双曲线大题综合

1、双曲线大题综合2 21.已知双曲线 C:笃 爲 1 a 0,b 0的左、右焦点分别为Fl, F2 ,离心率为3,直线a by 2与C的两个交点间的距离为 .6 .（I）求 a,b;；（II）设过F2的直线I与C的左、右两支分别相交于A, B两点，且AF1BF1 ,证明：AF2、AB、BF2成等比数列.解：<1）由题设知£=即士匚二3故护油+屮斯以C的方程为8xa-jr2=Ba2将丁二2代入上式，弄求得工二：t a2-L由题设知，寸启亠卜®所以沪1 ? b=2返门"由（I ）知 C-勲 0） J F2 <3? J I的方程Bx2-ys=3由题意，可设】的

2、方程药尸上（J-3 ） j k <2返代入并化简得（k亠-£）卫亠-&L瓦+9“十注0 i殳A （巧，y- ）! £ （忙2，”2），则血砥1 j苴1-吃二率一，Tl_r2=4- s于昱 中 IEIA71 = Ja1+3）2->'1 -=tJcj1-3）-：-8y1 -S=' <311+1 b BR 彳（竝十巧2弋陀，二、&2一刍卩十敢2亠沪血二知'AT 1 = BF1 得- （3si+l） =3zk£-* 5 即兀+如二三故解得以二士，从而工1元2二巻主二-曽犷-$ 3、住-§9由于怙巳=2 =

3、,（班-3产+&工1 :一萨”轴， “叫=J（a2-3）32丄=02一刃'十8口王-旷呵7 JSfc I AS I = I AFj I -1 BF21 =2-3 C 孟1 +12 ） =4 * 14F? I IBF31 =3 （ Xi +比）-Ski X2-l=16 I因而AF； 0F2 = AB J 所以AF; I AB 、 BF;成等比數列X22.如图，已知曲线C1 :y2 1 ,曲线C2：| y| |x| 1,P是平面上一点，若存在过点P的直2线与C1, C2都有公共点,则称P为“C1C型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C 1 C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,

4、试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）; 设直线y kx与C2有公共点，求证I k I 1,进而证明原点不是“C 1C2型点”；求证：圆x2 y2 内的点都不是“C 1 C2型点”2（1?解：的左焦点为（-J37 0）-写出的直线方程可以是映下形式:*=-近验=呛一苗），其中年£证明；因対盲线尸k盂与二有公共点所女方程组f 一I有实颤解，因曲1毗1二幌十碌阖二二lly| = lr|+iM若原点是bCirC2型点和，则存在过原点的直绒与S 汕有址井点 考虎过原点与口肓公井点的直菠严0或尸总c lkl>l）叩2得4孟5矛盾.显然直线沪。与s无公共点如果皀线芮-户品（|k >

5、1） - RI由方程组 衣 T二 1所以直线产去（I k | >1）与匚1也无埜共点.因曲原点不是制6-5型点(3)证明；记區10；取區Io內的一点Q，设有经过Q的直找1与“都有处共点，显然1不与X釉垂直*故可设1： y=kx+b-若|k|<l由于園0夹杠两组平行线y=s±ly=-i±lMi)因此囚。也Sy=ki±I与产-血±1之间，从而过Q且以k为斜牽的育送1与门无公共点，矛盾，所lk|>l-b-kx+b因为1与S由处共点，所以方程组_,2= 有实數解*I 11淳(l-2k2) z:-4kbs-Sb:-2=0.因为 k|l，所 til

6、 1-20)因忧二(4kb) J < l-2k:) (-2b:-2) =8 Cb2+l-2k2) >0 -Wb2>2k2-1，_ b因为區W的圜心(0! 0)到頁绒I的距丽=I 、，Ji+r所以厶=启<卜 从而L±>i2>2i2-1!得k*<l+ hUA：矛盾* " 2 2791因此，同孑十：内的点不是气厂匕型点刃23.A、B是双曲线X2 2 = 1上的两点，点 N(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于CD两点，那么A B、C D四点是否共圆？为什么？敲直线£的方稈禽

