选修5第2讲不等式的证明

1、金版教程高考总复习数学理(经典版)第2讲不等式的证明基础知识整合知识械理1. 比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.a>ba b>Q扭V”岡“ 一”<0a = A画口一石=0作商比较法b>0.->a>bb<0.->la<bb适用类型适用于具有画多项式 特征的不等式的证明主要适用于积、商、 蒔、对数.根式形式 的不等式证明证明步骤作差一变形-判断符 号得出结论作商f变形判断 与1的大小关系 得出结论2. 综合法般地，从已知条件出发，利用 定义、公理、定理、性质等,经过一系列的 推理、 论证而得出命题成立,这种

2、证明方法叫做综合法.综 合法又叫由因导果法.3. 分析法证明命题时，从 要证的结论出发，逐步寻求使它成立的 一充分条件,直至所需条件为已知条件或 一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种 执果索因的思考和证明方法.4. 反证法证明命题时先假设要证的命题 不成立，以此为出发点，结合 已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 (或已 证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从 而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法.5. 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的

3、某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.6. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式定理1若a，b，c，d都是实数，则(a作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较 法适用的主要题型是高次幕乘积结构. 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待 证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法. 高考命题专家说：“放缩是一种能力.”如何把握放缩的“度”，使得放 缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！双基自测.1iia b1.已知 0<a<b，且 M = i + a

4、 + i + b，N= i + a + i + b，则 M，N 的大小关系+ b2)(c2+ d2) (ac+ bd)2，当且仅当 ad= be时，等号成立.(2)柯西不等式的向量形式定理2设a，B是两个向量，则 | a沪国丨日，当且仅当B是零向量，或 存在实数k，使a= kp时，等号成立.金版教程高考总复习数学理（经典版）A . M<N B . M>N C. M = N D .不确定答案 B1解析 由已知得0<ab<1,故M N=+1 + a 1+ b 1 + aa b 1 a , 1 b一 = + 1+a 1+b2 1 ab>0.故 M>N.1 + a

5、1 + b2.（2019南通模拟）若a c|v|b|,贝U下列不等式中正确的是a<b+ cB. a>c bC.答案 D|a|>|b|c|D. |a|<|b|+ |c|解析 |a| |c|< |a c|<|b|，即 |a|<|b|+ |c|故选 D.3.已知a,ab, c, d均为正数，S=a+ b+ d+ b+ c+ a+ c+ d+ b+ d + a+ c，则一定有（）A. 0<S<1答案B. 1<S<2 C. 2<S<3 D. 3<S<4解析S>+=a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a

6、+ b+ c+ d a+ b+ c+ d1,S- +a+ bpl+= 2,.°.1<S<2.故选 B.a+ b c+ d c+ d1234. （2019驻马店质检）若X1, X2, xs （0, +x）,则3个数,去的值（）A .至多有一个不大于1C.都大于1答案 BB.至少有一个不大于1D.都小于1解析解法一：设X1 < X2 < X3,则沪1,X2< 1, X>1.故选 B.X1X2 A X3 d解法一：设 X2>1, X3>1, X1>1,/X1 3>1 与X1 X3= 1 矛盾至少有一个X2 X3 X1X2 X3 X

7、1不大于1.则3a + 2b的取值范围是5.已知 a, b R, a2 + b2= 4,答案2.13, 2.13解析根据柯西不等式(ac+ bd)2< (a2 + b2) (c2+ d2)，可得(3a + 2b)2w (a2 + b2) (32 + 22)-2 13< 3a+ 2b < 2 13.3a + 2bq 2 13, 2, 13.1 1 16.已知a, b, c是正实数，且a+ b+ c= 1,贝唁+ b+ 的最小值为-答案91 1 1解析 解法一：把a+ b+c= 1代入-+二+-,得a b ca+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c+ z +bc+、丿 a-

8、 b+ b- a+'丿a- cb- c+c-> 3 + 2+ 2 + 2 = 9,1当且仅当a= b = c= 3时，等号成立.解法二：由柯西不等式得：(a+ b+c)£+1+£宀；+ b-1b+ Q：2,1 1 1 即 a+b+c> 9.a b c核心考向突破考向一比较法证明不等式例 1(2019 西宁模拟)已知函数 f(x) = |2x+ 1|+ |x 2|,集合 A= x|f(x)<3.(1)求 A；t1若 s, t A,求证：1 S < t s .解(1)不等式 f(x)<3 等价于 |2x+ 1|+ |x 2|<3.(*

