大学物理试卷讲义

1、大学物理(电学)试卷一、选择题(共24分)1 (本题3分，A )如图所示，两个同心均匀带电球面，内球面半径为 距离球心为外球面半径为R2、带有电荷Q2,则在外球面外面、Ri、带有电荷Qi,r处的P点的场强大小E为(A)Qi Q24 二；0r2(B)QiQ24 二；0 r R2 4 二；o r R2(C)Qj +Q224 二 p R2 - R1(D)Q24 二;or2A带电2 (本题3分，D) A和B为两个均匀带电球体, 荷+ q，B带电荷一 q,作一与A同心的球面 图所示贝U(A) 通过S面的电场强度通量为零， 各点的场强为零.(B) 通过S面的电场强度通量为S为高斯面，如S面上q / 0,

2、S面上场强的大小为E 肛巧4冗名0r(C) 通过S面的电场强度通量为(-q) / o, S面上场强的大小为 E2 4n or(D) 通过S面的电场强度通量为 q / io,但S面上各点的场强不能直接由咼斯定理求出. B D: B球E不可忽略3 (本题3分，B)半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为：A B :高斯定理4 (本题3分，C)静电场中某点电势的数值等于(A) 试验电荷qo置于该点时具有的电势能.(B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能.(C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能.(D) 把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功.5 （本题

3、3分，D）图示一均匀带电球体，总电荷为 +Q，其外部同心 地罩一内、外半径分别为1、2的金属球壳.设无穷远处为电势零点， 则在球壳内半径为r的P点处的场强和电势为：_ Q . Q(A) E2,U -4 兀 E0r4兀®r(B) E = 0 , U =Q4 - ”1(C) E = 0 , U =Q4 二；0rQ(D) E = 0 , U =4 ： o26如图所示，一带负电荷的金属球，总电荷为金属球壳中一点 P处的场强大小和电势（A）（C）E= 0 , E =0,(B)(D)+Q,外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在（答案B）（设无穷远处为电势零点）分别为E =0, U < 0.E

4、> 0, U < 0 .6 （本题 把两者各自孤立时的电容值加以比较，贝U（A）空心球电容值大.（B）实心球电容值大.（C）两球电容值相等.（D）大小关系无法确定.3 分，C）两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心,ri7 （本题3分，B） 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E、电容C、电压U、电场能量 W四个量各自与充入介质前相比较，增大（f ）或减小（J ）的情形为(A)Ef,Cf,U f,Wf(B)E J,C f,U J,WJ(C)E J,C f,U f,WJ(D)Ef,C J,U J,Wf8 （本题3分，B）真

5、空中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径 和所带的电荷都相等则它们的静电能之间的关系是(A)(B)(C)(D)球体的静电能等于球面的静电能.球体的静电能大于球面的静电能.球体的静电能小于球面的静电能.球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电二、填空题（共28分）-2cr1 （本题5分）两块“无限大”的均匀带电平行平板，其电荷面密度分别为q o0）及一2匚如图所示试写出各区域的电场强度E .区E的大小，方向.n区E的大小，方向.出区e的大小，方向.2 （本题3分）由一根绝缘细线围成的边长为I的正方形线框，使它均匀带电，其电荷线密度为打则在正方形中心处的

6、电场强度的大小E =.+q+qaO +a3 （本题5分）电荷均为+ q的两个点电荷分别位于 x轴上的+ a 和一a位置，如图所示则 y轴上各点电场强度的表示式为 E =，场强最大值的位置在 y=4 （本题3分）如图所示，在电荷为 q的点电荷的 静电场中，将一电荷为qo的试验电荷从a点经任意路 径移动到b点，外力所作的功 A =5 （本题3分）图示为某静电场的等势面图，在图 中画出该电场的电场线.6 （本题3分）在静电场中有一立方形均匀导体，边长 为a.已知立方导体中心 0处的电势为 U0,则立方体顶 点A的电势为7 （本题3分）一孤立带电导体球， 其表面处场强的方向 表面；当把另一带电体放在这

