实验指导第二部分平滑预测法和趋势预测法

1、平滑预测法平滑预测法 趋势预测法趋势预测法2年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）某市六年来汽车货运量（亿吨公里）3年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.

2、4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）某市六年来汽车货运量（亿吨公里）4051015202545678910111213seasonfreight56某市六年来汽车货运量时间序列分解某市六年来汽车货运量时间序列分解78（1）移动平均法）移动平均法设时序为x1，x2，xn，对其中连续N (n)个数据点进行算术平均，得t 时点的移动平均值，记为Mt，有当用移动平均法进行超前一个周期预测时，采用移动平均值作为预测值 ，则有1(1)tttNtNxxxMxt111ttNttNttttNNxxxxxxMM9 月份月份 1 2 3 4 5 6销

3、售额（万元）销售额（万元） 33 34 35 37 38 406778403837353436.8536.84038373537.365解：（万元）（万元）xMxM1066 565754321565383735343335.4403335.485536.5xxxxMxxxxxMM（万元）或（万元）（万元）36.375348 .368 .365577678xxMMx11一次指数平滑法为平滑系数，St(1)为t时刻的一次指数平滑值。(1)(1)11(1)ttttxSxS1011221 1tttttxa xa xa xa x10001,1tiiaa0,(1) ,1,2,1,01jjaajt1(1)(

4、)ttttttxxxxxx12二次指数平滑法(2)(1)(2)1(1)tttSSSt TttxabT(1)(2)(1)(2)2,1ttttttaSSbSS预测公式t为预测起点，T为预测步长。13(1)(2)(3)(1)(2)(3)22(1)(2)(3)233(65 )2(54 )(43 )2(1)22(1)ttttttttttttaSSSbSSScSSS三次指数平滑(3)(2)(3)11tttSSS212t TtttxabTcT预测公式14平滑系数的物理意义：n描述对过程变化的反应速度： 越大（接近1），表示重视近期数据的作用，对过程变化反应越快；n也描述预测系统对随机误差的修匀能力：越小（接

5、近0），表示重视离现时更远的历史数据的作用，修匀（滤波）能力越强，但对过程变化的反映越迟钝。1516 值的最后确定，一般是选择不同的，通过对预测结果的评价来实现的。评价原则：（1）对不同的计算平均绝对误差选择MAE最小的值。（2）历史数据检验。即对每个，用离现时较远的历史数据建立预测模型，去“预测”离现时较近的历史数据（事后预测），看符合程度如何？从中选取一个符合得好的。（3）对不同所得模型的预测结果，专家评估。 根据经验，一般取=0.010.311niiiMAExxn17 （1）当时序原始数据样本较多，值较大时，可取S0(1)=x1，S0(2)= S0(1)， S0(3）= S0(2)。 （

6、2）当数据点不够多，初始值对预测精度影响较大时，可取开始几个观测值的算术平均值作为S0(1)。1819周期数周期数 客运量客运量xt St(1) St(2)t（日）（日） （万人次）（万人次） ( =0.3) ( =0.3)012345.17181920505247515969767580505050.649.5249.9649.6764.2367.7669.9372.95505050.1849.9849.9849.8859.2861.7964.2366.8520 95.7293.697.0803.096.4952.497.0513.052.496.507.0473.06.50507.0523

7、.050507.0503.013.0,5012014131211111110SSSSSSxSxSttt则有由设21 85.6623.647 . 095.723 . 098.4918.507 . 052.493 . 018.50507 . 06 .503 . 050507 . 0503 . 0220232221SSSS则有50, 3 . 01)1(0)2(0 xSS设(2)(1)(2)1(1)tttSSS22滞后偏差滞后偏差数据点连线数据点连线一一次次平平滑滑二次平滑二次平滑102020406080Xt（万人次）（万人次）t（日）（日）23 05.7985.6695.722222012020SS

8、aTxTt61. 205.79则预测方程为： 61. 285.6695.727 . 03 . 0122012020SSb（万人次）时，有当15.1051061. 205.793030 xTt24两点假设：n预测对象的发展趋势不变；n预测对象的发展过程是渐变，而不是突变。两个问题：n找到合适的趋势拟合曲线方程n确定趋势曲线方程中的参数251、常用趋势曲线2012ktkyaata ta t011, tkyaa t20122, tkyaa ta t-505-150-100-500501001502000.5+t0.5+t+t20.5+t-t20.5+t+t2+t30.5+t+t2-t3261、常用趋

9、势曲线例如：n人口或生物种群繁殖生长n质变前的发展速度n新产品成长期的销量0attyy e00.511.522.5305010015020025010*exp(t)100*exp(-t)27n Logistic曲线（皮尔曲线）1,0tbtKyaea bln,atb12tyK01234567891001234567891010./(1+exp(-t)10./(1+10*exp(-t)10./(1+100*exp(-t)28n 龚伯茨（Gompartz）曲线0,0ktbetyKebkln,btKtKye01234567891001234567891010.*exp(-exp(-t)10.*exp(

10、-10.*exp(-t)10.*exp(-100.*exp(-t)29)btttttttyLabbyactyaeyat e(修正指数曲线(双曲线)(另一种指数曲线)3031时间序列样本数据(t1,y1)，(t2,y2)，(tn,yn) 若选定趋势曲线为：则拟合目标是使误差的平方和最小，即：01ktkyaata t21minmin()niiiQyy(), ()itiitiyy ttyy tt32年份年份1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972期数期数t-8-7-6-5-4-3-2-10产量产量yt54.1 35.4 56.6 46.6 46.7 5

11、2.1 56.1 44.8 68.3年份年份1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980期数期数t12345678产量产量yt36.3 75.0 57.2 69.0 55.5 73.3 64.1 60.033342 tyabtct2232234tttyanbtcttyatbtctt yatbtct22224tttyancttybtt yatct55.971.2880.0014abc35255.97 1.2880.0014tytt1985199072.751198513,199079.608,yytt年，年，36lglglgtya byab t00lnlnaty

12、y eyya t371tbtKyae3nr 3821111231121112223, , , , rrnttttt rtrSySySyDSSDSS 211212121121 ln, (1)1brbbDDrKbKaDrDGDDSDDeeGe则其中39001122111bbbKyaeKyaeKyae40021021021000102102(), 1()1ln, ()yyyKyyyy yyKyKybayKyy41年份年份1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957总人口总人口77.577.878.278.279.280.181.282.284.1年份年份1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966总人口总人口82.382.582.18282.983.684.48688.5年份年份1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975总人口总人口91.394.797.599.3 10