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1、八年级第十三章轴对称自主学习3导学案(1)§13.1.1轴对称学习目标了解轴对称、轴对称图形的定义及相关概念,能识别轴对称图形与对称轴; 理解轴对称的含义,轴对称图形与成轴对称区别与联系学貝准备剪刀一把、一张纸书自学P58P59思考1,完并完成下列问题:1 .动手操做:(1)把一张纸对折,剪出一个图案(折痕不要完全剪断),再打开这张对折的 纸.观察:从得到的图形中你能发现它们有什么共同的特点吗?总结:如果某一图形沿一 叠,直线 亡够互相_,这个图形就叫做,这条直线就是它的 .这时,我们也说这个图形关于这条 (成轴)对称.提示:两旁的部份,说的是同一个图形,不是两个图形.2. 你能找出

2、每.对.图形有什么特点?把纸张沿着虚线折叠,观察对折后的左边图形和右边图形是否完全重合 ? 总结:把某一图形沿着某一条 羽折过去,如果它能够与 图形重合,那么就说这于这条直线这条直线叫做,两个图形中的 即两图形重合时互相重合的点)叫做。动手:在上图的(2)中,把A、B、C的对称点标出来.交流展示例1.你能找出它们的对称轴吗?各有几条?思考:对称轴是直线还是线段?例2思考:轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系.1 如图(1),如果沿着虚线对折,直线两旁的部分会完全重合,那么这个形就 是轴对称图形;若把这个图形看成是左右两部分,则这两个图形就是关于虚 线这条直线成轴对称.2如图(2),如果沿着

3、虚线折叠,右边的图形会与左边的图形完全重合,那么 就说这两个图形关于虚线这条直线成轴对称,若把(2)中的左右两个四边形看成是一个整体的图形,那么这个整体的图形是轴对称图形.轴对称图形是指个图形的特殊形状;轴对称是指个图形的位置关系,在某种情况下,二者可以互相转换,如果把轴对称的两个图形看成 一个整体,那么它就是一个轴对称图形。因此,轴对称图形和两个图形成轴 对称的本质是相同的,只是怎么看图形的问题.过关检测1 下列图形中,是轴对称图形 的是()2.3.C.D.下列命题中,你认为是真命题的请打“",假命题的请打“X” .(1)如果 ABC DEF,那么 ABC 与厶DEF 一定关于某条

4、直线对称.()(2)如果 ABC与厶DEF关于某条直线对称,那么一定有 ABC也 DEF.下列图形中,( )线段AB和AB' ( AB=AB)不关于直线L对称的是B'A'A'B'(BB'(2)疑问与评价导学案(2)§3.1.2线段的垂直平分线的性质(1)学貝准备三角尺P59F61,完并完成下列问题:1 探索:(1).如图(1), ABC和厶A B'关于直线MN对称,点A'、B'、 C'分别是点A、B、C的对称点,线段AA'、BB'、CC与直线MN 有什么关系?MA | Af(1)概念:经过

5、线段的 且.于这条线段的 ,叫做这条线段的总结:图形轴对称的性质: 如果两个图形关于某条直线对称,那么这条直线是任何一对 连线段的. 类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的如图(1) MN垂直平分; ; :(2)如图(2)木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1, P2,P3,是L上的点,分别量一量点P1, P2,卩3,到A与B的距离,你有什么发现? 结论:上的点到线段两端的距离(3)如图,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什八年级第十三章轴对称自主学习结论:到线段两端的 这条线段上.利用三

6、角形全等证明此性质:总结:线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的集合.交流展示#4例1.如图,已知 ABC中,AB=AC , AB的垂直平分线交 AB于D,交AC于丘,若厶ABC与厶EBC的周长分别是26cm、18cm,求AC的长.过关检测1. 如图,直线AD是线段BC的垂直平分线,求证:/ ABD= / ACD.2. 如图,在直角厶ABC中,/ C = 90° / CAB的平分线AD交BC于D,DE垂直平分AB,求/ B的度数.aB(?)疑问与评价八年级第十三章轴对称自主学习导学案(3)§1312线段的垂直平分线的性质(2)&学习目标石书自学P62P

7、63,并完成下列问题:会画线段的垂直平分线;能运用线段的垂直平分线的性质求距离相等的问题学貝准备三角尺#1 问题1:如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的,你准备用什么方法去验 证?2问题2:两个成轴对称的图形,不经过折叠,你用什么方法画出它的对称轴?交济展示AB的垂直平分线.例1 已知线段AB,用直尺和圆规作线段 作图步骤:思考:11. 去掉“大于2AB ”的条件,行不行? 22. 在作图中有“ AC= BC,AD = BD ”这可以保证点C、D都在AB的线.3. 想一想,为什么直线 CD就是所作的垂直平分线?4. 你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗例2如图, ABC和厶A B'

