非完整缓和曲线参数与坐标计算

1、道路工程测量中非完整缓和曲线参数与坐标计算中建八局第三建设有限公司张涛摘要：在道路工程测量中，非完整缓和曲线的参数、坐标计算和测设是一个常见 的难点和重点，掌握其特性及公式推导原理，对从业者非常重要和必要。关键词：非完整缓和曲线曲线参数 计算公式八匝道互通式立交一、概论工程测量学科是一门应用科学，它直接为国民经济建设和国防建设服务， 紧 密与生产实践相结合。在大中型建设项目中，工程测量是一项极其重要的、 专业 性较强的基础性工作。特别是在道路工程建设中，经常会遇到道路线形较为复杂， 线元变化较多的情况，而测量成果的精度高低，直接影响到工程质量的好坏，测 量工作的任何一次失误，都可能导致工程施工

2、出现较大的偏差，从而引起工程局 部返工甚至报废，并会延误工期，造成巨大地工程损失。因此，在施工过程中， 如何控制好工程测量的施作质量， 从而使工程建设顺利优质地完成，是每一个工 程测量工作者的首要职责。当前，全国各地基础设施工程建设快速发展。在一些高等级公路建设时，既要保证行车的安全性、便捷性和舒适性，保证道路线形平滑流畅，保证道路景观 效果，同时又受到地形条件限制，必须最大限度地节约土地资源， 所以设计者经 常采用较为复杂的平曲线、竖曲线线形设计。如在作者近期参建的重庆市渝中区 环道隧道工程和机场专用快速路工程中， 设计者就采用了多条非对称、非完整缓 和曲线线形。特别是机场专用快速路工程的桃

3、子湾互通式立交桥八条匝道（匝道A-匝道H），包含多个非完整缓和曲线线元及小半径（最小半径R=55m）回头曲线。在上述较为复杂的线形测设中，作者结合非完整缓和曲线特性和理论计算， 利用LEICA TS06全站仪后处理软件系统及 CASIO fx-5800P计算器，较为精确地进行了施测，计算坐标值与设计逐桩坐标表给定值互差小于2mm。二、非完整缓和曲线特性及参数计算在直线与圆曲线之间插入的一段半径由 R逐渐变化到R的曲线称做缓和曲 线，它的形式有螺旋线（又称回旋线，我国普遍采用）、三次抛物线和双纽线。 回旋线的基本公式为：R =式中，R:缓和曲线上任意一点的曲率半径，在 ZH点其值为在HY点 其值

4、为圆曲线半径R； A：回旋曲线参数，也称曲率半径变化率；：完整缓和曲线的全长。在完整缓和曲线的计算中，通常以直线线元与缓和曲线线元衔接点（ZH点） 为原点建立平面直角坐标系进行计算，而非完整缓和曲线只是完整缓和曲线中的 一段，其与上一线元的衔接点并非是 ZH点，而是缓和曲线上的任意一点，也就 是说它的起点半径不是而是一个具体的数值，其曲率半径变化时由到（>）或由 到，但是它仍然是回旋线，所以仍具有回旋线的一切特性。要解决非完整缓和曲线的计算问题，可以将其一端延伸至曲率半径为 8的ZH点 处，将其转换为相对应的完整缓和曲线， 然后通过相应的坐标转换，就可以计算 出非完整缓和曲线上任意里程的

5、坐标数据了。如图 1所示：设非完整缓和曲线回旋参数为 A,起点曲率半径为R1，终点曲率半径为，且R1>，非完整缓和曲线长为，将其曲率半径较大的一端 01端顺延至曲率半径为8的o处，形成完整缓和曲线，就可以完整缓和曲线公式来推导非完 整缓和曲线计算公式了。图中：0至缓和曲线长为：=一0至缓和曲线长为:L为非完整缓和曲线起点至任一点的距离由上可知，非完整缓和曲线参数： A=RL为非完整缓和曲线起点至任一点的距离L为非完整缓和曲线起点至任一点的距离图1其中A、四个参数中，只要知道任意三个数值，就可以计算另外一个。根据完整缓和曲线方程 R = ，可求出该非完整缓和曲线所对应的完整缓和曲线上曲率半

6、径由a到的弧长，即完整缓和曲线起点0至非完整缓和曲线起点的距离:也可由此计算非完整缓和曲线上任意点的曲率半径R =设非完整缓和曲线上任意点距其起点 的长度为L,曲率半径为R,任意 点 与起点 的切线夹角为 （此处称为非完整缓和曲线转角），其公式推导如 下：取点微分单元，则R* =，上式积分，既得到弧长L所对应的非完整缓和曲线角= 贝y当R1< 时，则有 上式表明，只要知道缓和曲线参数 A、就可求出非完整缓和曲线起点切线与其上任意一点切线夹角，也就说明如果非完整缓和曲线的起点切线方位角已知，即可计算出其上任意一点的切线方位角。 如上图所示，当非完整缓和曲线为左转时：同理当非完整缓和曲线为右

