2020年新人教A版高中数学必修2同步课时跟踪检测：(二十四)直线与圆的位置关系

1、课时跟踪检测(二十四)直线与圆的位置关系一、题组对点训练对点练一直线与圆的位置关系1.直线 3x + 4y+ 12= 0 与圆( (x 1)2+ (y+ 1)2= 9 的位置关系是( () )A .过圆心B .相切C .相离D .相交但不过圆心Ovdvr，所以相交但不过圆心.2.直线 I: y 1= k(x 1)和圆 x2+ y2 2y= 0 的关系是( () )A .相离B .相切或相交C .相交D .相切解析：选 C I 过定点 A(1,1) ,：12+ 12 2X1 = 0,.点 A 在圆上，直线 x= 1 过点 A 且为圆的切线，又 I 斜率存在， I 与圆一定相交，故选 C.3 .求

2、实数 m 的取值范围，使直线 x my+ 3= 0 与圆 x2+ y2 6x+ 5= 0 分别满足:(1)相交；( (2)相切；( (3)相离.解：圆的方程化为标准式为(x 3)2+ y2= 4,6故圆心(3,0)到直线 x my+ 3= 0 的距离 d = 2pm + 1圆的半径 r= 2.6(1)若相交，则 dvr,即2,m + 1所以 m( s,2 2)U(2 .2,+ s).6若相切，则 d= r，即-2= 2,jm+ 1所以 m= 2.6若相离，则 dr,即:一2, m+ 1所以 m ( 2 2, 2 2).解析：选 D圆心(1, 1)到直线 3x+ 4y+12= 0 的距离 d=|

3、3X1+4X 1+12|115，对点练二圆的切线问题4.以点(2, - 1)为圆心，且与直线 3x 4y+ 5 = 0 相切的圆的方程为( () )A. (x 2)2+ (y+ 1)2= 3B. (x+ 2)2+ (y 1)2= 3C. (x + 2)2+ (y 1)2= 9D . (x 2)2+ (y+ 1)2= 9|6+ 4 + 5| 解析：选 D 圆心到直线 3x 4y+ 5 = 0 的距离 d=-= 3,即圆的半径为 3,所寸(4)2以所求圆的方程为(x 2)2+ (y+1)2= 9.5由直线 y= x+ 1 上的一点向圆(x 3)2+ y2= 1 引切线，则切线长的最小值为( ()

4、)A. 1B. 2 2C. 7D. 3解析：选 C 因为切线长的最小值是当直线y= x+ 1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心|3 0+ 1|厂(3,0)到直线y= x+ 1 的距离为 d= 寸= 2 占，圆的半径为1,所以切线长的最小值为 d2 r2=- 8 1= 7,故选 C.6.若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为解析：设切线斜率为 k,则由已知得：k kop= 1.1.k= . 切线方程为 x + 2y 5= 0.答案：x + 2y 5= 07 .已知圆 C： (x 1)2+ (y 2)2= 2,过点 P(2, 1)作圆 C 的切线，切点为 A, B

5、.求直线PA, PB 的方程.解：切线的斜率存在，设切线方程为y+ 1 = k(x 2),即卩 kx y 2k 1 = 0.2k 6 k 7 = 0，解得 k= 7 或 k = 1,故所求的切线方程为y+1 = 7(x 2)或 y+ 1 = (x 2),即 7x y 15= 0 或 x + y 1 = 0.对点练三圆的弦长问题8 设 A, B 为直线 y= x 与圆 x2+ y2= 1 的两个交点，贝 V |AB|=()A. 1B. 2C. 3D. 2厂 I k3|厂圆心到直线的距离等于.2,即 一?=2,k + 1解析：选 D 直线 y= x 过圆 x2+ y2= 1 的圆心 C(0,0)，

6、则|AB| = 2.9.如图,已知以点 A(- 1,2)为圆心的圆与直线 li： x + 2y+7=0 相切.过点 B( 2,0)的动直线 l 与圆 A 交于 M , N 两点.(1) 求圆 A 的方程；(2) 当|MN|= 2 19 时，求直线 l 的方程.解：( (1)设圆 A 的半径为 r.圆 A 与直线 11: x+ 2y+ 7= 0 相切,2 2圆 A 的方程为(x + 1) + (y 2) = 20.当直线 I 与 x 轴垂直时，直线 I 的方程为 x= 2,易得|MN| = 2 19，符合题意；当直线 I 与 x 轴不垂直时，设直线 I 的方程为 y= k(x+ 2)，即 kx

