第3章方程与函数

1、目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt 第三章 第三章第三章方程与函数方程与函数 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt一、一、 方程的概念方程的概念3.1 方程与方程组的概念及分类方程与方程组的概念及分类 定义定义1 等式()()f xyzg xyz， ， ， ， ，称为方程。其中f 与g 都是自变数的函数。( )( )MD fD g称为这个方程的定义域 。xyz， ， ，称为方程的未知数。有n个自变数的方程称为n元方程。若 (),abcM， ， ，能使 ()(),f abcg abc， ， ， ， ，则称()abc， ， ，为方程f = g的一个解，解的全体所组成的集合S 称为这个方程

2、的解集。定义定义2显然.SM目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt,SM,S 当称f = g为恒等方程，记为.fg当称f = g为矛盾方程。定义定义 3一元方程f (x) = g (x)的解还称为一元方程的根。二、二、 方程的分类方程的分类（按解析式分类）整式方程有理方程代数方程分式方程方程无理方程超越方程（指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等）目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt三、三、 方程组的概念方程组的概念 定义定义 4 将含有n个未知数 xyz， ， ，(),abcM， ， ，的 (2k k ）联立起来，叫做方程组 。个方程方程组中的k个方程的定义域的交集M叫做该方程组的

3、定义域。 ()abc， ， ，若且同时是上述且同时是上述k个方程的解，个方程的解，则称 为方程组的一个解。 集合叫做方程组的解集。 方程组所有解的求方程组解集的过程叫做解方程组。 注：一元整式方程有注：一元整式方程有重根概念。 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3.2 方程与方程组的同解性方程与方程组的同解性解方程的过程实质是方程的同解变形过程解方程的过程实质是方程的同解变形过程（以一元方程进行讨论）定义定义 5 若方程f 1= g1的任何一个解都是方程f 2= g2的解，且方程f 2= g2的任何一个解都是方程f 1= g1的解，则称这两个方程同解。注：上述两个方程的定义域必须相同。即

4、方程的同解与定义域有关。 如果上述两个方程是整式方程整式方程，则重根次数相同。 两个矛盾方程认为是同解方程。 一、一、 方程与方程组的同解概念方程与方程组的同解概念目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt定义定义6 若方程f 1= g1的任何一个解都是方程f 2= g2的解，那么方程f 2= g2是方程f 1= g1的结果（或导出方程）。显然互为结果的两个方程同解。显然互为结果的两个方程同解。二、二、 方程（组）同解定理方程（组）同解定理定理定理1 如果方程f 1= g1 与方程f 2= g2的定义域相同，且1212,ffgg，则这两个方程同解。定理定理2 ( ( ),DxM且对任意的x M,

5、( )0,x则( )( )( ) ( )( ) ( )f xg xf xxg xx与同解。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt定理定理3 ( ( ),DxM( )( )( )( )( )( )f xg xf xxg xx与同解。则推论推论：( )( ),xg x 令则( )( )( )( )0f xg xf xg x与同解。定理定理 4 方程123( )( )( )( )0nf x fx fxfx 的解集S等于123n( )0( )0( )0( )0f xfxfxfx， ，各解集12nSSS， ， ，的并集。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt在解方程的过程中，除了利用同解变形，还常常

6、采用导出变形，常用的有（1）( )( )nnfxgx方程是方程( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x的导出方程。（2）12( )( )g xgx，若不恒等于0，则1221( )( )( )( )f x gxfx g x是1212( )( )( )( )f xfxg xgx的导出方程。（3） 方程lg( )lg ( )f xg xsin( )sin ( )f xg x是的导出方程。（4）是的导出方程。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt经过上述变形，作为原方程的导出方程往往与原方程不同解，可能会产生一些增根，因此在解方程时尽量采用同解方程，若不可能进行同解变

7、形，采用导出变形，这时必须进行验根。解方程过程中产生增根与失根的原因解方程过程中产生增根与失根的原因（1）定义域的变更导致增根与失根例 由115(1)1xxxx 定义域为得215(2)151xxxx 定义域为或215(3)xxR 定义域为23.xx （增根），目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 解方程sin2cos2.xx解：设tan2xt ，则原方程变为2222122,11tttt解得2,tan22xt 即。2arctan22().xkkZ所以由于(21)xk时，tan2x无意义，即将原方程变为新的代数方程时，k+1),x （2）定义域缩小（限制而(21)xk正是原方程的解。目录

