2020高考数学(文)一轮复习函数模型及其应用

1、1. 了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长 特征.2. 结合具体实例体会直线上升、指数增长、对 数增长等不同函数类型增长的含义.3. 了解函数模型(如指数函数、 对数函数、 幕 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用.突破点一基抓牢双基自学回扣基本知识1.几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x) = ax+ b(a, b 为常数，a丰0)反比例函数模型kf(x) = - + b(k, b 为常数且 kM0)二次函数模型f(x) = ax1 2+ bx+ c(a, b, c 为常数，aM0)指数函数模型f(x)= bax+ c(a, b, c 为常数，bM

2、0, a0 且 aM1)对数函数模型f(x) = blogax+ c(a, b, c 为常数，bM0, a0 且 aM1)幕函数模型f(x) = axn+ b(a, b 为常数，aM0)2.三种基本初等函数模型的性质函数性质x.八y= a (a1)y= logax(a1)n.y= x (n0)在(0,+s)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大，逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大，逐渐表现为与 X 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 X0,当 XX0时，有 logaxvxnvax基本能力1 某物体一天内的温度T 是时间 t 的

3、函数 T(t)= t3 3t+ 60,时间单位是 h，温度单位为C,t= 0 时表示中午 12: 00,则上午 8: 00 时的温度为 _C.答案：82 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的质量 M 千克、火箭(除第八节函数模型及其应用_ 倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒.解析：当 v= 12 000 时，2 000 ln 1+M= 12 000, kmJ1+m=6,Am=e1.答案：e6-13.某商店每月按出厂价每瓶3 元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶 4 元，每月可销售 400 瓶；若零售价每降低( (升高)0.5 元，则可多( (少)销售

4、 40 瓶，在每 月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为_ 元/瓶.解析：设销售价每瓶定为 x 元，利润为 y 元，则 y=(x 3) 400 +冷才乂 40 = 80(x 3)(9 x)= 80(x 6)2+ 720(x 3)，所以 x= 6 时，y 取得最大值.答案：64.(2019 枣阳高级中学期中) )拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费 伸位：元) )由 f(m)=1.06(0.5m + 1)给出，其中 m0, m是不超过 m 的最大整数( (如3 = 3, 3.7 = 3, 3.1=3),则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为 _ 元.解析：/ m= 6.5,Am

5、 = 6,贝 U f(m)= 1.06X(0.5X6 + 1)= 4.24.答案：4.24研透高考深化提能全析考法考法一二次函数模型例 1(2019 商丘二中检测) )如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE= 4 米，CD = 6 米.为了合理利用这块钢板， 在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上.(1)设 MP = x 米，PN = y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的 解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值.解(1)如图，作 PQ 丄 AF 于 Q,所以 PQ = 8 y, EQ = x 4,在厶 EDF

6、中，EQQ =宰，所以严=2,所以 y= 2x + 10,定义域为PQ FD8 y 22x|4WxW8.x12设矩形 BNPM 的面积为 S,贝 U S(x)= xy= x(10 ?)= ?(x 10) + 50,所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线所以当 x 4,8时，S(x)单调递增，x = 10,1)N C所以当 x= 8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为48 平方米.方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解解决函数应用问题时，

7、最后还要还原到实际问题.考法二指数函数、对数函数模型 例 2 (1)(2019 贵阳摸底) )20 世纪 30 年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为 M = lg A- lg Ao,其中 A 是被测地震的最大震幅，Ao是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4 级，则该地震的最大振幅为()()A 6B. 8C. 10D. 12(2)(2019 唐山模拟) )某人计划购买一辆

8、A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的 保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用 _ 年后，用在该车上的费用( (含折旧费) )达到 14.4 万元.解析由题意知，lg A lg 0.001 = 4，所以 lg A = 1,即卩 A= 10.故选 C.设使用 x 年后花费在该车上的费用达到14.4 万元，依题意可得，14.4(1 0.9x)+ 2.4x=14.4.化简得 x 6X0.9x= 0.令 f(x)= x 6X0.9x,易得 f(x)为单调递增函数，又f(3) = 1.374V0,

9、f(4) = 0.063 40,所以函数 f(x)在(3,4)上有一个零点.故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元.答案(1)C(2)4方法技巧两种函数模型的应用技巧(1) 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快( (底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2) 在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.集训冲关1.考法一某商场销售 A 型商品.已知该商品的进价是每件3

10、 元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为（ ）A. 4B. 5.5C. 8.5D. 10解析： 选 C 设定价为 x 元/件时，日均销售利润为y 元，则 y = （x 3） 400 - （x4）40= 40 x 172+ 1 210 ,故当 x= 17=8.5 时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2.考法二在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度伸位 mol/L,已知 pH 值的定义为 pH = lgH+，