7、y+ 2k= 0.取 MN 的中点 Q,连接 AQ,贝 U AQ 丄 MN.|MN |= 2 19,|AQ|=20 19= 1,直线 I 的方程为 3x 4y+ 6 = 0.综上，直线 I 的方程为 x= 2 或 3x 4y+ 6 = 0.二、综合过关训练1 .已知点(a,b)在圆 C：x2+ y2= r2(r丰0)的外部，则直线 ax+ by= r2与 C 的位置关系是( () )A .相切B .相离C .相交D .不确定2解析：选 C 由已知 a2+ b2 r2,且圆心到直线 ax + by= r2的距离为 d= /r-，贝 U d| 1+ 4+ 7|=2 5.Va22vr,故直线 ax+

8、 by= r2与圆 C 的位置关系是相交.2 .直线 3x + 4y= b 与圆 x2+ y2 2x 2y+ 1 = 0 相切，则 b 的值是( () )解析：如图所示，y=”，1 x2是一个以原点为圆心，长度1 为半径的半圆,y= x + b 是个斜率为 1 的直线，要使两图有两个交点，连接A( 1,0)和 B(0,1)，直线 I 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线I 的 b 值，当直线 I 与 AB 重合A2 或 12C . 2 或12|3 + 4 b|解析：选 D 因为直线 3x + 4y= b 与圆心为( (1,1),半径为 1 的圆相切，所以彳_

9、二 = 1寸 32+ 42b= 2 或 12,故选 D.3.已知圆 x2+ y2+ 2x 2y+ a = 0 截直线 x + y+ 2= 0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( )A. 2B . 4D. 8解析：选 B 圆的标准方程为( (x+ 1)2+ (y 1)2= 2 a, r2= 2 a,则圆心( (一 1,1)到直线 x4.若点 P(2, 1)为圆 C : (x 1)2+ y2= 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( () )A . x + y 1 = 0B . 2x+ y 3= 0C . 2x y 5= 0D . x y 3= 0解析：选 D 圆心是点 C(1,

10、0),由 CP 丄 AB,得 kAB= 1,又直线 AB 过点 P,所以直线 AB的方程为 x y 3= 0.5.过点 P( 1,6)且与圆(x+ 3)2+ (y 2)2= 4 相切的直线方程是 _ .解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y 6 = k(x + 1)，则 d =|26k(3+1)= 2,解得 k = *此时，直线方程为：4y 3x 27 = 0;当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x = 1,验证可知，符合题意.答案：4y 3x 27= 0 或 x= 1B . 2 或12D . 2 或 12+ y+ 2= 0 的距离为| 1+ 1+ 2|=2由 22+ ( 2

11、)=2 a，得 a = 4.：1 + k2b 的取值范围是6.5时，b= 1;当直线 l 与半圆相切时，b= 2.所以 b 的取值范围是1,2).答案：1,2)7.圆 C 与直线 2x + y 5= 0 切于点( (2,1)，且与直线 2x + y+ 15= 0 也相切，求圆 C 的 方程；(2)已知圆 X2+ y2+ X 6y+ m = 0 和直线 x + 2y 3 = 0 交于 P, Q 两点，且 0P 丄 0Q(0 为 坐标原点) )，求该圆的圆心坐标及半径.解：( (1)设圆 C 的方程为(x a)2+ (y b)2= r2.两切线 2x+ y 5= 0 与 2x + y+ 15= 0

12、 平行，即 |2a + b+ 15|= 10,即 |2a + b- 5| = 10,又过圆心和切点的直线与切线垂直,b 11二=2，a=2,由解得b= 1.22所求圆 C 的方程为(x+ 2) + (y+1) = 20.222(2)将 x= 3 2y 代入方程 x + y + x 6y+ m= 0,得 5y 20y+ 12+ m= 0.12+ m 设P(x1,y1), Q( (X2,y2)，由根与系数的关系可知y1+y2=4 y1y2=5 .OP 丄 OQ,.X1X2+ y1y2= 0，而 X1= 3 2y1, X2= 3 2y2,.X1X2= 9 6(y1+ y2) + 4y1y2=27 +

13、 4m2r =|15 5|= 4 5,22+ 12r= 2 5,=r = 25,|2a+ b+ 15|2a+ b 5|这是不可能的，所以这样的点P 是不存在的.27+ 4m 12+ m故 5+5 = 0，解得 m = 3.此时 0,圆心坐标为 一 2, 3，半径为 2.2 28 .已知 P 是直线 3x+ 4y+ 8= 0 上的动点，PA、PB 是圆 C: x + y 2x 2y+ 1 = 0 的两 条切线，A、B 是切点.求四边形 PACB 面积的最小值;(2)直线上是否存在点 P,使/ BPA= 60若存在，求出 P 点的坐标；若不存在,由.解：( (1)如图，连接 PC,由 P 点在直线 3x + 4y+ 8= 0 上，可设1所以 S四边形PACB= 2SAC=2X|AP|X|AC|=|AP|.2 2 2 2因为 |AP| = |PC