验结果：理论值理论值(=500)与实验结果与实验结果(=510)相差很小，表明电子相差很小，表明电子电子确实具有电子确实具有(jyu)波动性，德布罗意关于

37、实物具有波动性，德布罗意关于实物具有(jyu)波动性的假设是正确的。波动性的假设是正确的。meUdkh21sin o51777.0arcsin 当加速电压U=54V，加速电子的能量(nngling)eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为nmmeUhph7 .162 第49页/共83页第四十九页，共84页。2 2、汤姆逊实验、汤姆逊实验(shyn)(shyn) 1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过(tnggu)薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过(tnggu)金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。 1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的

38、铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(zh b)(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。 3 3、电子通过狭缝的衍射实验：、电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50m mm，宽为0.3m mm ，缝间距为1.0m mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。第50页/共83页第五十页，共84页。第51页/共83页第五十一页，共84页。第52页/共83页第五十二页，共84页。第53页/共83页第五十三页，共84页。X射线经晶体(jngt)的衍射图电子(dinz)

39、射线经晶体的衍射图第54页/共83页第五十四页，共84页。三、微观粒子的波粒二象性三、微观粒子的波粒二象性经典经典(jngdin)粒粒子子)(trr“颗粒性颗粒性”轨道轨道各种力学量可以描述，并且是确定的各种力学量可以描述，并且是确定的经典经典(jngdin)的的波波)(2cosxTtAy粒子性：粒子性：“颗粒性颗粒性”波动性：波动性：“相干迭加性相干迭加性”第55页/共83页第五十五页，共84页。1.6 1.6 波函数的统计波函数的统计(tngj)(tngj)解释解释（一）波函数（一）波函数 （二）波函数的解释（二）波函数的解释 （三）波函数的性质（三）波函数的性质(xngzh) (xngz

40、h) （四）自由粒子的波函数（四）自由粒子的波函数第56页/共83页第五十六页，共84页。 3 3个问题个问题(wnt)(wnt)？ (1) (1) 是怎样描述粒子是怎样描述粒子(lz)(lz)的状态呢？的状态呢？(2) (2) 如何如何(rh)(rh)体现波粒二象体现波粒二象性的？性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数返返 回回1 1 第57页/共83页第五十七页，共84页。（二）波函数的解释（二）波函数的解释(jish)（1 1）两种错误）两种错误(cuw)(cuw)的看法的看法 1. 1. 波由粒子波由粒子(lz)(lz)组成组成 如如

41、，声波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的夸大了粒子性的一面

42、，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。一面，具有片面性。PPQQ电子源电子源感感光光屏屏O事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。子现象。 第58页/共83页第五十八页，共84页。2. 2. 粒子粒子(lz)(lz)由波组成由波组成l电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动

43、现象。波包的大小即电子的的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。大小，波包的群速度即电子的运动速度。 l什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验意义的，与实验(shyn)(shyn)事实相矛盾。事实相矛盾。 l实验实验

44、(shyn)(shyn)上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒子也不电子既不是粒子也不是波是波 ” ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，但是我们也可以说，“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中

45、的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。第59页/共83页第五十九页，共84页。经典概念中经典概念中 1. 1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。 经典概念中经典概念中 1. 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。 （2 2）Born Born 波函数的统计波函数的统计(tngj)(tngj

46、)解释解释 几率波几率波电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们我们(w men)(w men)再看一下电子的再看一下电子的衍射实验衍射实验 第60页/共83页第六十页，共84页。l结论：衍射实验所揭示的电子结论：衍射实验所揭示的电子(dinz)(dinz)的波动性是：的波动性是： 许多电子许多电子(dinz)(dinz)在同一个实验中的统计结果，或在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子者是一个电子(dinz)(dinz)在许多次相同实验中的统计结果。在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，B

47、orn Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比正比(zhngb)(zhngb)于该点附近感光点的数目，于该点附近感光点的数目， 正比正比(zhngb)(zhngb)于该点附近出现的电子数目，于该点附近出现的电子数目， 正比正比(zhngb)(zhngb)于电子出现在于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，照相在电子衍射实验中，照相(zho xing)(zho xing)底片上底片上 第61页/共83页第六十一页，共84页。据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运据此，描写粒

48、子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一动的一种统计规律性，波函数种统计规律性，波函数 (r) (r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先这就是首先(shuxin)(shuxin)由由 Born Born 提出的波函数的几率解释，它是量子提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。力学的基本原理。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述描述(mio sh)(mio sh)，与经典波相似，与经典波相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)|2 | (r)|2 描述描述(mio sh)(mio sh)，但意义与经典波，但意义与经典波不同。不同。| (