8、是两个成轴对称的图形,请画出它的对称轴. 并简述作法?B(脅过关检测1 下列图形中只需用直尺就可以画出对称轴的是 2下图中的图形都是轴对称图形,请你试着画出它们的对称轴.3. 古南街道,准备为A、B、C (其位置如图所示)修建一口水井,要求水井到三 个村庄的距离相等,水井应该修在什么地方呢,你能找到吗?(保留作图痕迹)疑问与评价八年级第十三章轴对称自主学习导学案(4)§3.2画轴对称图形、学具准备三角尺、一张透明白纸P67P68,并完成下列问题:7怎样利用轴对称的知识得到自己1.在一张半透明的纸上描出自己的左手图形. 的右手图形?2仔细观察自己得到的左右图形回答问题:(1) 画出的图

9、形与原来的图形有什么关系 ?(2) 两个图形成轴对称有什么特征?(提示:找出几个对应点,并连结对应 点看看).3在刚才的纸上任意描图,折叠,打开纸你发现了什么总结:由一个平面图形可以得到它关于一条直线 I对称的图形,这个图形与原 图形、 全一样;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线I的连结任意一对对应点的线段被对称轴.交济展示例1. (1)如图,已知 ABC和直线I,作出 ABC关于直线I对称的图形.形 吗?图1八年级第十三章轴对称自主学习思考:画出后如何验证是否正确?(2)如果将 ABC的位置移至如图2、3、4时,你还能作出关于直线丨对称的 图形吗?图2图3#总结:一个平面图形都可

10、以看着是由 成,要画一个图形经轴对称后的图形只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的 ,然后顺次连接即可.陌过关检测1. 把下列图形补成关于直线丨对称的图形.2作图题:(不要求写作法)如图,在ABCD (即四边形的顶点都在格点上)(1) 在给出的方格纸中,画出四边形AiBiCi Di;(2) 在给出的方格纸中,画出四边形A2B2C2D2.10X10的方格纸中,有一个格点四边形ABCD向下平移 5格后的四边形ABCD关于直线丨对称的四边形iL疑问与评价八年级第十三章轴对称自主学习导学案(5)§3.2.2用坐标表示轴对称11-2(1)观察上图中两个圆脸有什么关系?1.如图:已知右边图脸上:

11、眼睛 B (4, 3), A (2, 3), 嘴角 C (4, 1), D (2, 1).根据轴对称的性质写出左边圆脸上眼睛B1的坐标,A1的坐标 及嘴角C1, D1的坐标.例1.在平面直角坐标系中,将坐标为 A (2 , 2), B (4 , 2), C (4 , 4) , D (2 , 4), A (2 , 2)的点用线段依次连结起来形成一个图案.(1) 纵坐标不变,横坐标分别乘以-1 (变成它的相反数),再将所得的各个 点用线段依次连结起来,所得的图案与原图案相比有何变化?(2) 横坐标不变,纵坐标分别乘以一1 (变成它的相反数),再将所得的各个 点用线段依次连结起来,所得的图案又与原图

12、案相比有何变化?(3) 纵坐标不变,横坐标乘以1,得到相应四个点为A1, B1,C1, D1,各组对应点之间有何位置关系.小结:关于y轴对称的点的坐标有什么特征 ?(4) 横坐标不变,纵坐标乘以1,得到相应四个点为A2, B2:C2, D2各组对应点之间有何位置关系.小结:关于X轴对称的点的坐标有什么特征?阳过关检测11 .已知点 A (2, 3), B ( 1, 2) , C ( 6 , 5) , D ( , 1) , E (4, 0).2关于 x 轴的对称点:A (, ); B' (, ); C(, )D (, );E' (, .关于 y 轴的对称点:A (,); B (,

13、 );C' (, );D (, ;E (, ).3.已知点 A(a+2b, 1), B( 2, 2a b)。(1) 若点A、B关于x轴对称,求a b的值;(2) 若点A、B关于y轴对称,求a+ b的值.r(Q)疑问与评价八年级第十三章轴对称自主学习导学案(6)§3.3.1等腰三角形(1)右书自学P75-77完并完成下列问题:1 等腰三角形的概念:操作:按教科书第75页的要求剪出 ABC . 问题 ABC有什么特点?(1)在厶ABC中,AB = AC,像这样有 相等的三角形叫等腰三角形.(2)等腰 ABC中的腰是和,底边是,顶角是,底角是:2 等腰三角形的性质:问题2:AABC

14、_ (填是或不是)轴对称图形. 若是,它的对称轴是重合的线段重合的角问题3:把剪出的厶ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段,填入下表:从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗?性质1:等腰三角形的两个底角相等(可简写成“” )性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 相重合.(可简记为“” ):交济展示例1 证明:等腰三角形的两底角相等.(按题意画图,并写“已知”和“求证”)已知:如图,在 ABC中,:求证:.证明:A11八年级第十三章轴对称自主学习例2.如图,已知 ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD ,(1) 图中有哪些等腰三角形?(2) 求厶ABC各个角的度数