7、个导体球附近时，该导体球表面处场强的方向表面.8 （本题3分）两个空气电容器 1和2,并联后接在电压恒定|的直流电源上，如图所示.今有一块各向同性均匀电介质板缓-慢地插入电容器i中，则电容器组的总电荷将，电容器组储存的电能将 .（填增大，减 小或不变）三、计算题（共38分）1 （本题10分）真空中有一高 h= 20 cm、底面半径 R= 10 cm的圆锥体.在其顶点与底面中心连线的中点上置q = 10-C的点电荷，如图所示.求通过该圆锥体侧面的电场强度通量.（真空介电常量；。=8.85Xq j h1012 C2 N1 m-2 ）1 R2 （本题5分）若电荷以相同的面密度 二均匀分布在半径分别为

8、r1=10 cm和匕=20 cm的两个同心球面上， 设无穷远处电势为零，已知球心电势为 300 V，试求两球面的电荷面密度 二的值.（0= 8.85X 10 C2 / N m2 ）.3 （本题5分）一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R,内半径为3RR/2,并有电荷Q均匀分布在环面上. 细绳长3R,也有电荷Q均匀分布在 绳上，如图所示，试求圆环中心 0处的电场强度（圆环中心在细绳延长线a4 （本题10分）如图所示，一电荷面密度为 口的"无限大”平 面，在距离平面 a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个 半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的.试求该圆半径的大小.5 （本题8分）两金

9、属球的半径之比为 1 : 4,带等量的同号电荷当两者的距离远大于 两球半径时，有一定的电势能.若将两球接触一下再移回原处， 则电势能变为原来的多少倍?四、错误改正题（共5分）1 （本题5分）有若干个电容器，将它们串联或并联时，如果其中有一个电容器的电容 值增大，则：串联时，总电容随之减小.（2）并联时，总电容随之增大. 上述说法是否正确，如有错误请改正.五、回答问题（共5分）（本题5分）为什么在无电荷的空间里电场线不能相交？大学物理试卷（电学）答案一、选择题（共24分）A D B C D C B B二、填空题（共28 分）1 （本题5分）2；。3-2向右向右向左22 （本题3分）03 （本题5

10、分）2qy j£22 3促 j，4 二。a y-a/ 24 （本题3分）q°q '±_±45 Ub ra5 （本题3分）（j为y方向单位矢量）2分2分1分3分3分2分答案见图.6 （本题3分）Uo.7 （本题3分）垂直于 仍垂直于8 （本题3分）增大3分1分2分1分增大三、计算题（共38分）1 （本题10分）解：以顶点与底面中心连线的中点为球心， r = Jr2 +（h/2 2为半径作一球面.可以看出，通过圆锥侧面的电通量（电 场强度通量）等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠 面的电通量.通过整个球面的电通量0 = q/ o2分通

11、过球冠面的电通量% =S/So式中S为球冠面积 通过圆锥侧面的电通量为q 2nr(r h/2) qh/2121 f2®4对2名o i*R2 十(h/2$S=2 二r(r- h/2), So为整球面积.2,门2=：S 、qh 2=q旦+ f名 02®4 奄 Jr2 +(h/2：=9.6X 104 N m2/Ch/21 + /、PR2+(h/2丫丿2 （本题5分）解：球心处总电势应为两个球面电荷分别在球心处产生的电势叠加，即 0 Uq208.85 10 C/m21 23 （本题5分）解：先计算细绳上的电荷在O点产生的场强.：作坐标原点O, x轴向下为正.在 x处取一电荷元dq