7、尸 (7)(3 >假设盘、B 四点共區I*且匾1心茴F*-肝为HF的弦，所以圍心P在AB料言平分线匚D上， 又仙为囿P的弦且垂盲平分屈，園心P芮匚D中点H. “分)下面耳箱ilEcn的中点If竊足J1A | = | KB I = I MC I = MD即可. fy x+1J"得：占2分x2->= 1Jk丄由I 1得育线芳程：y=-x- 3 f ID分）/ 斗一32_y _ f® C < -3*25" - 6-2,、7 5的中点JI < -3，6 ） - C 12 ）丁 MA | = j4-3fi = 2-JTo，I ATff = JjO4

8、= 2 JI石， 1=20-20 = 2410. |3| =心070=2冋 门3分KA = MB = M 匚=MI>| -(14 分)即A、BC D四点在址点NT （7，&）対圆心，2fToJ半徑的圆上.（2011ft-余姚市较级朗中己知斜率力：的直综1与双曲线J与吕A>0>相交干氛两 a1胖点，目ED的中点为JHI, 3） < J ） StCfiffl 心率 J（11 ）诒（:的右顶点為鱼，右焦臣为F, IDFII3F|PT,证明：过花趴D三戊的国与恋由利切.： ( 1 )吕遞愎知，丄旳方樫；;-=s+2 代人的为程、屛此询，IV (ba-«a) x

9、£-4i:i-i2b:-4a*=0-rr r -谡m* DMu-竝二:才、 ri.T2 = -'a J" ?b-a*由H <1* 3)为肛的巾点帼也尹=1.Ar鉅軒工下二1即是妒 亠 tr-gi血= Jfl52 = G"'二的离心毎=匚=2 -a(【I )中莊，CBFIH?为；3v-7:=3aS A It 0】，F (2ai Q) *rl-r> = 2 < xrG 二一7曲玮妬噴n，£-»il = J(xi-2fl)2+vl2 = £r_2xI -尸创=辰石石厘=如一"IBF ' I

10、FD - (a-2ai) ( 2s?-a) =-4na?+2a (xiXi)-a2-5a2+1a+8.2 I BF| |FD| =17 » 越5卫丄-4包£= ?.ISa=l，或右二一2 （害云），J2IA1-X2I = J2j(xi+i2)-412=6 !连損 HA，则宙上(1，0) p H X 卜 3 ? |MA =3 -甌而yA=ME=MD -且昭丄玄轴.園此以址为卧L阳为半径的圆经过A、B5三点，且在駆处与眾轴相切， 所以过AB. D三点的區旨置報相切，（2）10山东:和團已扣欄圍匚弋=UbAO）的甦心率为电，汰谨a2屮2稱圜上的点和樨圜的左、右焦Ji 七为顶点的三

11、角形的罔從为A <J2+l）, 一养轴取曲线的顶点是该椭凰的焦点.，设宁为谨艰旋线丄异于顶点的 任一点.直线卩叭和PF占弼圖的交点分别为A、询C.氛< I）求椭圆和眾降专的祈准冇程$（fl） igaPF,. PF2的靜率分割为"、旳，证明ki-ki；<m）（此小題仅遲科做）是否存在常塾 使得I朋亠CD| |AB|-|CD|恒成盒甲若存在求人的 直,若不存在，诸说胡理生”【解普】解：(I)由题意知，椭圆离心率対仝至，a 2 得a =2a-2c=4(J?-l)-所以可解得丘=2匹"所b2 = ai-c3 = 4> 所以椭團的标准方程拥丘定=1；S 4所以

12、椭團的焦点坐标为< ±2- Q)，固芮霰曲线拥等轴戏曲线，且顶点星该輛團的焦点，2 呷所以该豉曲线的标淮育程为二上=1.44(II )设点P (和,y0) ?叭二丄xo+2X0-2m+2 工°一2文直P心-yj>在愿曲线上!RPya2=xD4 rxo'-4(III)假设存在常勤扎，使得得ABI + ICD =扎AB亠CD喳協立,则由 <II) Jflki-k2=l ?设宜线启吕的方HJr=k 57，贝I直线CD的方程対严£ (x-2)， k3=腻工十2)由方程组二 Q消'得：(2k3-l ) xz+Bk2E+Sk:-S=0*L也=1Is 4设A ( Xi > yi ) ' B < 2 i r；) &#