8、上页 下页 返回 结束 精选ppt（2）同解定理应用不当，导致增根与失根例1(7)(3),xxx xx的两边同乘以得73,5.xxx所以失去了0 x 的根。原因( ( ).DxM目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3.3 整式方程整式方程一、一元n次方程的根的有关性质1、韦达定理定理1 （韦达定理）若121nnxxxx， ， ，是一元n次方程10110nnnna xa xaxa的根，则目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt11202121 31012310( 1)nnnnnnnaxxxaax xx xxxaax x xxxa 121nnxxxx， ， ，韦达定理的逆：韦达定理的逆：如果

9、满足上式，则121nnxxxx， ， ，必定是一元 n 次方程 1110nnnna xa xaxa0的 n 个根。 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 1 已知方程 320 xpxqxr的三个根分别是 ， ， ，求作一个以 222，为根的新方程。例例 2 设a，b，c都是实数，k为给定的正常数，且 0abcabck（1）试求 maxabc， ，的最小值； （2）试求 |abc的最小值。 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt2、实系数一元 n 次方程根的性质定义定义 1 若方程 10110nnnna xa xaxa的系数都是实数， 中的各项称这样的方程为实系数一元 n 次方程.定理

10、 2 实系数一元 n 次方程( )0f x 的虚根成对出现，即 abi是它的 k 重根， 则abi也是它的 k 重根。解一元 n 次方程，除了按照公式求解和降次这一基本方法外，求解的形式。 有时还采用将方程作适当的变换， 使它变为便于常用的变换方法有以下几种：目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt1、差根变换、差根变换方程 定理定理 3 ()0f yk的各个根分别等于方程 ( )0f x 的各个根减去k。 例例 3 求一个方程，使它的各根分别等于已知方程43267620 xxxx的各根减去2。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt对于1011( ),nnnnf xa xa xaxa若要化成

11、不含有n-1次项的多项式，只要将10aya n代入f (x)中的 x即可。例例 4 将已知方程43242530 xxxx变为三次项系数为0的方程，并使所求方程的各根与已知方程各根相差一个常数。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt2、倍根变换、倍根变换方程 定理定理 4 ()0 (0)yfkk的各个根分别等于方程 ( )0f x 的各个根的 k 倍。 推论推论 1 n次方程 1220120nnnnna xa kxa k xa k的各个根分别是方程 10110nnnna xa xaxa的各个根的 k 倍。 推论推论 2 把 n 次方程 10110nnnna xa xaxa的各个根变号，对应的方

12、程是122012( 1)0.nnnnna xa xa xa 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 5 求一个方程，使它的各个根分别是已知方程 43235100 xxxx的各根的2倍。例例 6 已知方程 4324200 xxxx的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相反，解这个方程。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3、倒根变换、倒根变换定理定理 5 如果方程 ( )0f x 没有等于零的根，那么方程1( )0fy的各个根分别是方程 ( )0f x 的各个根的倒数。 推论推论 3 如果n次方程 ( )0g x 的各个根分别是 n次方程 120120nnnna xa xa xa的各个

13、根的倒数， 那么 1110( )0.nnnng xa xaxa xa例例 6 已知方程 3214131890 xxx的三个根的倒数成等差数列，解这个方程。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 7 已知方程 323620 xxx的三个根为123,xxx， ，求作一个三次方程，使它的根是123231312123,.222xxxxxxxxxxxx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt二、一元三次方程的解法二、一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式为一元三次方程的一般形式为320 (0)axbxcxda把它的各个根减去,3ba就可化为不含二次项的方程 30(1)ypyq其中 2322332

14、927.327acbbabca dpqaa，研究一元三次方程 的解法，只需研究(1)这种形式的方程。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt设 ,yuv于是 333333()3()3yuvuvuvuvuvvyu即333()0(2)yuvyuv对照(1)有333()puvquv ，即3333327uvqpu v 由韦达定理的逆定理，知 33uv，是方程32027pzqz的两个根。解这个方程，得32427,2pqqz 30(1)ypyq目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt即2332332427(3)2427qqpuqqpv 且满足(4)3puv 设32312427qqpu 是2332427qq