12、= ' dx = Qdx/（3R）dq故得选细绳顶端它在环心处的场强为dE1 二24二 0 4R-xQ d x12 兀客 0R(4R xf3RVE Vx1/ 、乞+生1'4兀十4町;u:4gl12 丿4g1 12 丿整个细绳上的电荷在环心处的场强E13R dx12二；0R圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强0 4R-x2Q216二；°RE2=0由此，合场强- QE = Ej2 i16 兀4 （本题10分）解：电荷面密度为 曲勺无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 Ep / （2so）以图中O点为圆心，取半径为 rtr + dr的环形面积，其电量为dq = ；

13、:2 二 rdr它在距离平面为a的一点处产生的场强<ra r d rdE 二 22%（a +r ）则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为匚 二a R rdr五 0 a2 r2 3/2a2 ；o1 ”/2 2由题意，令E=;/ （4 0），得到R= 3a、一 Pa+R 丿5 （本题8分）解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点电荷设两球各带电荷Q,若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为W）二 Q2 /（4 二；°d）式中d为两球心间距离.2分当两球接触时，电荷将在两球间重新分配.因两球半径之比为1 : 4 .故两球电荷之比Q1 : Q2 = 1 : 4

14、.Q2 = 4 Q12 分但Q1 Q2 二 Q4Qr 二 5Q<j 二 2Q Q1 =2Q/5, Q2 =4 2Q/5=8Q/52 分当返回原处时，电势能为w = °°216w02分4gd 25四、（本题5分）答：（1）串联时，总电容随之增大.3分（2）正确.2分五、（本题5分）答：由实验和理论知道，静电场中任一给定点上，场强是唯一确定的，即其大小和方向都是确定的.用电场线形象描述静电场的空间分布时，电场线上任一点的切线方向表示该点的场强方向.如果在无电荷的空间里某一点上有几条电场线相交的话，则过此交点对应于每一条电场线都可作出一条切线，这意味着交点处的场强有好几个方

15、向，这与静电场中任一给定点场强具有唯一确定方向相矛盾，故无电荷的空间里电场线不能相交.5分电学复习重点（一）要点、电荷守恒定律（略）.3二、 库仑定律 ：F= qiq2r/(4 now).三、电场强度E: 1定义：E=F/qo (F为试验电荷qo在电场E中所受作用力);2.电场叠加原理E = 7Ei (矢量叠加)；点电荷系激发的电场：E = Tq-iri /(4二；°r )； 连续带电体激发的电场：E=右rdq/(4 n of3).四、高斯定理：1.电力线(略);2. 电场强度通量 e=iE?JS (计算电场强度通量时注意曲面S的法线正方向);3. 高斯定理(过闭合曲面的电场强度通量

16、)：真空中 Q E dS = 7qr ；o ;-S介质中 sD dS = 7q0i ；电位移矢量各向同性介质中D= q!E= dE4. 库仑电场为有源场.五、 环路定理：1.表达式E dl =02.静电场为保守场.六、电势U：(0)1. 定义式(场强与电势的积分关系.下式中p表示场点，(0)表示电势零点)：UE dl ；pB2. 电势差 Uab =Ua-Ub E dl'A3. 电势叠加原理 U - ?Ui (标量叠加)；点电荷系激发的电势：U - Jqj/(4二；or)；连续带电体激发的电势 U dq 4二；or Iq4. 静电场力的功WAB=qVAB ；七、导体：1. 静电平衡条件导

17、体内E=0,导体表面附近外E垂直表面；2. 推论(1)导体为等势体，导体表面为等势面，(2)导体表面曲率半径小处面电荷密度大，(3)导体 表面外附近电场E=b / 0(-3. 静电屏蔽(1)空腔导体内的物体不受腔外电场的影响，(2)接地空腔导体外物体不受腔内电场的影响.八、电容：1. 定义式 C=Q/. U=Q /(Ui U2)；2. 几种电容器的电容平行板电容器C=d S/d (2)圆柱形电容器 C=2ndn(R2/Ri)，(3)球形电容器C=4 ndRi /(R2 Ri)，(4)孤立导体球C=4 ne;R3. 并联C=C1+ChC3+:4 串联1/C=1/C1+1/C2+1/C3+.九、静