15、.1. 已知等腰三角形的一个底角是 70°则其余两角为 .2. 已知等腰三角形一个角是 70°则其余两角为.4.如图,性质2可用符号语言表示如下:A3. 已知等腰三角形一个角是110°则其余两角为 .(1)-AB = AC,AD 丄 BC,-/ BAD =/, =AB = AC; BD = DC, /,丄AB = AC,AD 平分/ BAC, 5.如图,在 ABC中,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE, 求/A 的度数.疑问与评价413八年级第十三章轴对称自主学习导学案(7)§3.3.1等腰三角形(2)学习目标154学

16、貝准备三角板石书自学P77-79并完成下列问题:1.复习填空(如1图):在厶ABC中,AB = AC, D在BC上,(1) 如果 AD 丄BC,那么/ BAD =/, BD =.(2) 如果/ BAD =/ CAD,那么 AD 丄, BD =.(3) 如果 BD = CD,那么/ BAD =/, AD 丄.A1图A2 .阅读教材P77思考:在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系? 已知:女口 2图,在 ABC中,/ B = /C.求证:AB = AC证明:如图,作AD丄BC于Dr / B = / C.v < /=/=90'AD=AD BAD CAD ().A

17、B = AC思考:(1)若作 AD平分/ BAC交BC于D,可以证明 AB = AC吗?(2)若作BC边上的中线 AD,又可以证明AB = AC吗? .结论:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形所对的两条边也 .(简写成“” ).也可写成:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是 角形.思考:“如果一个三角形有两个底角相等,那么它是等腰三角形.”这种说法是否正确?为什么?八年级第十三章轴对称自主学习交流展示例1.如图,求证:已知/ CAE是厶ABC的外角,/AB=AC .例2.如图,求证:已知(1)(2)AC 丄BC , BD 丄AD , AC、BD 交于点 O, AC = BD .

18、 BC = AD ; OAB是等腰三角形.(阳过关检测1.如图 1,已知 ABC 中,/ A=36° , / C=72° , ABC 是 角形(根据.如图2,已知/ A = 36° ° / C = 72° ° BD平分/ ABC交AC于D,判断图中等腰三角形有个,若已知 AD = 4cm ,贝U BC=cm.2. AD 平分/ BAC , AD 丄 BD ,垂足为点 D , DE/ AC . 求证: BDE是等腰三角形.?疑问与评价,4#E3-八年级第十三章轴对称自主学习导学案(8)§3.3.1等腰三角形(3)194学貝准备

19、三角板、直尺石书自学P75-79,并完成下列问题:1 等腰三角形的性质:(1) 等腰三角形的两个底角 (简写成: )(2) 等腰三角形的顶角的平分线 边并且 底边(即等腰三角形“三线合一”)(3) 等腰三角形是 寸称图形,它的对称轴是 :2 等腰直角三角形每一个锐角都等于 .3等腰三角形的判定:(1) 有两边相等的三角形叫L(2) 如果一个三角形有两角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成:)4 根据等腰三角形性质,(1) t AD 丄 BC BD=,t AD是中线 AD 丄,(3) t AD是角平分线 AD 丄 ,在厶 ABC中,AB=AC时/ BAD=./=:5 底角等于顶角一半的等腰

20、三角形是 角形.6如图,上午8时,一条船从A处出发以15海里/时的速度向正北航行,9 时45分到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西26°从B处测得灯塔C在 北偏西52°求B处到灯塔C的距离.交流展示例1.如图,已知 ABC中,AB=AC , E在BA的延长线上, ED丄BC的延长线于D,交AC的延长线于F. 问: AEF是否为等腰三角形?为什么?EDF例2.如图,在 ABC中,/A=108 ,AB=AC ,BD是角平分线.求证:BC=AB+CD .約过关检测1. 如图, ABC中AD是/CAB的平分线,且/C=2Z B,求证:AB=AC+CD .丄?)疑问与评价八年级第十三章

21、轴对称自主学习导学案(9)§3.3.2等边三角形(1)三角尺一对看书自学P79-80练习完,并完成下列问题:23等边三角形的定义:1 三条边都相等的三角形叫做也称正三角形它是一种特殊的角形.等边三角形的性质:2 等边三角形是轴对称图形,它有 对称轴.3 等边三角形每一个角相等,都等于 °等边三角形的判定:4 三个角都相等的三角形是 角形5 有一个角是60°的 角形是等边三角形例1 ABC是等边三角形,DE / BC,分别交AB、AC于D、E.求证: ADE是等边三角形(要求:用两种方法证明).A例2.如图,已知P、Q是厶ABC的边BC上的两点,并且 PB= PQ=

