圆锥曲线常用结论

1、圆锥曲线一椭圆22一一 x y .1椭圆1 (a>b>0)的焦半径公式： a b| MF1 | a ex0,| MF2| a ex0(F1( c,0)222：点P(xo, yo)和椭圆、与i (a b a b,F2(c,0) M(x0,y。).0 )的关系：(1)点P(x0, y0)在椭圆外2 a2 xoa2 yO 静2 yo b21 ；(2)点P(xo, yo)在椭圆上2 x0 -2 a2 yO 1=1； (3)点P(xo,yo)在椭圆内(1)椭圆：由x 2,y 2FFE 2，求证：PFJPF21 cos解：设 PFi m , PF2 n1一 mnsin 22,又F1F2 2c

2、,由余弦定理2c 22n 2mncos22mn22mncos = 2a 2mn1 cos2 ,2mn21 cos2 4a4c2所以mn福2b22 1 cos22 .sin2 =b tan 。3:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)22母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程-x-一1表示焦点在y轴上的椭 |m 1 2 m圆，则m的取值范围是1 (1 3) (2)双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点2在系数为正的坐标轴上；(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。224;设椭圆。二1 a b 0的左焦点、右焦点分别为FF2,点P在椭圆上

3、, a b2b22且 PF1F2的面积S b2 tan5:从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。6 :点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角。即有MPKF2PM , PT MN, F1 PTF2PT。7.: PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。2x7：右 P()(x0, yo)在椭圆a2x8右P0(xo, yo)在椭圆 aP1P2的直线方程是萼- a2 y b22y1上，则过Po的椭圆的切线方程是 Wab2 yoy b21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为1.Pl、P2,则切点

4、弦8：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离.9:以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.1。：设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，则MFXNF.A1P和11:过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A2Q交于点 M, A2P和A1Q交于点 N,则 MFXNF.2一 ,一 x12 : AB是椭圆 a2 y b21的不平行于对称轴的弦,M (xo,yo)为AB的中点，则kOMb2kAB 2 ,即aK ABb2xo13 :若Po(xo,yo)在椭圆2a

5、2x2aoyo2 1内，b2则被Po所平分的中点弦的方程是%x -2- a2y°yx0b2yo2 b22x14 :右 Po(xo, yo)在椭圆一2 a24 1内，则过 P0的弦中点的轨迹方程是 b22xyx°xyoy2-2-.2 .abab2215：椭圆xy ，1 (a>b>o)的两个顶点为 A1( aOASQ),与y轴平行的直线交 a b2x 1b2.2 X 13过椭圆-y a2 y b21 (a>0, b>0)上任一点A(%,yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 毕° (常数)a V。2 x 1

6、4若P为椭圆-2 a2 匕 b21(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点，PF1F22 x 椭圆于P1、P2时A1P1与A 2P2交点的轨迹万程是 aPF2F11.2、一 x 设椭圆a(a> b>0)的两个焦点为 Fi、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意2.PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2P ,则有sinsin若椭圆sin2y, ，_、-21 (a> b > 0)b2的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为L,则当0vetancot .1时，可在椭圆上求一点4.(x x°)22a2, 2B b2(y y。)25.

7、x已知椭圆-a(1 J|OP|b2 (AX0 2yb211与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是_ 2By0 C).1 (a>b>0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点,且 OP OQ .最大值为a2的距离为定值2|OQ|.2b (3)11c c 4a2b2;(2) |OP|2+|OQ|2 的最小值为2 a ba b;|OP|2+|OQ|2 的2 2S OPQ的最小值是-a一7,最大值为ab (4)并且点。到PQ a2 b2ab2,2a bP,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.22x y3.P为椭圆 彳 1 (a>b>0)上任一点，F1,F2为

8、二焦点，A为椭圆内一定点，则a b2a |AF211PA| |PFi| 2a | AF1 |,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立.6.22过椭圆xya b1 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于p,则IPL1 e|MN | 27.2 X 已知椭圆-a2yr 1 ( a>b>0),A、b2B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线8.9.a2 b2与x轴相父于点P(x0,0),则 aF1PF2,则(1)|PFi22设A、B是椭圆222a bPBA , BPAXo2.2a b1 ( a>b>0)上异于长轴端点的