18、电场的能量：1. 点电荷系相互作用能 We= (1/2)匕qiUi；2. 连续带电体的能量 We= (1/2) qAdq；2 23. 电容器电能W4=(1/2)qU=(1/2)CU =q /(2C)；4. 静电场的能量密度we=( d/2) E2, We= “WedV.十、几种特殊带电体激发电场21. 无限长均匀带电直线激发电场的场强E= 叭2二B );2. 均匀带电园环轴线上的场强与电势E=Qx/4o (x2+R亍/2, U= Q/4二;o (x2+R2)"2;3. 无限大均匀带电平面激发电场的场强E= -J(2 o)；4. 均匀带电球面激发的场强与电势：球面内E=0,U= Q/(

19、4:;oR)球面外 E= Q r/(4 心or),U= Q/(4,or)；3235. 均匀带电球体激发的场强与电势：球体内E=Q r/(4二;oR), U=Q (3R - r)/(8二;oR );球体外 E= Q r/(4 心o r3), U= Q/ (4 二;o r)；6. 无限长均匀带电圆柱面激发的场强：柱面内E=o, 柱面外E =r/(2二;or2)；7. 无限长均匀带电圆柱体激发的场强：柱体内 E=r/(2二;oR2),柱体外E =r/(2二;or2)(二)试题一、选择题(每题3分)1. 下列几种说法中哪一个是正确的？(答案：C)(A) 场强中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电

20、场力的方向(B) 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相等(C) 场强可由E = F/qo定岀，其中qo为试探电荷，qo可正、可负，F为试探电荷所受的电场力.(D) 以上说法都不正确2密立根油滴实验是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生，实验中，半径为r、带有两个电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12,当电势差增加到4Ui2时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为(答案：B)(A) 2e( B) 4e ( C) 8e (D) 16e3. 关于高斯定理得理解有下列几种说法，其中正确的是：(答案：D)(A) 如果高

21、斯面上E处处为零，则该面内无电荷.(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E处处为零.(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内有电荷.(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零.4. 图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势(位)面，由图可看岀：(答案：D)(A) Ea> Eb> Ec， Ua>Ub> Uc(B) Ea< EbV Ec， Ua< Ub< Uc (C) Ea> Eb>Ec， UaV U bV Uc.(D) EaV Eb V 氐，Ua> Ub> Uc 5. 一个平行板电容器，充电后与电源断开

22、，当用绝缘手柄将电容器两 极板间距离拉大，则两极板间的电势差 U12、电场强度的大小E、电场 能量W将发生如下变化：(答案：C)(A) U12减小，E减小，W减小.(B) U12增大，E增大，W增大.(C) U12增大，E不变，W增大.(D) U12减小，E不变，W不变.6. 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量径向距离 描述下列哪方面内容(E为电场强度，U为电势)(A)(B)(C)(D)7. 如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的2倍，则其电场的能量变为原来的(答案：C)变化的关系，请指出该曲线可半径为 半径为 半径为 半径为R的无限长均匀带电圆柱体电场的R的无限长均匀带电圆

23、柱面电场的R的均匀带正电球体电场的U-r关系R的均匀带正电球面电场的U-r关系.(答案：A)E-r关系E-r关系（A）2 倍.（B）1/2 倍.（C）4 倍.（D）1/4 倍.8. 有两个大小不相同的金属球，大球直径是小球的两倍，大球带电，小球不带电，两者相距很远.今(A)2.(B)1.(C)1/2.(D)0.9. 一平行板电容器两板相距 d,对它充电后把电源断开，然后把电容器两极之间的距离拉大到2d,如果电容器内电场边缘效应忽略不计，则（答案：D）（A）电容器的电容增大一倍.（B）电容器所带电量增大一倍.（C）电容器两极板间的电场强度增大一倍 .（D）储存在电容器中电场能量增大一倍 .10.