9、)设函数 g(x)= |2x+ 1|+ |x 2| 3,f 3x 4, x2,其图象如图所示.1 2 则 g(x)= X, 2<x<2,I13x 2, xW 2,金版教程高考总复习数学理(经典版)从图象可知，当且仅当x 2，0时，g(x)<0.所以不等式(*)的解集为x 2<x<0 t所以 A= x |<x<0 .(2)证明：因为s, tS，由知s, t | 0 ,所以 s2<1, t2<1.尹、尹、2因为 1 S2- t?= 1 + 412隹盘1 t2)(s21)<0,所以(1- s卜卜9,所以I1-s <t-si触类旁通比较

10、法证明的一般步骤作差一变形一判断一结论为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为 一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因 式的积的形式，以判断其正负常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项 等方法.即时训练 1.设函数f(x)=|x 2|+ 2x 3,记f(x)w 1的解集为M.(1) 求 M;2 2(2) 当 x M 时，证明：xf(x) x f(x)<0.x 1, xW2,解(1)由已知，得f(x) =3x 5, x>2.当 x<2 时，由 f(x) = x 1< 1,解得 x< 0,此时 x<0；4当x>2时，由

11、f(x) = 3x 5< 1，解得x< |,显然不成立.故 f(x)w 1 的解集为 M = x|xw 0.(2)证明：当 xCM 时，f(x) = x 1,于是 xf(x)2 x2f(x)= x(x 1)2x2(x 1)2丄2 丄 1=x + x x2 + 4.f 1 21令 g(x) x 2 + 4，贝U函数g(x)在(一X, 0上是增函数，g(x)< g(0) 0.故 xf(x)2 x2f(x)< 0.考向二 综合法证明不等式例2 (2019咸阳模拟)已知a>0, b>0,函数f(x)|2x+ a|+ 2 x+ 1的最 小值为2.(1) 求 a+ b

12、的值；(14(2) 求证:a+ log3 a+ b3 b.解因为 f(x) |2x+ a|+ |2x b|+ 1>|2x+ a (2x b)|+ 1 |a+ b|+ 1,当且仅当(2x+ a)(2x b)< 0时，等号成立，又 a>0， b>0，所以 |a+ b| a+ b，所以f(x)的最小值为a+ b+ 1 2,所以a+ b 1.(2)证明：由(1)知，a+ b 1,所以 a+ b-(a+ 砒+ b；- 1 + 4+ a+ 譽 5 + 企/!寻=9,b 4a12当且仅当$4且a+ b 1,即a 3 b §时取等号.i'14、'所以 log3

13、 a+ b A log39 2,所以 a+ b+ log3 a+ b A 1 + 2 3,(14"即 a+ log3 a + b A3 b.触类旁通综合法是由因导果的证明方法用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的 结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的即时训练 2.(2019宜春模拟)(1)求不等式2<|x 1|-X+ 2|<0的解集;设a, b均为正数,a2 + b2h> 2.解 记 f(x)=|x 1- X+ 2|V, x< 2,=2x 1, 2<x<1,.3, x1,11 f 11、由一2< 2x 1<0,解

14、得一2<x<2，则不等式的解集为 一2 2 .(2)证明:2 22 a + b2h“a，心：ab，h"b，h32 24 a + b> >ab4X 2abab8,当且仅当a= b= 1时取等号2.考向三分析法证明不等式例3 (2019株洲模拟)(1)求不等式x 5| |2x+ 3|> 1的解集; 1(2)若正实数a, b满足a+ b=刁求证：a+ b< 1.3解 (1)当 x< 2时，一x+ 5+ 2x+ 3> 1,解得 x> 7, x< 3；31当2<x<5 时，x+ 5 2x 3> 1,解得 x<3

15、,当 x>5 时，x 5 (2x+ 3)> 1,解得 x< 9，舍去.1综上，7 w xW 3.故原不等式的解集为x 7< x< A证明：要证.a+ . b< 1,只需证a+ b+ 2 ab< 1,金版教程高考总复习数学理(经典版)1 1即证2 ab<，即证 ab<4.而 a+ b =2 ab,. ab< 扌成立，原不等式成立.触类旁通对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手，通 常采用分析法求证分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言 的规范即时训练 3.(2018福建模拟)已知函数f(x) =