7、转时:+整合得：其中缓和曲线右转角为正，左转角为负的方向与线路前进方向一致。应注意的是，此处 的计算值为弧度值，计算时要将其转化为角度值再进行方位 角的计算。求得非完整缓和曲线各项所需参数后， 以其起点为原点建立直角坐标系，按照完整缓和曲线的坐标公式推导方式，可计算出非完整缓和曲线上任意一点在此坐标系中的的坐标，已知点 至V 的距离为L，则有：d.v = dj * cos 3ih 二 d/* sin Ppj=気+化名壬+ 4ff ffj.42 4.V 扩 3广 广2尺亠 4R|A°+ 846 + 厂十广« 尺；十 2«M*+16-1M'2R"广

8、4R-A 16.4R/r,护3广川 /帕324 10将舫B和co沖按级数展开(|» =4世十目十.1 .</3/5! J把苑出等代入上式得F尸34 广 _J5_ _J6_ _J7/"讪A-2 2/M厂M*+ 24f 卅F l州屮十剧M八384f+ “EJth =hi r P r?广 /5Pi7i1fF1ry?F i隅厂以沪酗醐i广撚冒鋼F副M汁3imir 将上式积分并略去高秋顶（略去项不辭晌测i殳粘腹1血得r r F ?广r广X= f 6«r 8R,r'沏严12(W|+ 72K|1?+ 1师謬*鸡H咗詔网以a 1-4 v ivH广广P户广广fF&qu

9、ot;2i+ 61r 24R广 Mil2" 4X/M厂 336J* 720卅* 3披；严砂卅卢8W卅4八3別0阳屮422«HW*如果以小半径 为原点建立平面坐标系，（L为 点 到的曲线长）则% 上丄匚1= "8«2" «4*+ Wf 72KA2+ 112/2144_ 3UR 一上上上+*丄斗+,广1_ 2応-&L 24用丰20用""4Sf?24+ 33&F 720/?：" 3瑚釘亠蘭4用人广 肪4用十亠3跋川4224Qt10根据以上计算结果，可以计算和测设非完整缓和曲线上任意一点的坐标。

10、其 实在实际工作中，可以利用具有编程功能的全站仪后处理软件系统及手持计算器，将以上复杂的计算过程程序化，使得计算和测设更加准确、简便和快捷。一般平面坐标计算程序所需要的线元参数有：线元起点坐标、起点方位角、线路转向、 起点终点里程和曲率半径等，所以我们只要掌握了非完整缓和曲线的计算原理， 利用设计图纸信息，推导计算所需曲线参数，即可利用较先进的计算工具来计算 各种复杂线形的任意点坐标了。三、工程计算实例重庆市机场专用快速路桃子湾立交桥为八匝道互通式立交，平面线形设计较 为复杂，大量使用非完整缓和曲线。以其中B匝道的一段非完整缓和曲线CS1CS2为例，已知参数有：起点里程SCI: K0+234.

11、106;终点里程 SC2:K0+334.106;缓和曲线参数 A= 74.999m；长度L= 100m；起点半径R仁55m。 起点方位角及终点半径未知。线位数据见下表：匝道B线线位数据图JAt卡BPKO+OOOBCOO O IO Lf j| j j f 斗 MTSTr X 1U 9ljrLJ ui 二 f J !匚f* X *"* J" 1 L 11"TflETIZ 7 1 EZ /百0 斗巳号CS!F曲 £ 口* 1/订"taFr X lW 1 I 7 WT、83403-738/ x. j til £_ LJX | p3-r * 电

12、中 J 1 / f71556 4551 Jij I-Hf 匕 J j L丄*jf j ci cm§ lL 1_!-L-i X BlurKO 755-503 c r n Q0 匚 7 D L < U JT »J LTf Lj ar-j r/ j / O r T O起点方位角计算：根据匝道起点 BP与点TSI1坐标反算，可求得BP点起始 方位角为295° 03' 10.8，再据完整缓和曲线切线转角=,可求得SC1点切线转角 =31° 15' 9.8，切线方位角为326° 18' 20.7 ；根据圆曲线切 线转角=一,可求得CS1点切线转角 =181° 22' 21.1，切线方位角为147° 40' 41.8。终点半径计算：根据非完整缓和曲线上任意点的曲率半径 R = ，可 求得 =2.27,再据回旋线的基本公式