24、 两个半径相同的金属球， 一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则（答：C）（A）空心球电容值大.（B）实心球电容值大.（C）两球电容值相等.（D）大小关系无法确定11如果在空气平行板电容器的两极板间平行插入一块与极板面积相同的金属板，则由于的插入及其 相对极板所放位置的不同，对电容器电容的影响为（答案：C）（A）使电容减小，但与金属板相对极板的位置无关.（B）使电容减小，但与金属板相对极板的位置有关.（C）使电容增大，但与金属板相对极板的位置无关.（D）使电容增大，但与金属板相对极板的位置有关12. C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电.在电源保持联接的情况下， 在&am

25、p;中插入一电介质板,如图所示，则（答案：C）(A)C1极板上电荷增加，C2极板上电荷减少(B)C1极板上电荷减少，C2极板上电荷增加(C)C1极板上电荷增加，C2极板上电荷不变(D)C1极板上电荷减少，C2极板上电荷不变、填空题q1. （本题3分）如图所示，在边长为 a的正方形平面的中垂线上，距中心 0点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量为.答案：q / (6 q)e(< /2)，2. （本题3分）一面积为S的平面，放在场强为E的匀强电场中，已知E与平面的夹角为则通过该平面的电场强度的通量庐（答案：ESsinO）3. （本题3分）如图，被点电荷q和-q被包围在

26、高斯面S内，则通过该高斯面的电场强度通量EdS二 处的场强.（答案：0,高斯面上各点）4. （本题3分）（可参考上题图）S为闭合曲面，真空中点电荷 q1和qa在外， q2和q4在S内，则通过该高斯面的电场强度通量E，dS二，式s中E是点电荷在闭合曲面上任一点产生的电场的矢量和答案：（q2 q4）/ ；o，q1、q3、4、中5. （本题3分）图中曲线表示一种球对称性静电场的电势分布，r表示离对称中心的距离这是勺电场.（答案：半径为 R的均匀带正电球面）6. （本题3分）一半径为R的均匀带电球面，带有电荷 Q，若设该球面上电势为零，则球面内各点电势U=。（答案：0）O:)2分Ob或2分qpLi分d

27、l )U3UiorU2Ua11.（本题3分）真空中均匀带电面球和球体，相如果它们的半径和所带的电荷都相等.则带电面球7. （本题3分）一孤立带电导体球，其表面处场强的方向表面；当把另一带电体放在这个导体球附近时，该导体球表面处场强的方向表面.（答案：垂直，仍垂直于）U c8. （本题3分）如图所示，在一个点电荷的电场中分别作三个电势不同的等势面A，,的电场能量Wi与带电球体电场能量W2相比，WiW2 （填v、二、 ）.（答案：v ）V曲点（答案：vp 二-_q，va 二A1.（本题5分）如图所示，真空中一长为 L的均匀带电细直杆，总电荷为 q，试求在直杆延长线上距9 2 2杆的一端距离为d的P

28、点的电场强度.（1/4二；0=9 10 N m /C ）解：设杆的左端为坐标原点 0，x轴沿直杆方向.带电直杆的电荷线密度为=q / L，在x处取一电荷元dq = dx = qdx / L，它在P点的场强：dq_qd xdE _4 n ；0 L d x 24n ,L L d -x 2B，C （从内到外）.已知U A Ub Uc，且Ua-Ub=Ub-Uc，则相邻两等势面之间的距离关系是： RB - RARC - RB .（填：:，=,-）（答案:10.图中所示为静电场的等势（位）线图，已知Ul U2 U3,在图上画岀a、b两点的电场强度的方向，并比较它们的大小.EaEb（填、=、 ）.（答案：，