15、pu 的任意一个解，则它的另外两个解为22131uuuu，（ 为1的三次单位根）目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt由(4)可得与123uuu， ，相应的v的三个解是112212131231333.33pvuppvvuuppvvuu ，=，目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt33232311124272427qqpqqpyuv因此30ypyq的三个解的公式是2211yuv2311yuv目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt111yuv21111211322uvuvyuvi 21111311322uvuvyuvi 由23427qp的符号可看出三次方程的根的性质：1）若230,427qp

16、则33uv，都为实数，且 33.uv这时方程(1)有一个实根，两个共轭虚根。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt则33,uv且都为实数， 2）若230,427qp这时方程(1)有三个实根，并且其中两个根相等。11112yuvu22111yuvu 23111yuvu 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt则33uv与为共轭虚根， 3）若230,427qp这时方程(1)有三个不同实根。31112cos3yuvr故有2321122cos()33yuvr2331142cos()33yuvr33(cossin )(cossin )urivri设，33(cossin)(cossin)3333uriv

17、ri于是，目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt总之原方程320 (0)axbxcxda的解为112233()()().333bbbxyxyxyaaa ，例例8 解三次方程 322612110.xxx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt三、倒数方程的解法三、倒数方程的解法定义定义4 在一元整式方程 f (x) = 0中，如果与首末两端等距离的项的系数相等或互为相反数，那么这种形式的方程称为倒数方程。在倒数方程中，如果 a 是方程的根，那么 1也是方程的根。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt10111111( )( )( )( )nnnnfaaaaaaaa倒数方程有四种类型倒数方程有

18、四种类型（1）形如）形如22110111000(0)kkkkkka xa xa xaxa xaa的方程称为第一种偶次倒数方程 。这里2n sx的系数。sx 项的系数等于10111()nnnnnaa aaaa aa1( )nf aa0目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt定理定理 6第一种偶次倒数方程可化为一个 k 次方程。证：原方程可改写成22111011(1)()()0 ( )kkkkkkka xa xxaxxa x因为0,x 所以可用1kx乘以方程两边，得10111111()()()0,kkkkkka xa xaxaxxx设 1,xyx又 12121111()()(),ppppppxxx

19、xxxxx所以 22212,xyx33313 ,xyyx( )得到的方程是 y 的 k 次方程。将以上各式代入方程2211101111000(0)kkkkkkkka xa xaxa xaxa xaa目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例9 解方程 4322316320.xxxx因为1和-1的倒数仍然是1和-1，如果( )0f x 偶次倒数方程，那么是第一种2(1) ( )0(1) ( )0(1) ( )0 xf xxf xxf x，(1) ( )0 xf x( 1)除了一个根（ 1或-1 ）或两个根的倒数仍然是本身外，其余的根是 k 对互为倒数的数。称为第一种奇次倒数方程，它的形式是212

20、1011000 (0)kkkkkkb xb xb xb xb xbb目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt(1) ( )0 xf x称为第二种奇次倒数方程，它的形式是2121011000 (0)kkkkkkc xc xc xc xc xcc2(1) ( )0 xf x称为第二种偶次倒数方程，它的形式是22212011000 (0)kkkkkkd xd xd xd xd xdd例例10 解方程6542654444560.xxxxx例11 解方程432625122560.xxxx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3.4 分式方程、无理方程和超越方程分式方程、无理方程和超越方程一、分式方程1

21、212( )( )( )( )f xfxg xgx1212( )( )( )( )f xfxg xgx，均为多项式。 例例1 解方程： 32322241016161051.257351xxxxxxxxxx解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程。分式方程化为整式方程。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt222212.12xxxxxxxx例例2 解方程：例例3 解方程：2221110.26116136xxxxxx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt二、无理方程形如 ( )( )f xg x的方程叫做无理方程，其中 中至少有一个含有根式。 ( )( )f xg x，基本方法是化无理方程

22、为整式方程化无理方程为整式方程1）平方法：平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；2）配方法：配方法：采用配方的手段及非负数性质，去掉根号； 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3）共轭根式法：共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号；4）换元法：换元法：用新变元整体代替根式，去掉根号； 5）不等式排除法：不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解 的实数，从而确定方程的解。 在解根式方程时，由于要去掉根号，将方程的两边在解根式方程时，由于要去掉根号，将方程的两边n次方，这样可能产生不适合原方程的根，称为增根。次方，这样可能产生不适合原方程的根，称为增根。解根式方程时，验根是必不可少的

