用函数观点看一元二次方程(第1课时)

1、湖南师大附中湖南师大附中 曾曾 辉辉问题问题: : 如图以如图以40m/s40m/s的速度将小球沿与地的速度将小球沿与地面成面成3030角的方向击出时，球的飞行路线角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度球的飞行高度y（单位：（单位：m m）与飞行时间）与飞行时间x（单位：（单位：s s）之间具有关系）之间具有关系y = 5x 2 +20 x（1 1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15m15m？如能，需要？如能，需要多少飞行时间？多少飞行时间？考虑以下问题考虑以下问题：y = 5x2 +20 xx24x3=0

2、x1=1，x2=3当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15mx1=1sx2=3s15m15m15 5x 2 +20 x解方程解方程（2 2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20 m m？如能，需要？如能，需要多少飞行时间？多少飞行时间？考虑以下问题考虑以下问题：y = 5x 2 +20 x解方程解方程20 5x2 +20 xx 24x4=0 x1=x2=2当球飞行当球飞行2s时，它的高度为时，它的高度为20mx1=2s20m（3 3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20.5m m？为什么？为什么？考虑以下问题考虑以下问题：y = 5x2 +20 x解方程

3、解方程x 24x4.1=0球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到20.5m20.5 5x2 +20 x因为因为 （4）244.10，所以方程无解，所以方程无解 20m（4 4）球从飞出到落地需要用多少时间？）球从飞出到落地需要用多少时间？考虑以下问题考虑以下问题：y = 5x 2 +20 x解方程解方程0 5x2 +20 xx24x=0 x1=0, x2=4当球飞行当球飞行0s和和4s时，它的高度为时，它的高度为0m，即，即0s时时球从地面发出，球从地面发出，4s时球落回地面时球落回地面02(0)yaxbxc a函数函数 ，当，当y = m时，时，对应的对应的x值就是方程值就是方程的根。的根。2

4、(0)axbxcm a思考：思考：设函数设函数 ，当，当函数值函数值y取某一确定值取某一确定值m时，即时，即y=m时，对应时，对应的自变量的自变量x值值和方程和方程 的的根根之间具有怎样关系呢？之间具有怎样关系呢？2(0)yaxbxc a2(0)axbxcm a0y 特别是特别是 时，对应的自变量时，对应的自变量x的值就是方的值就是方程程 的根。的根。20(0)axbxca右图中二次函数的图象与右图中二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？公共点的横坐标是多少？（1）y = x2x2y = x2x21-2.抛物线抛物线y = x2x2与与x轴有两个公

5、共点，它们轴有两个公共点，它们的的横坐标是横坐标是2，1.由此可知：由此可知：2，1是方程是方程x2x20的的根根.当当x=2或或x= 1时，函数值时，函数值y=0.（2）y = x26x9y = x26x913.抛物线抛物线y = x26x9与与x轴有一个公共点，这轴有一个公共点，这点的点的横坐标是横坐标是3. 当当x = 3 时，函数值时，函数值y=0由此可知：由此可知：3是方程是方程 x26x90的根的根.右图中二次函数的图象与右图中二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？公共点的横坐标是多少？抛物线抛物线 与与x轴公共点轴公共点的的横坐标横坐

6、标和方程和方程 的的根根之间有怎样的关系呢？之间有怎样的关系呢？2(0)yaxbxc a20(0)axbxca如果抛物线如果抛物线与与x轴有公共点，那么公共点的横坐轴有公共点，那么公共点的横坐标就是标就是 的根。的根。2(0)yaxbxc a20(0)axbxca（3）y = x2x1下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？轴有公共点吗？1y = x2x1抛物线抛物线y = x2x1与与x轴轴没有公共点没有公共点.由此可知：方程由此可知：方程x2x10没有实数根没有实数根oyx无实数根无实数根有两个相等的有两个相等的实数根实数根有两个不相等有两个不相等的实数根的实数根xyyxx

7、yyxyxyx有有1 1个公个公共点共点无公共点无公共点有有2 2个公个公共点共点抛物线与抛物线与x x轴的位置关系轴的位置关系一元二次方一元二次方程根的情况程根的情况0 值0 0 知识迁移知识迁移2yaxbxc例例1：抛物线：抛物线的图象如图所示，的图象如图所示，请根据图象回答：请根据图象回答：yxo3-113xx 或13x 0y （3）x取何值时，取何值时， ？ 0y （2）x取何值时，取何值时， ？121,3xx 由图知：抛物线与由图知：抛物线与x轴交点的横坐标为轴交点的横坐标为-1，3所以方程的解为所以方程的解为20axbxc（1）方程）方程 的解是什么？的解是什么？例例2：已知抛物线

8、：已知抛物线（1）试判断该抛物线与）试判断该抛物线与x轴的交点个数；轴的交点个数；（2）当）当k= -1k= -1时，求此抛物线与坐标轴的交时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标。点坐标。22(21)yxkxkk思路思路：“判断抛物线与判断抛物线与X轴的交点个数问题轴的交点个数问题”转化为转化为“判断方程有无实根的问题判断方程有无实根的问题”，实质就是要求判别式的值。实质就是要求判别式的值。随堂练兵随堂练兵oyx1222512yxx1、右图为函数、右图为函数 的的图象，观察图象得一元二次方程图象，观察图象得一元二次方程 的两根为的两根为_.25102xx 121,22xx211xx 21yxx 2、

9、二次函数、二次函数 的图象如图的图象如图所示所示,你能根据图象找到方程你能根据图象找到方程的根吗？的根吗？o-1yx121yxx-121121,2xx 3、若二次函数、若二次函数 的的图象与图象与x x轴交于两点，则轴交于两点，则k k的取值范围为的取值范围为_. 222(41)21yxkxk98k k k的取值范围为的取值范围为由由 ，得，得0 二次函数二次函数 的函数值恒为正，的函数值恒为正，则需满足条件则需满足条件_ 2yaxbxc2040abac且 二次函数二次函数 的函数值的函数值恒为恒为负负，则需满足条件，则需满足条件_ 2yaxbxc2040abac且谈一谈抛物线抛物线y =ax2+bx+c与与 x轴有三种位置关系轴有三种位置关系（1）无公共点）无公共点（2）有）有1个公共点个公共点（3）有）有2个公共点个公共点方程有两个不等实根方程有两个不等实根 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况的根有三种情况方程无实根方程无实根 方程有两个相等实根方程有两个相等实根 作作 业业必做题：必做