29、垂直于等势（位）线图）12 （本题4分）静电场的环路定理得数学表示式为.该式的物理意义是.该定理表明，静电场是场.（答案：! E dl =0，静电场力做功与路径无关，保守）13.（本题3分）静电场中某点的电势，其数值等于14.（本题3分）一平行板电容器充电后切断电源， 若使二极板间距离增加，则二极板间场强 电容.（填增大或减小或不变）（答案：不变，减小）三、计算题总场强方向沿x轴，即杆的延长线方向大小为9.（本题3分）图中所示以O为心的各圆弧为静电场的等势（位）线图, 图上画出a、b两点的电场强度的方向，并比较它们的大小.EaEb（填v、=、 ）.答案见图已知U1v U2v U3,在dx2E*

30、L°(L d x)q4 二；0 d L dO2. （本题io分）一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为 山，其上分布有 正电荷q，试以a, q,岂表示岀圆心0处的电场强度.解：取对称坐标xoy如图（略），由对称性可知：Ex二dEx = 0 2分dq_dl ._addEy2 cos2 cos2 cos4 花4 兀®4 応5 a3. （本题10分）一个细玻璃棒被弯成半径为 R半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷-Q，沿其下半部分均匀分布有电荷 Q，如图所示，试求圆心 0处的电场强度.解：把所有电荷都当作正电荷处理，在e处取微小电荷：dq二，dl = 2Qd二/二，它在0处产生场强d

31、Edq4二；0R2Q2 22 二 0RVQ而e角变化，将dE分解成两个分量：dEx二dEsin22 si2分0RdEy 二 dE cos 二 Q2二2 0R2cosdr对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷Exsind 八 sin 诃珂=02 -0R7/2EyM 2 cosd - cosd討二 2"；°R20：/2«°R22 分Q EH Ey厂十j4. （本题10分）如图所示，一内半径为 a、外半径为b的金属球壳，带有电荷 Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点，试求：（1）球壳内外表面上的电荷.（2）球心0 点处，由球壳内表

32、面上电荷产生的电势.（3）球心0点处的总电势.解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q,外表面上带电荷q+Q.2分（2）不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离0点的距离都是a，所以由这些电荷在0点产生的电势为dq4 二；0a_ -q4 二；0a（3）球心0点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在0点产生的电势的代数和Uo 二Uq U 乂 Uq q5 分5. （本题10分）一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为 匚.设无限远处为电势零点.计算盘中 心0点电势.解：在盘上取一半径为r ； r dr范围的同心圆环.其面积为dS = 2二rdr，其上的电荷它

33、在0点产生的电势为dq -drdU4二；0r 2 ；0总电势 U = dUdr =2；0。-R2 ；o6. （本题10分）电荷q均匀分布在长为21的细杆上，求在杆外延长线上与杆段距离为a的P点的电势（设无穷远处为电势零点）解：设坐标原点位于杆中心 0点，x轴沿杆的方向，细杆的电荷线密度冬=q/（2l），在x处取电qdxdq荷元 dx: dq = dx 二 qdx/(2l)它在P点处产生的电势dU p :4 兀s(l+ax) 8 阳 0l(l+a x)整个杆上电荷在P点处产生的电势dx(l a x) 8予1皿儿q I “*2l、Hr7. （本题10分）图示两个同轴带电长直金属圆筒，内、外半径分别

34、为R1和R2,两筒间为空气,内、外筒电势分别为 U1=2Uo， U2=Uo，Uo为已知常数.求两金属圆筒之间的电势分布.解：设内筒所带电荷的线密度为 ，则两筒间的电场强度分布为 E =2昭°rR2两筒间的电势差为s _U2 二U0 = . E dF =RiR2 -dr亠n&冃 2二；°r 2 二；0R由此得:U0/l n(R2/R)2 二；0设两筒间任一点（距轴线的距离为 r ）的电势为U,贝U有u-XuXJJ-of-o712r Of-(1)U -U1In - 2U00In -2m0RIn( R2 / R) R或 U U2= jE dF = J &dr|门邑/r 2兀g0r 2兀名0rUInR2 UUoU0In 昱 (2)2% rIn(& / R) r可以证明，（1）、（2）两式是相等的：2UoIn(R2：R)InAUo UIn