2020年高考文数二轮专题复习：题型2第4讲第1课时空间中线、面平行和垂直关系的证明含解析

1、第 4 讲立体几何 第 1 课时空间中线、面平行和垂直关系的证明 考情分析立体几何的解答题着重考查线线、线面与面面平行和垂直的判定 与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等 . 热点题型分析 热点综合法证明平行和垂直 方法结论 7 1 线、面平行问题解题策略 (1) 证明线面平行：利用线面平行的定义、判定定理，面面平行的性质定理、 性质等； (2) 证明面面平行：利用面面平行的定义、判定定理、垂直于同一直线的两个 平面平行、平行于同一平面的两个平面平行； (3) 利用线线、线面、面面平行的相互转化. 2. 线、面垂直问题解题策略 (1) 证明线线垂直：利用图形中的垂

2、直关系、等腰三角形底边中线的性质、勾 股定理、线面垂直的性质； (2) 证明线面垂直：利用判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的性质； (3) 证明面面垂直：利用判定定理、证明直二面角； (4) 利用线线、线面、面面垂直的相互转化. I【题型分析】I (2019江苏高考)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为BC, AC 的中点，AB= BC. 求证：(1)A1B1 II 平面 DEC1； (2)BE 丄 C1E. 证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以EDI AB. 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，ABI A1B1， 所以 AiBi / ED. 又因为ED?

3、平面DECi, A1B1?平面DECi, 所以AiBi /平面DECi. (2)因为AB= BC, E为AC的中点，所以BE丄AC. 因为三棱柱ABC AiBiCi是直棱柱，所以CiC丄平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CiC丄BE. 因为 CiC?平面 AiACCi, AC?平面 AiACCi, CiCA AC = C, 所以BE丄平面AiACCi. 因为CiE?平面AiACCi，所以BE丄CiE. 【通法指导】 i. 利用综合法证明平行和垂直的步骤如下： (1) 巧转化：根据图形与已知条件，通过转化寻找证明平行或垂直所需要的条 件； (2) 用定理：将上述转化所得的条件代入相应的判

4、定或性质定理； (3) 得结论：根据定理证得相应的结论. 2 利用线面平行的判定定理证明线面平行是常用方法，根据定理要求，需证 线线平行，而证明线线平行的方法则常用三角形中位线的性质、构造平行四边形 或平行公理，要根据图形特征灵活选择方法. 3 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直是常用方法，而其需要证明线面垂 直在证明线线垂直时，要注意特殊图形中的隐含垂直关系，如直棱柱和正棱柱 的条件，菱形对角线相互垂直平分，圆中直径所对的圆周角为 90等. 【针对训练】 i .如图，平面ABBiAi为圆柱的轴截面，点C为底面圆周上异于A, B的任意 一占 八、 (i)求证：BC丄平面AiAC; 若D为AC的

5、中点，求证：AiD /平面OiBC. 证明 因为ABBiAi为圆柱的轴截面，点C为底面圆周上异于A, B的任意 一点，所以BC丄AC.又在圆柱中，AAi丄底面圆0,所以AAi丄CB,又AAi A AC =A,所以4. BC丄平面AiAC. (2)如图，取BC边中点M，连接DM , O1M. 1 因为D为AC的中点，所以DM / AB，且DM = 2AB.又在圆柱中，AiOi/ AB 且Ai0i=1;AB，所以DM / A1O1且DM = A1O1，所以AiDMOi是平行四边形，故 AiD / O1M.又 A1D?平面 O1BC, O1M?平面 O1BC，所以 A1D /平面 O1BC. 2如图

6、所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形AAiBiB为正方形，四边形 BBiCiC 为菱形，/ BBiCi = 60 平面 AAiBiB丄平面 BBiCiC. (1)求证：BiC 丄 ACi; 设点E, F分别是BiC, AAi的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关 系，并说明理由. 解(1)证明：如图所示，连接 BCi.因为四边形BBiCiC为菱形，所以BCi丄 BiC.又因为四边形 AAiBiB为正方形，所以 AB丄BBi，因为平面 AAiBiB丄平面 BBiCiC，平面 AA1B1B A 平面 BBiCiC= BBi, AB?平面 AAiBiB，所以 AB 丄平面 BBiCiC.

