同济大学---高数上册知识点

1、高等数学上册复习要点、函数与极限(一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数 f(x)在 Xo连续> lim f(x)二 f(x°)XTXo第一类：左右极限均存在间断点可去间断点、跳跃间断点.第二类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论.(二) 极限1、定义1) 数列极限limXn=a= pea。，mNEN,x/n>N, x a

2、< snT°o2) 函数极限lim f (x) = A= * > 0,我 > 0, %,当 0|x-x°|"时，f(x)-A XrXo左极限：f(X0) = lim f (X)右极限：f(X。)= lim f (x)XT XoI Xolim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x0 )X_；Xo2、极限存在准则1) 夹逼准则:1) y X Zn ( n - n°)2) lim yn = lim zn = a 丿 nn-clim xn 二 an：2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小(大)量1) 定义：若lim二

3、0则称为无穷小量；若lim八：则称为无穷大量2) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1：二： o(： ) Th2-：， ,lim 一存在， a rlim =alim(无穷小代换)4、求极限的方法1) 单调有界准则；2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性;4) 两个重要极限： sin x 彳a) li叫 1b)Xr ° x5) 无穷小代换：(x > 0)1lim (1 x)xXr 0lim (V -) ex： xa) x si n x tan x arcs in x arcta nxb)1-cosx Xc) ex -1 x ( ax -1 xl

4、n a)xd) In(1 x)x ( loga(1 X)厂In ae) (1 x) ： _ 1 ：x导数与微分1、（一）导数左导数：f Him f(x)f(x0)xtxcTX - X0右导数：f (X0lim f(x)f(x0)XTX。X X0x >xo定义：f（xo“”函数 f （x）在 Xo 点可导二 f_（Xo）=f（Xo）2、几何意义：f（X。）为曲线y= f （x）在点xo,f（Xo）处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、高阶导数1）定义

5、：歸2n(n)k (k) (n_k)2)Leibniz 公式：uvCnu vk=0（二）微分1） 定义：y 二 f（X。X）- f （x。）= A x o（ x），其中 A与：x 无关.2） 可微与可导的关系：可微= 可导，且dy二f （xQy x= f （xg）dx三、微分中值定理与导数的应用中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f (x)满足：1)f(x) Ca,b ； 2)f(x) D(a,b) ； 3)f(a)=f(b)； 贝S ： (a,b),使f ( J = 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理 * :若函数f (x)满足：1) f (x) Ca,b ；2 ) f (x) D(

6、a,b)；则.(a,b),使f(b)- f(a) = f ( )(b-a).3、 Cauchy柯西中值定理：若函数f (x), F (x)满足：1) f(x),F(x) Ca,b ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x)=0,x (a,b)则 (a,b),使f(b)- f(a)F(b)-F (a)f ()F()洛必达法则（三）Taylor公式（四）单调性及极值1、 单调性判别法：f(x) Ca,b , f(x) D(a,b)，则若f (x) 0，则f (x)单调增加；则若f (x) ” 0，则f (x)单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：f(x)在X。可导，若X。

7、为f(x)的极值点，贝“(Xo) = O.b) 第一充分条件：f (x)在X。的邻域内可导，且fXo) = O，则若当X：； X。 时，f (X) 0，当X X。时，f(X)“ 0 ,则X。为极大值点；若当X ” X。 时，f(x)"，当X Xo时，(X)。，则Xo为极小值点；若在Xo的 两侧f(X)不变号，则X0不是极值点.C)第二充分条件：f (X)在X。处二阶可导，且(Xo)=。，厂(Xo)=。，则 若f(X。)。，则Xo为极大值点；若(X。)。，则Xo为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1) f (X)在区间 I 上连续，若一 Xi,X2T, f(Xl 2X2):： f (X

8、l) 2f (X2)，则称 f(x)在x+x f(x)+f(x)区间I上的图形是凹的；若一 Xi,X2, I, f (丄訂)七-，则称f(x)在区间I上的图形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若一 x (a,b), f (x) ,则f (x)在a,b上的图形是凹的；b) 若- x (a,b), f(X)。,则f (x)在a,b上的图形是凸的.3) 拐点：设y二f (x)在区间I上连续，Xo是f (x)的内点，如果曲线y二f (x)经 过点(x。，f (x。)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x。，f (x。)为曲线的拐点.(五) 不等式证明1

9、、利用微分中值定理;2、利用函数单调性；3、利用极值(最值).(六) 方程根的讨论1、连续函数的介值定理;2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.(七) 渐近线1、铅直渐近线:匹5)七，则XY为一条铅直渐近线;2、水平渐近线:lim f (x) = b，则y = b为一条水平渐近线;X四、不定积分(一)概念和性质1、 原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且Fx)二f(x)，则F(x)称为f (x)的一个原函数.2、 不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为 f(x)在 区间I上的不定积分.3、 基本积分表(P188, 13个公式)；4、性质(

10、线性性).换元积分法1、第一类换元法(凑微分)：.f(x)(x)dx f (u)dJ u(x)2、第二类换元法(变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等)：f(x)dx 二 I f (t) (t)dt(三)分部积分法：.udv二uv- .vdu (反对幕指三，前u后v'(四)有理函数积分1、“拆”；2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)五、定积分(一)概念与性质：b1、定义：af(x)dx 二2、性质：(7条)，性质7 (积分中值定理)nlim/ f( J 为函数f(x)在区间a,b上连续，则 a,b，使bbJ f(x)dxi f(x)dx= f(E)(b-a)(平均值：f(

11、69;)=)b -(二)微积分基本公式(N L公式)1、x变上限积分：设门(X)二f(t)dt，则"(X)二f (x)ad:(x)推广：:、f(t)dt= f W(x)- f 卜(x沪 r(x)dx a(x)b2、N L 公式：若 F(x)为 f(x)的一个原函数，则 j f (x)dx= F(b)- F(a)a(三) 换元法和分部积分bp1、换元法：J f(x)dx= f f毋(t)L(t)dtaot2、分部积分法：udv 二'uv - bvduaa(四) 反常积分1、无穷积分：亠-tf f (x)dx = lim J f (x)dxtbbf (x)dx lim f (x)dxt )-： ： t-:o-:f(x)dx f(x)dx f (x)dxo2、瑕积分：bbf (x)dx 二 lim f (x)dx (a为瑕点)btf