22、 QC =AP = AQ.求/ BAC的大小.分析:题中有许多相等的线段,想法用等腰三角形或等边三角形的性质.ABC是等边三角形,以下两种方法分别得到的 ADE是等边三角形吗? 为什么? 在边AB、AC上分别截取 AD=AE . . 作/ ADE=60,D、E 分别在边 AB、AC 上. .2 .如图,已知 BC=BD,/ ACB= / ADB,/ A=60°,求证: ACD 是正三角 形.F疑问与评析八年级第十三章轴对称自主学习1 将两个含30°角的三角尺摆放在一起,请你借助这个图形,找出RtAABC的直角边BD与斜边AB之间的关系是,2. 如图, ABC是等边三角形,A

23、D丄BC于D,则/ BAD =°,BD254如图 2, RtAABC 中,若 AC 丄BC,ZBAC = 30°,则/B =°,延长 BC到D使BD = AB,连结AD,则 ABD是三角形,进而可得:BC =,1 1且 BC= -= 2.结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于(上述命题的逆命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那 么这条直角边所对的角是30° 也成立,这个结论以后经常用到,务必要记住.)交流展示例1.如图,在 ABC中,BA=BC,/ B=120,AB的垂直平分线 MN交AC于D,若A

24、D=3cm,求DC的长.C例2如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P 可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE丄BC,垂足为E;过 点E作EF丄AC,垂足为F;过点F作FQ丄AB,垂足Q,设BP=x,AQ=y.(1) 写出y与x之间的关系式;(2) 当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?AC(窍过关检测1 判断(请在题后的括号内正确的画“V” ,错误的画“ X”):(1) 直角三角形中,30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.()(2) 在三角形中,30°角所对的边等于长边的一半.()(3) 等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴

25、是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线()2. 若一个三角形有两条边相等,且有一内角为60o,则这个三角形一定为() A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D.钝角三角3如图,在等边三角形 ABC中,点D,E分别在边BC,AC 上, DE / AB, 过点E作EF丄DE,交BC的延长线于点F.(1) 求/ F的度数;2)疑问与评析(2) 若 CD=2, 求 DF 的长.八年级第十三章轴对称自主学习导学案(11)轴对称复习习目标复习理解轴对称的意义、轴对称的性质,会画一个轴对称图形的对称轴石书自学P90P90,并完成下列问题:(一) 基本概念1 .如果一个图形沿折叠,直线两旁的

26、部分能够互相,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做 ,折叠后重合的点是,叫做对称点.2 经过并且这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。3. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做 变换.4. 有两条边相等的三角形,叫做三角形,相等的两条边叫做 ,另一条边叫做 ,叫做顶角,底边与腰的夹角叫做.5. 三条边都相等的三角形叫做三角形.(二) 主要性质1. 如果两个图形关于某条直线对称,那么是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段 的.2 .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 相等。3. (1)点P (x, y)关于x轴对称的点的坐标为P(

27、(,(2)点P (x,y)关于y轴对称的点的坐标为P'(,4. 等腰三角形的性质(1) 等腰三角形的两个底角相等(简称“ ”(2) 等腰三角形的 、目互重合。(3) 等腰三角形是轴对称图形, 是它的对称轴。(4) 等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.(5) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的 .(6) 等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的边。5. 等边三角形的性质(1) 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 (2) 等边三角形是轴对称图形,共有条对称轴.(3) 等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相(三) 有关判定1. 与一条

28、线段两个端点距离相等的点,在上。2 .如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称3. 三个角都相等的三角形是三角形。4. 有一个角是60°的三角形是等边三角形.交流展示例1 如图,在 ABC中,点D , E分别在边AC, AB上,BD与CE交于点0,给出下列三个条件:/ EB0=Z DC0;BE=CD; 0B=0C.(1) 上述三个条件中,由哪两个条件可以判定 ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.例2 .如图所示,在 ABC中,AB=AC,在AB上取一点 取一点F,使BE=CF, EF交BC于G.求证EG=F

29、G.例3.如图, ABC 中,/ ABC=2 / C,BE 平分/ ABC 交 AC 于 E、AD 丄BE于D,求证:(1) AC BE=AE ;(2) AC=2BD .过关检测1.如图所示,把一张平行四边形纸片 ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD相交于点0,若/ DBC=15,则/ B0D=2 .如 图,已知 ABC 中,/ B=60° , AB=AC=4过BC上一点D作PD丄BC,交BA的延长线于点P,交AC于点Q,若CD=1,求PA.2)疑问弓评价一0学习目标专题1最短路径问题了解线段公理是解决最短路径问题的基本知识;会用轴对称将其它最短路径问题转化为线段公理来解决.P85P87

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