2020高考理数总复习课后限时集训36直接证明与间接证明、数学归纳法

1、1课后限时集训（三十六）直接证明与间接证明、数学归纳法（建议用时：60 分钟）A 组基础达标一、选择题1 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60时，应假设（）（）A三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C 三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 60B 至少有一个包含 一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于 60故 选 B.2. (2019 西安模拟) )若 P= .a+ ,a+ 7, Q= .a+ 3+ a+ 4(a0),贝 U P, Q 的 大小关系是( () )A. PQB. P= QC. PvQD .由 a 的取值决定C 假设 PQ,贝卜 a+

2、；：；：.：a + 7、a+ 3 + a+ 4,即 2 a a+ 7 + 2a + 72a+ 3 a + 4 + 2a + 7,即aa+ 7 a + 3 a+ 4 ,即 a(a+ 7)(a+ 3)(a + 4),即 a2+ 7aa2+ 7a +12,显然不成立,故 PvQ.故选 C.11 13 . (2019 哈尔滨模拟) )用数学归纳法证明不等式“ 1 + - + 3 + 2! 2)”时，由 n= k(k2)时不等式成立，推证 n = k+1 时，左边应增 加的项数是( () )2k1kA. 2B. 2 1C. 2kD. 2k+ 11 1 111 1C n= k+1时，左边=1+亏+&

3、;+k+孑+k+ +k 1,增加2 32k122k+1 2k+1 1111k 1kk了 0+7+-,共(2+ 1)(21)=2项，故选C.4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，若 X1+ X20, 则 f(X1) )+ f(X2) )的值( () )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D .无法确定正负A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时，f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 X1+ X2 0，可知 X1 X2，f (Xi)Vf( X2)= f( X2)，则 f( Xi) + f (X2)V0，故选 A.5.设

4、f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k) k2成立时，总可推出 f(k+1) (k+ 1)2成立”.那么，下列命题总成立的是( () )A. 若 f(1)1 成立，则 f(10)100 成立B. 若 f(2) 1 成立C. 若 f(3)9 成立，则当 k 1 时，均有 f(k)k2成立D. 若 f(4) 16 成立，则当 k4 时，均有 f(k)k2成立D 由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以 A 错误；若 f(1) 1成立，则得到 f4，与 f(2) 9 成立，无法推 导出 f(1)，f(2)，所以 C 错误；若 f(4) 16 成立，则当 k 4 时，均

5、有 f(k) k2成立，所以 D 正确.二、填空题6.下列条件：ab0,ab0，b0,a0，b2,只需 a0 成立，即 a, b 不为 0 且同号即可，故 能使b+ b23成立.47 .设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有：（Sn1）2= anSn，通 过计算 Si, S2, S3,猜想 Sn=_.n221222市 由(Si1) )2=s2,得 si=2；由(S21) )2=( (S2Si) )S2,得 S2=3；由i)2=(S3 S2) )S3,得 S3= 3.猜想 Sn=.4n + i8.在不等边三角形 ABC 中，a 为最大边，要想得到/ A 为钝角的结论，三边

6、a, b, c应满足_ .b?+C Ca?a2b2+ c2由余弦定理 cosA= :a0,得 b2+ c2 a2b2+ c2.三、解答题9.若 a, b, c 是不全相等的正数，求证：a+ bb+ cc+ aIg-+ Ig-+ Ig- lg a+ lg b+ lg c.证明Ta,b,c(0, +x),又上述三个不等式中等号不能同时成立上式两边同时取常用对数，a+ bb+ cc+ a-lg-+ lg-+ lg- lg a+ lg b+ lg c.10 .在数列an , bn中，ai= 2, bi= 4,且 an, bn, an+1成等差数列，bn, an+1,*bn+1成等比数列( (n N )

7、.(1)求 a2, a3, a4及 b2, b3, b4,由此猜想an, bn的通项公式，并证明你的结a+ bb+ c厂 .bc0,a+ c ac 0.a+ b b+ c c+ a abc 成立.得 lga+ b b+ c c+ a lg abc,5论.一 1115证明：a+1+a+2+a+nV石解(1)由条件得 2bn= an+ an+1, aj?+1= bnbn+1.6由此可得a a2= 6 6, b b2= 9 9, a a3= 1212, b b3=16, a4= 20, b4= 25.猜测 an= n(n+1), bn= (n+1)2.用数学归纳法证明:1当 n= 1 时，由上可得结

8、论成立.*2假设当 n= k(k N , k 1)时，结论成立,即 ak= k(k+ 1), bk= (k+1)2.那么当 n= k+ 1 时，2ak+1= 2bk-ak= 2(k+ 1)2 k(k+1) = (k+ 1)(k+ 2),2ak+12bk+1= 订=(k+ 2)2.所以当 n= k+ 1 时，结论也成立.由，可知 an= n(n+1), bn= (n+ 1)2对一切正整数都成立1a1+ b1当 n2 时，由(1)知an+ bn= (n+ 1)(2n+1)2(n+1) n.1+ +a2+ b211 亠+丄+.+11V6+3 3X4 n(n+1)1a1+ b11an+ bn1 1=

9、-6+21111 1 12 1+11n-不71 1 _5_ 0,则三个数y+Z，x+ y，:+ y()A.都大于 2B.至少有一个大于 2C .至少有一个不小于 2D .至少有一个不大于 2C因为 g+少侏 yh 俳 a+x+ (Z+沁+丿 6,83.设平面内有 n 条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直 线不过同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4) =_ 当 n4 时，f(n) =_ 用 n 表示).152(n + 1)(n 2)由题意知 f(3)= 2, f(4)= 5, f(5)= 9,可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数,

10、所以 f(4) f(3) = 3, f(5) f(4)= 4,猜测得出 f(n) f(n 1)= n 1(n4).有 f(n) f(3) = 3+ 4+ + (n 1),所以 f(n)1二 2( (n+ 1)(n 2).*4 .等比数列an的前 n 项和为 Sn.已知对任意的 n N，点(n, Sn)均在函数 y= bx+r(b0,且 1, b, r 均为常数) )的图象上.(1) 求 r 的值；*(2) 当 b= 2 时，记 bn= 2(logan+ 1)(n N ).+ 1 b2+ 1bn+ 1-证明：对任意的 n N ,不等式厂bb n+ 1 成立.解(1 )由题意,Sn= bn+ r,

11、当 n 2 时，Sn1= b1+ r,所以 an= Sn Sn1= b-1(b 1),由于 b0,且 1,所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列，又 a1= b+ r,当且仅当 x=y= z 时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于 2,故选 C.x2 已知函数 f(x) = 2，a, b 是正实数,则 A, B, C 的大小关系为( () )a+ b2T,B=f(. ab), C=f2aba+b ,A.AWBCB. AC BC. B C AD. C Bab,又 f(x)= 2 在 R 上是减函数.2a+ b2fa+ bWf( (ab) )Wf；+t ,即 AWBn+1.当 n= 1 时，左式二 2,右式二 2,左式右式，所以结论成立假设 n= k 时结论成立，即弓弓 菩不,要证当 n= k+ 1 时结论成立，2k+3,-即证一21k+1 k+ 2 ,由基本不等式可得*根据可知，n N 时,不等式b1+ 1 b2+1b1 b2bn