16、|x+ 1|.求不等式f(x)<|2x+ 1| 1的解集M ;(2)设 a, b M，证明：f(ab)>f(a) f( b).解 当x< 1时，原不等式可化为一x 1< 2x 2,解得x< 1;1当1<x< 2时，原不等式可化为 x+ 1< 2x 2,解得x< 1,此时原不等 式无解；1当x> 2时，原不等式可化为x+ 1<2x，解得x>1,综上，M = x|x< 1 或 x>1.证法一：因为 f(ab) = |ab+ 1匸 |(ab+ b) + (1 b)|>|ab+ b|11 b|=|b|a+ 1|

17、11 b|.因为 a, bM，所以 |b|>1, |a+ 1|>0,所以 f(ab)>|a+ 1|11 b|, 即卩 f(ab)>f(a) f( b).证法二：因为 f(a) f( b)=|a+ 1| b+ 1|w |a + 1 ( b + 1)| = |a+ b|,所以要证 f(ab)>f(a) f( b),只需证 |ab+ 1|>|a + b|,即证 |ab + 1f>|a+ b| ,即证 a b + 2ab+ 1>a + 2ab+ b ,即证 a2b2 a2 b2 + 1>0,即证(a2 1)(b2 1)>0.因为a, bCM，

18、所以a >1, b >1，所以(a 1)(b 1)>0成立，所以原不等式 成立.考向四反证法证明不等式1 i例4 (2019湖南模拟)设a>0, b>0,且a+ b =才+ £.证明:(1)a+ b> 2；2 2a + a<2与b + b<2不可能同时成立.11 a+ b证明由a+b=a+沪苗，a>0，b>°,得心1.(1)由基本不等式及 ab= 1,有a+ b>2 . ab= 2, 即卩a+ b>2,当且仅当a= b时等号成立.假设a2 + a<2与b2+ b<2同时成立,则由 a2 +

19、a<2 及 a>0,得 0<a<1 ；同理,0<b<1，从而ab<1，这与ab= 1矛盾.故a2+ a<2与b2 + b<2不可能同时成立.触类旁通对于某些问题中所证结论若是 “都是”“都不是”“至多”“至少”等问般用反证法.其一般步骤是反设一推理一得出矛盾一肯定原结论.即时训练 4已知x, y都是正实数，且x+ y>2.(1) 求x2 + y2的最小值；1 + x1 + y(2) 求证：二厂< 2和x < 2至少有一个成立.yx2 2 2 2 222(x+ y) 2x + 2y (x+ y)(x y)解(1)(x2+ y

20、2) = 厂 > 0,当且仅当x= y时等号成立, 22 2 (x+ y)2 2所以x + y > 2 2,当x=y= 1时，x + y取得最小值，最小值为2.1 + x1 + y证明：假设 < 2和< 2都不成立,y x1+ x 1 + y则有>2且>2，即 1 + x>2y 且 1 + y>2x,金版教程高考总复习数学理(经典版)两式相加，得 2+ x+ y>2x+ 2y,即 x+ y<2.1 + x 1 + y这与已知矛盾，因此 < 2和 < 2至少有一个成立.y x考向五放缩法证明不等式例5 （2019包头模拟）已

21、知x，y，z为三角形的三边长，求证：作*+止z右3证明伙，y，z为三角形的三边长,y+z>x，x+ y>z，x+z>y，111111. < < < y+z x，y+ x z，x+ z yx y z+<3，y+z x+z x+ y又亠+丄+丄> x + + = 1y+ z x+ z x+y x+ y+ z x+ y+z x+ y+ zx y z'1<+<3.y+ z x+ z x+y触类旁通用放缩法证明不等式将所证不等式中的某些项适当放大或缩小 （主要方法是拆分、配凑、增减项 等），可使有关项之间的不等关系更加明晰， 更加强化，

22、且有利于式子的代数变形、 化简，从而达到证明的目的这种方法灵活性较大，技巧性较强.111 1 *即时训练 5求证：2+ 1 + 2? + 1 + 2§+ 1 + + 2*+ 1<1（n N ）.1 1证明注意到一<歹将通项放缩为等比数列，2n + 1 1 11 2 3 -止 j 4 1 1左边<2+22+23 +歹=厂=1-歹<1.1-2 +、十111 56.求证：2- 1 + 22- 1 + 23- 1 + + 2n- 1<3.2* 1 证明.2 1 = 2 2 1= 2 2 2 若17=2 2 2n 1 >42 - (n3),41.r S ;11421 X+ 2n 12丿厶+ 3+ 71 2n 2I 2丿2n 17 2