23、步骤。解根式方程时，验根是必不可少的步骤。 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例4 解方程3211.xx 例例5 解方程2222.xx例例6 解方程7510.3241xxxx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt2971880.xxx例例7 解方程例例8 解方程22249911.xyyzzx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例9 解方程 416161616xxxx例例10 解方程322 11111110 xxx 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt三、初等超越方程三、初等超越方程初等超越方程的求解最终归结为最简超越方程的求解最简超越方程是指形如 f (x) = c，其中f

24、 (x)是基本初等超越函数(指数函数、对数函数、无理数指数的幂函数、三角函数与反三角函数)， c是常数。解最简超越方程就是求出一切使基本初等函数的值等于已知常数 c 的变数值。最简超越方程的类型和解分别是：(1)最简指数方程(01)xacaa， 当c 0时，有唯一的解x loga c。当c 0时，无解。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt(2) 最简对数方程log(0,1)axcaa对于任何实数c，有唯一的解cxa (3) 最简幂函数方程()xc为无理数当c 0时，有唯一的解1xc；当c 0时，无解。(4)最简三角方程sin,| | 1xcc当时，有无穷多个解：( 1) arcsin()n

25、xncn Z| | 1c 时无解。目录 上页 下页 返回 结束 精选pptcos,| | 1xcc当时，有无穷多个解：2arccos()xncnZ| | 1c 时无解。tan,xcc对任意的实数 有无穷多个解:arctan()xncnZcot,xcc对任意的实数 有无穷多个解:arccot()xncnZ目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt(5) 最简反三角方程arcsin,| |sin2xccxc当时，有唯一解；| |2c时，无解。arccos,cosxccxc当0时，有唯一解；c当0， 时，无解。arctan,| |tan2xccxc当时，有唯一解；| |2c时，无解。arccot,0c

26、otxccxc当时，有唯一解；(0)c当，时，无解。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt初等超越方程的基本类型有：(1) ( )0F f x这里的 f (x)是某一个以x为自变数的基本初等超越函数, 设f (x)= t,是关于t的代数函数，( )F t这样( )0F t 是一个代数方程。如果(12)it ik， ， ，是( )0F t 的实根，那么原方程归结为解k个最简超越方程12.( )( )( )kf xtf xtf xt， ，目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt(2) ( )f g xc这里的( )g x是某一个以x为自变数的代数函数，设( ),yg x则( )f yc是某个关于

27、自变数y的基本初等超越函数， 根据最简超越方程的解，可求得满足( )f yc的y， 于是，解方程 ( )f g xc代数方程归结为解( )0.g xy例例10 解方程323sin7cossin30 xxx 例例11 解方程2log (51)3x目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3.5 方程组的解法方程组的解法一、多元二次和高次方程组一、多元二次和高次方程组例例12 解方程组： 232323xaya zaxbyb zbxcyc zc （其中 a, b, c互不相等）目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例13 解方程组： 22233361436xyzxyzxyz例例14 解方程组： 3

28、23232131313xyyyzzzxx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例15 解方程组： 222222134xyxyyzyzzxzx的正数解。例16 解方程 sin()12cos(2)16.xyxy目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例17 在实数集内解方程组2229.4862439xyzxyy目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3.7 初等函数性质的判定初等函数性质的判定一、初等函数1、反函数 定义定义 1 设函数 y = f (x) ，如果对 ,fyR fxD只有唯一的，使得 y = f (x)成立， 这样就确定了一个定义在 fR上的函数 x = f (y )，称它为

29、y = f (x)的反函数， 记为 1( ).xfy注：注：1）习惯上总是用x表示自变量，即将y = f (x)的反函数改写为 1( )xfy1( ).yfx2） y = f (x)与 1( )yfx的定义域和值域互换.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt3）在同一个坐标系中， y = f (x)与 1( )yfxyx的图象关于直线对称。定义定义22 复合函数设函数 ( )( ),yf uug x，如果 ,gfRD就确定了定义在 ( ( ),gDyf g x上的函数称它为 ( )( )yf uug x和复合成的复合函数。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例1 设函数 1( )( ),yf xyfx存在反函数( )()( )yg xyf xabyxyg x若和