11、健康人体血液的pH 值保持在 7.357.45 之间，那么+健康人体血液中的可以为（参考数据：lg 2= 0.30, lg 3= 0.48）（）（）OH+r：HJh=H+2X1014,T7.35lgH+7.45,OH +7.350.9H 14+20.7,0.9110.7，-10VOH=10H lg0.7-0.71 11 H 1 , ”3lg2，1032,1031，亦芮0）型函数模型例 1 （2019 盐城中学期末）某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的 AMPN 矩形健身场地.如图，点 M 在 AC 上，点 N 在 AB 上，且 P 点在

12、斜边 BC 上.已知/ACB = 60 |AC|= 30 米，|AM|= x 米，x 10,20.设矩形 AMPN 健身场地记作 H+）和（单位 mol/L，记作OH）的乘积等于常数1014A.Q B.311C.:D610解析:选 C7.45+1H 10AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平1110+14H OH = 10每平方米的造价为方米的造价为 元(k 为正常数) ).(1) 试用 x 表示 S,并求 S 的取值范围；(2) 求总造价 T 关于面积 S 的函数 T = f(S);(3)如何选取|AM|,使总造价 T 最低( (不要求求出最低造价)?解(1)在 Rt PMC 中，显然 |

13、MC| = 30-x，/ PCM = 60 |PM|= |MC|tan / PCM = 3(30 x),矩形 AMPN 的面积 S= |PM| |AM|= 3x(30 x), x 10,20,由 x(30 x)Wx+30-x2= 225,可知当 x= 15 时，S 取得最大值为 225 3,当 x = 10 或 20 时，S 取得最小值为 200 3,200 30) ”型函数模型的求解策略(1) “y= x+a”型函数模型在实际问题中会经常出现.解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到模型.要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定

14、义域内满足等号成立，可考 虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性.总造价 T= T1+ T2= 25k S +尸 X+ 型函数(2)求函数解析式要确定函数的定义域对于ay= x+ -(a0, x0)类型的函数最值问题,200 3 5,考法二分段函数模型例 2 （2019 德州期中）某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质已知每投放质量为m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水中释放低于 5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于 10（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂的质量

15、为m= 5,试问自来水达到有效净化总共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为 m,为了使在 9 天（从投放药剂算起包括 9 天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.2x当 0vxW5 时，-+ 10 5,显然符合5题意；5x + 95当 x5 时，由 5 解得 5xw21.2x- 2所以自来水达到有效净化总共可持续21 天.2mx+2m,05. 2x- 2 2当 05时，yTv0，所以函数 y=mx+19在（5,9上单调递减，2x- 2所以w y3m.综上可知 也三 yw3m.44为使 5wyw10 恒成立，只要的浓度 y（毫克/升）满足 y= mf（x），其中 f

16、（x）=x+ 192x - 20 x5.当药剂在水中的浓度不2x+ 10, 0 x 5, -5解(1)当 m= 5 时，y=5.2x- 2， 5,3mw10,解得 20wmw10,20所以应该投放的药剂质量m 的最小值为2.方法技巧分段函数模型的求解策略（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式 构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.（2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏.（3）分段函数的最值是各段最大值（或最小值）中的最大者（或最小者）.集训冲关1.考法一某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ,腰

17、与底边夹角为 60如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为 9 3 平方米，且高度不低于3 米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为 y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 的取值范围为（）A 2,4C 2,5解析：选 B 根据题意知，9 3= 2（AD + BC）h，其中 AD = BC + 2X扌=BC + x, h = j込厂h=x ,3得 2 x6.所以 y= BC + 2x = +3(2 x6),x 2y=虫+ 3?三 10.5,解得 3 x 4.因为3,4 ? 2,6）,所以腰长 x 的取值范围

18、为3,4 故选2B.2.考法二已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量的利润 x（单位：元）的函数解析式为讣器，0XW20，当每件衣服的利润90-WWx, 20 x，q（x）（）（单位：百件）关于每件衣服解：设该服装厂所获效益为f(x)元，贝 Uf(x) = 100 xq(x)f(x)= 00 x= 126 000 -迦血,f(x)x+ 1x+ 1逛皿，0 xw20,x+1当 0 xw20 时,100 x 90 - 3 5 x , 20 x 180.在区间（0,20上单调递增，所以当 x = 20 时，f（x）有最大值 120 000.当 20 x 180 时，f（x）= 9000 x-300

19、5 x x，则 f （x） = 9 000-450 5 x，令 f （x）= 0 x = 80.当 20 x0,f（x）单调递增，当 80Wxw180 时，f （x）0）元，先经历了 3 次涨停（每次上涨 10%）又 经历了3 次跌停（每次下降 10%）后的价格为 mx（1+ 10%）3x（1 - 10%）3= 0.993mm，所以 该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为略有亏损，故选 D.4. （2019 福建质检）当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减 为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的

20、放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14 用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A. 8B. 9C. 10D. 11解析：选 C设该死亡生物体内原有的碳14 的含量为 1，则经过 n 个“半衰期”后的含量为1 n，由1 n 10,所以若某死亡生物体内的碳14 用该放射性探测器探眾丿 23 1 000测不到，则它至少需要经过10 个“半衰期”.故选 C.5. （2019 山西三区八校模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足 够长，若 P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和 a m（0va12），不考虑树的粗细.现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃AB

21、CD ,设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数 u解析：选 B 设 AD 长为 x,则 CD 长为 16- x.又因为要将 P 点围在矩形 ABCD 内,所以 a x 12.则矩形 ABCD 的面积为 x（16 - x）.当 0vaw8 时，当且仅当 x = 8 时，u= 64.当 8a12 时，u = a(16-a).64, 0a 8,u=a（16 a , 8a12,分段画出函数图象，可得其形状与B 选项中图象接近故选B.6.（2019 广东佛山一中月考）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占0.8- 加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p 与 o 冲

22、. 7 ；0u.5-?IT加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 p= at2+ bt+ c（a, b, c 是常数）,J |1如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到 o-i；$ ?最佳加工时间为（）A. 3.50 分钟C. 4.00 分钟=f(a)(单位:m2） 的图象大致是B. 3.75 分钟D. 4.25 分钟解析：选 B 由实验数据和函数模型知，二次函数p= at2+ bt+ c 的图象过点（3,0.7）,0.7 = 9a+ 3b+ c,(4,0.8), (5,0.5)，分别代入解析式，得寸 0.8= 16a + 4b+ c,0.5= 25a + 5b+ c,0

23、.2t2+ 1.5t 2= 0.2（t 3.75）2+ 0.812 5,所以当 t= 3.75 时，可食用率 p 最大，即最佳加工时间为 3.75 分钟.故选 B.7. （2019 绵阳诊断性测试）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月 用水不超过10 立方米的，按每立方米3 元收费；用水超过 10 立方米的，超过的部分按每立方米 5 元收费.某职工某月的水费为55 元，A. 13 立方米B.C . 15 立方米D .解析：选 C 设该职工某月的实际用水为3x,0 xw10,3x,010 ,5x 20, x10立方米，所以 5x 20= 55,解得 x= 15,故选8.某商店计划

24、投入资金 20 万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为 P（万元）和 Q（万元），且它们与投入资金 x（万元）的关系是：P= x，Q = a x（a0）.若 不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5 万元，则 a 的最小值应为（）A. 5B. 5C. 2D. 2解析：选 A 设投入 x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入（20 x）万元，总利润 y= P+ Q = x+ 2 - 20 x.令 y 5,则：+ a .20 x 5 对 0wxw20 恒成立.二 a 20 x 10 扌, a220 x 对 0wxw20 恒成立./ f(x)=2,2

25、0 x 的最大值为 5, 且 x= 20 时，a20- x10 2 也成立，amin= 15.故选 A.9. （2019 南充模拟）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过 x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y,则 y= f（x）的图象大致为（）a = 0.2,解得b= 1.5, 所以 p=c= 2.则该职工这个月实际用水为（）14 立方米16 立方米x 立方米时，水费为 y 元，由题意得 y=，易知该职工这个月的实际用水量超过10C.年增长 18%，所以经过 x 年后，绿化面积 g（x） = a（1+ 18%）x，因为绿化面积与原绿化面积解析：选 D 设某地区起始年的绿化面积为a,

26、因为该地区的绿化面积每年平均比上一ABCTJ的比值为 y,则 y= f(x) =gx= (1 + 18%)x= 1.18x,因为 y= 1.18x为底数大于 1 的指数函数， a故可排除 A、C,当 x= 0 时，y= 1，可排除 B,故选 D.10.(2019 洛阳模拟) )某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况下 0Wx200,化为(n - 2 016)lg 1.12lg 2 - lg 1.3,即 n2 0 佃.8,答案：2020）已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之a0），广告效应 D= a A A.那么对于此商品，精明的商人.（用

27、常数 a 表示）“Aa/+务，且 A0,.当 JA = 2，即 A=冷时，2答案：a-414.（2019 湖北七州联考）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P（毫克/升）与时间 t（小时）的关系为 P = Poekt, Po为过滤前的污染物数量如果在前5 小时消除了 10%的污染物，那么污染物减少佃需要花费的时间为_ 小时.解析：由题设可得（1 0.1）P0= Pe5k, 即卩 0.9= e5k,故一 5k= In 0.9;又（1 0.19）P=Poe ，即 0.81 = e ，故一 kt= ln 0.81 = 2ln 0.9 = 10k，故 t= 10,应填 10.答

28、案：1015.（2019 江西七校联考）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a（单位：万元）满足 P = 80+ 4 2a, Q=；a+ 120.设甲大棚的投入为 x（单位：万 元），每年两个大棚的总收入为 f（x）（）（单位：万元）.（1）求 f（50）的值；试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f（x）最大？解：（1）若投入甲大棚 50 万元，则投入乙大棚 150 万元，所以 n 2 016lg 2lg 1.30.300.11lg 1.120.05=3.8，所以 n= 2 020,即开始超过200 万元的年13. （2