7、 又BiC?平面BBiCiC，于是AB丄BiC.又因为ABA BCi = B,所以BiC丄平 面ABCi.因为ACi?平面ABCi，所以BiC丄ACi. 直线EF与平面ABC的位置关系为平行，证明如下： R 如图所示，取BC中点D，连接AD, DE.因为E是BiC的中点，所以DE / BBi 1 且DE =尹Bi.因为四边形AAiBiB为正方形，F是AAi的中点，所以AF / BBi且AF 1 =2BBi，故 DE / AF且DE = AF，所以四边形ADEF是平行四边形，因此AD / EF. 又AD?平面ABC, EF?平面ABC，所以EF /平面ABC. 专题作业 i. （20i7江苏高考

8、）如图，在三棱锥 A- BCD中，AB丄AD，BC丄BD,平面 ABD丄平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF丄AD . 求证：（i）EF /平面ABC; （2）AD 丄 AC. 证明 在平面 ABD内，因为 AB丄AD，EF丄AD， 所以 EF / AB. 又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF /平面ABC. 因为平面 ABD丄平面BCD， 平面ABD G平面BCD = BD， BC?平面 BCD，BC 丄 BD， 所以BC丄平面ABD . 因为AD?平面ABD，所以BC丄AD . 又 AB丄AD，BCG AB= B，AB?平面 ABC，BC?平

9、面 ABC， 所以AD丄平面ABC. 又因为AC?平面ABC，所以AD丄AC. 2. 如图，在正方形 AMDE中，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥 P- ABCDE中，F为棱PE的中点，平面 ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (: (i)求证：AB/ FG; 若PA丄平面 AMDE , PA=AE,求证：AF丄平面PED. 证明(1)因为四边形AMDE为正方形，B为AM的中点，所以AB/ DE.又DE ?平面PED, AB?平面PED，所以AB/平面PED.又因为 AB?平面ABHGF, 平 面 ABHGF n 平面 PED= FG ,所以 AB / FG. (2)因为PA丄平面

10、AMDE, ED?平面 AMDE，所以FAX ED，又因为四边形 AMDE为正方形，所以 AEX ED .因为AEn PA=A,所以ED丄平面PAE.又AF? 平面PAE,所以ED丄AF.因为PA=AE,F为棱PE的中点，所以AFX PE,又EDn PE =E,所以AF丄平面PED . 3. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AiAX平面ABC, ACX BC, E在线段BiCi 上，B1 E= 3EC1, AC= BC= CC1 = 4. (1) 求证：BCXAC1; (2) 试探究：在AC上是否存在点F，满足EF/平面A1ABB1 ?若存在，请指出 点F的位置，并给出证明；若不存在，请

11、说明理由. 解 (1)证明：因为AA1X平面ABC, BC?平面ABC,所以BCXAA1. 又因为 BCXAC, AA1n AC = A, AA1, AC?平面 AA1C1C, 所以 BCX平面 AA1C1C，又 AC1?平面 AA1C1C，所以 BCXAC1. 解法一：当AF= 3FC时，EF /平面A1ABB1证明如下： 如图，在平面 A1B1C1内过点E作EG/ A1C1交A1B1于点G,连接AG. 因为 B1E= 3EC1, 3 3 所以 EG = 4A1C1，又 AF / A1C1 且 AF = 4A1C1,所以 AF / EG 且 AF= EG, 所以四边形AFEG为平行四边形， 所以 EF / AG, 又 EF?平面 A1ABB1, AG?平面 A1ABB1, 所以EF /平面AiABBi. 解法二：当 AF = 3FC 时，EF /平面 AiABBi. 证明如下： 如图， 在平面BCCiBi内过点E作EG/ BBi交BC于点G,连接FG.因为EG / BBi, EG?平面 AiABBi, BBi?平面 AiA