9、任一点,F1、F2为其焦点记|PF2|2bcK2+.(2) SpF1F2b tan-.1 cos1 221( a> b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB , ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2 ,2ab |cos |.,(1)| PA| 22 .(2) tan tana c cos1 e .(3) S PAB2a2b2b2 a2cot2 ,一x10.已知椭圆a2 y b21 ( a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点 F的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.11 .过椭圆焦半径的端点

10、作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.12 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.13 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)14 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.15 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项1.2.3.4.双曲线点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 为直径的圆，除去

11、长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆PT上的射影H点的轨迹是以长轴相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)5.若P0(x0, y0)在双曲线2y 1 (a>0,b>0)b2上,则过Po的双曲线的切线方程是曾金1.a b6.若Po(xo, yo)在双曲线2y,，、1 (a>0,b>0)b2,则过Po作双曲线的两条切7.8.线切点为Pi、P2,22,xy双曲线a2b2一点 F1PF222,xy双曲线乜ab则切点弦P1P2的直线方程是曾a(a> 0,b>o)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为双曲

12、线上任意则双曲线的焦点角形的面积为(a>0,b>o)的焦半径公式:当M (x0, y0)在右支上时,当M(x0,y0)在左支上时,|MF1 | ex0 a,|MF22,S f1pf2b cot2 .(Fi( c,0) , F2(c,0)| ex0 a.|MF11 ex0 a,|MF21 e& a11.12.9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N两点，则MFXNF.10.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M ,

13、A2P和 A1Q 交于点 N,则 MF XNF.22x yAB是双曲线= 匕 1 (a> 0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,yO)为ABa b22的中点，则Kom Kab U，即Kab 整。ay。ay。22若P0(x0,y0)在双曲线'2 4 1 (a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方 a by02 b22 x13.右P(3( X0, y0)在双曲线一2 a2 y_ b21 (a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程22XyX0X y0 y 2-2-2-2 .abab22一，x y一一“ 一，双曲线 与 1 (a>0,

14、b>0)的两个顶点为 a bA1( a,0) ,A2(a,0)，与 y 轴22平行的直线交双曲线于Pi、P2时AlPl与A2P2交点的轨迹方程是与 221 .a2b222一，一x yii. 过双曲线 1 (a> 0,b>o)上任一点A(x0,y0)任息作两条倾斜角互补a b的直线交双曲线于 B,C两点，则直线BC有定向且kBC-b2x0-(常数).a V。iii.2x若P为双曲线a2 y= 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1, b2c a八F 2 是焦点，PF1F2,PF2F1,则 ca tan-cot-(或c a 22c atan cot

15、 ).c a 2222 , x yiv. 设双曲线)今 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)a2 b2为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记F1PF2sincPF1F2, F1F2P,则有s - e.(sin sin ) a22 , xyv. 若双曲线 22 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,ab则当1vew短 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 22、,一 一x yvi. P为双曲线二 七 1 (a>0,b>0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲

16、线内 a b一定点，则| AF21 2a | PA | |PF1 | ,当且仅当 A, F2, P三点共线且 P和A, F2在y轴同侧时，等号成立. 22一，一x yvii. 双曲线一2 一2" 1 (a>0,b>0)与直线 Ax By C 。有公共点的充要条a b件是 A2a2 B2b2 C2.viii.已知双曲线点，且OP22xyabOQ .1 (b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动 |P71|0Q|21b2(2) |OP|2+|OQ|2的最小值为.2. 2孚匕；(3) Sopq的最小 b a2, 2a b值是-22b a1.过双曲线2 y

17、_ b21 (a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于2.3.4.5.6.7.M,N两点，弦2x已知双曲线 a垂直平分线与MN的垂直平分线交x轴于P,则|PF | e| MN | 22 y 1 (a>0,b>0) ,A、B是双曲线上的两点, b2x轴相交于点P(x0,0)，则x02 x设P点是双曲线 a为其焦点记F1PF2一 一 ,x设A、B是双曲线2 a一点， PAB ,心率，则有(1)| PA|(2) tan tan已知双曲线线右焦点F轴，则直线线段 AB的b21 (a>0,b>0)，则(1)|PFi|PF2|b2PBA1 (a> 0,b