49、r)|2 | (r)|2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近点附近(fjn)(fjn)几率的大几率的大小，小， 确切的说，确切的说， | (r)|2 x y z | (r)|2 x y z 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元x yx yzz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，返返 回回第62页/共83页第六十二页，共84页。（三）波函数的性质（三）波函数的性质(xngzh) 在在 t t 时刻，时刻， r r 点，

50、点，d = dx dy dz d = dx dy dz 体积内，找到由波体积内，找到由波函数函数 (r,t) (r,t)描写描写(mioxi)(mioxi)的粒子的几率是：的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 dd W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据根据(gnj)(gnj)波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： （1 1）几率和几率密度）几率和几率密度 在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, (

51、r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d 第63页/共83页第六十三页，共84页。（2 2）平方平方(pngfng)(pngfng)可可积积由于粒子在空间总要出现（不讨论由于粒子在空间总要出现（不讨论(toln)(tol

52、n)粒子产生和湮灭情粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C | (r , t)|2 d= 1, C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d C = 1/ | (r , t)|2 d 这即是要求描写这即是要求描写(mioxi)(mioxi)粒子量子状态的波函数粒子量子状态的波函数 必须是绝对值平方可积的必须是绝对值平方可积的函数。函数。若若 | | (r , t)| (r , t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有

53、意义的。这是没有意义的。第64页/共83页第六十四页，共84页。（3 3）归一化波函数）归一化波函数这与经典波不同这与经典波不同(b tn)(b tn)。经典波波幅增大一倍（原来的。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相应的波动能量将为原来的倍），则相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同倍，因而代表完全不同(b (b tn)tn)的波动状态。经典波无归一化问题。的波动状态。经典波无归一化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是

54、常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间时刻，空间(kngjin)(kngjin)任意两点任意两点 r1 r1 和和 r2 r2 处找到粒子的相对几率之比是：处找到粒子的相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小(dxio)(dxio)，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r,

55、t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。 第65页/共83页第六十五页，共84页。归一化常数(chngsh) 若若 (r , t ) (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )|2 d= A | (r , t )|2 d= A （A A 是大于零的常数），则有是大于零的常数），则有 |(

56、A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是说，也就是说，(A)-1/2 (r , t )(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数，与是归一化的波函数，与 (r,t ) (r,t )描写同一几率波，描写同一几率波，(A)-1/2 (A)-1/2 称为归一化因子。称为归一化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若若 (r , t ) (r , t )是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末，expi (r , t ) expi (r , t ) 也是归一化波函数

57、（其中也是归一化波函数（其中(qzhng)(qzhng)是实数），与前者描是实数），与前者描述同一几率波。述同一几率波。第66页/共83页第六十六页，共84页。(四）四） 自由自由(zyu)粒子的波粒子的波函数函数自由粒子，自由粒子，pE,确定确定phhE/,/)(2cosTtxAy)(2coshEthpxA)(1cosEtpxhA平面单色波平面单色波第67页/共83页第六十七页，共84页。)(1cosEtrphAeEtrphiA)(etrkiA)(第68页/共83页第六十八页，共84页。第69页/共83页第六十九页，共84页。作业作业(zuy)：2： ComptonCompton散射的解释散

58、射的解释1：计算：计算O2的转动动能和振动动能。的转动动能和振动动能。单位单位(dnwi)换算：换算：1ev12.000K(温度表能量)ZH14104 . 2（频率表能量）1000. 8cm（波长）第70页/共83页第七十页，共84页。附录附录(fl) 量子力学的建立及相关科学家传量子力学的建立及相关科学家传略略量子力学量子力学(lin z l xu)的的建立建立 量子力学是现代物理学的理论基础之一，是研究微观粒子运动规律的科学，量子力学是现代物理学的理论基础之一，是研究微观粒子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。自使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。自

59、1900年普朗克提出量子假年普朗克提出量子假设以来，量子力学便以前所未有的速度发展起来，紧接着是设以来，量子力学便以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光年爱因斯坦提出光量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量子理论和核式结构模量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意的物质波理论使经典物理学的卫道士们大型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩阵力学、吃一惊。海森堡的矩阵力学、“不确定原理不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独和薛定谔的波动力

60、学成了量子力学独当一面的基础。而数学高手当一面的基础。而数学高手(goshu)狄拉克在此基础上进一步实现了量子力学的狄拉克在此基础上进一步实现了量子力学的统一，建立了著名的统一，建立了著名的“狄拉克方程狄拉克方程”。泡利的。泡利的“不相容原理不相容原理”又给量子力学抹上了又给量子力学抹上了灿烂的一笔。灿烂的一笔。第71页/共83页第七十一页，共84页。 综观其发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。它不仅较大地推动了原子物理、原子核物理、光学、固体材料、化学等科学理论(lln)的发展，还引发了人们对哲学意义上的思考。相关科学相关科学(kxu)巨匠巨匠马克斯马克斯.普朗克（普朗克（1858-1947）