18、>0)BPA2.2ab |cos |'222-| a c cos2e .(3) S PAB| 2a2b2 b2 a22,2a b 7或x0a2,2a b上异于实轴端点的任一点，F1、F22b2E . S PF-2b2cot2的长轴两端点，P是双曲线上的,c、e分别是双曲线的半焦距离cot2 x ""2 a2 y b21 (a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线l上,AC经过线段EF的中点.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交,点与相应焦点的连线必与切线垂直过双曲线焦半径的端点作双

19、曲线的切线交相应准线于一点,线必与焦半径互相垂直且BC x则相应交则该点与焦点的连8 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.9 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.10 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项圆锥曲线的光学性质双曲线的光学性质从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延 长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛

20、物线的对称轴。一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线 反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P（xo,yo）到两焦点Fi,F2的距离分别为22ri,r-2,焦点 F1PF2的面积为S,则在椭圆 三、1中，a b2b2 =arccosf 1）,且当r1 r2即P为短轴端点时， 最大为 max二 也,22b carccos2；aS b2tan- c|y0|,当|y0| b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc； 222对于双曲线与4 1的焦点三角形有：a

21、2 b2D arccos 1 ”抛物线1.抛物线的焦点弦公式已知直抛物线的标准方程为y2 2px, p圆锥曲线的统一公式1:圆锥曲线的切线（切点弦）公式设点pxo,yo在二次曲线F x, y 0上，过点px0,yo的切线方程的求法：将二次曲线Fx,y 0中含有x2,y2,xy,x,y项分别用 xxo, yyo, xy° x°y ,°,匕当代换常数项及系数不变而求得。2:圆锥曲线的焦点弦长若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标，则 AB =石k2 x1x2，若yi,y2分别为a、B的纵坐标，则ABF1 /y1 y2 ,若弦

22、ab所在直线方程设为xky b ,则 AB = >/1 k2yiy2 °特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,般不用弦长公式计算， 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。（为AB的倾角，a,b,c分别是长半轴，短半轴，半焦距长）椭圆的焦点弦长AB2ab22 0 cos双曲线的焦点弦长 AB2 2ab21特别的当双曲线为等轴双曲线时双 a c cos曲线的焦点弦长AB2a cos2抛物线的焦点弦长-pr （p为焦参数）。 sin3圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相 应

23、准线相离，双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交(2)设AB为焦点弦， M为与相应准线与 x轴的交点，则/ AMF =/ BMF ;(3)抛物线设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 A1, B1,若P为A1B1的中点，则PALPB;(4)抛物线(椭圆，双曲线)设 AB为焦点弦若AO的延长线交准线于 C,则BC平 行于x轴，反之，若过 B点平行于x轴的直线交准线于 C点，则A, O, C三点共线。(1)相交： 0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要

24、条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线 的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；22x V(2)过双曲线 f ' = 1外一点P(x0，V0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如 a b下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线

25、，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条 是切线；P为原点时不存在这样的直线4:设F是圆锥曲线的焦点，pf2是焦点弦。e,p分别是离心率和焦参数，则有_1_ _1_ _2_PF1PF2ep5:对圆x2V2 r2,由直径上的圆周角是直角出发,可得：若 AB是圆O的直径，M是圆O 上点，K AM .K BM21，对椭圆与a221 有 K AM .K BMb2卜 1 有 Kam.Kbmb22 0a6:对圆过弦AB(非直径)，中点M的直径垂直于此弦，可得Kom.Kab1。2那么对于椭圆金a2yy 1 (a>b)有 b2b22Kom.Kab 与，对于双曲线今aa2二1 b2K Kb20KOM -K AB 2 0 a7:圆锥曲线的相关弦问题(设 AB为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在 轴的弦，作点A关于焦点所在轴的对称点 A,则称弦A'B与弦AB为一对相关弦)2222定理：设AB为椭圆1 1 1 ( a>b)(双曲线x2 与 1)的一条不垂直 a ba b于x轴的弦，A, B为相关