含参数导数问题分类讨论

1、含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、 数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x恒成立，只须求出f X max，则a f X max ；若a f X恒成立，只须求出f X min，则a f

2、 X min，转 化为函数求最值.例1、已知函数f (x) Xln x. (I)求f(X)的最小值；(n)若对所有x 1都有f (x) ax 1,求实数a的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论.例2.已知a是实数，函数f(x) x2(x a).(I)若f (1) 3,求a的值及曲线y f(x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n)求f (x)在区间0 , 2上的最大值.三、导函数为0是否存在，分类讨论策略

3、求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，涉及到二次方程 问题时，与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令 =0,求分点，从而引起讨论.例3、已知函数，讨论在定义域上的单调性.四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在 定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 .所以必须分类，通过令几个根相等 求分点，从而引起讨论.2 3(1)36例4、已知m 0 ,讨论函数f (x) mX一3(m 1)x 3m 6的单调性.e练习求导后，考虑导函数为零是否有实根

4、（或导函数的分子能否分解因式）一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。,从而引起讨论。，但不知导函数为零的,导函数为零的实根，,x 11. 08广东（理） 设k R ,函数f （x）1 x1,x,F(x)1f (x) kx, x R,试讨论函数F（x）的单调性。2. （08浙江理）已知a是实数，函数f x JI x a（i）求函数f x的单调区间；（n）设g a为f x在区间0,2上的最小值。（i）写出g a的表达式；（ii）求a的

5、取值范围，使得 6 g a 2。3 （07天津理）已知函数 f x2ax a2 1x2 1R ,其中a Ro（i）当a 1时，求曲线y f x在点2, f 2处的切线方程;（n）当a 0时，求函数f x的单调区间与极值。4 （07高考山东理改编）设函数2x bln x 1 ,其中b 0 ,求函数f x的极值含参数导数的解题策略例1、解：(I)略.(n) .对所有 x 1 都有 f(x) ax 1,1 对所有x 1都有xln x ax 1,即a In x -.x1 , 记g(x) In x , (x 0),只帚T a g(x) min . x人11令 g'(x) 0,解得 x 1. x

6、xg' (x) 0 x 1, g' (x) 00 x 1.当x 1时，g(x)取最小值g(1) 1.a 1.即a的取值范围是 a a 1.例2.解：(I)略.(II )令 f '(x)0 ,解得 x10, x22a3当红3当空30,即a 0时，f (x)在0, 2上单调递增，从而fmaxf (2) 8 4a .2时，即a 3时，f (x)在0, 2上单调递减，从而fmaxf (0) 0.当0 2a 2,即0 a 3, f(x)在02a上单调递减， 在空2上单调递增,3'33 '从而8 4a,0 a 2.max0,2 a 3.8 4a, a 2.综上所述，

7、fmaX0, a 2.a例3、 解：由已知得f (x) 2x 1 一 x2x2 x a , ,(xx1)(1)当(2)当1 , 一 . . 一1 8a 0, a 时，f (x) 0恒成立，f (x)在(0,)上为增函数.81 .1 8a 0, a 时，81111 8a一时，820, f(x)在上为减函数，f (x)在(0,1 J； 8a,1 J； 8a,)上为增函数,1 、18a2)当a 0时，故f(x)在0, 1 " 8a上为减函数,2f (x)在,+°°)上为增函数.一1 一 .一.综上，当a 时，f(x)在(0,)上为增函数.8当0 a 1时，f(x)在1

8、1 8a,1 W 8a上为减函数,822f(x)在(0,1亘,1二8a,)上为增函数， 22当a 0时，f (x)在(0,上为减函数，f (x)在,十上为增函数.2小 mmx (m 3)x 32，、-例 4、斛： f (x) x,设 g(x) mx (m 3)x 3,令 g(x) 0 ,e3.倚 x1一 , x21 .m1)当 0 m 3 时，x x2,在区间(，二)，(1,)± g(x) 0,即 f (x) 0,m3、.所以f (x)在区间(,一),(1,)上是减函数； m,一、3_ _ _ 一 _,一、3在区间(士，1), g(x) 0,即f(x) 0,所以f(x)在区间(*，1

9、)上是增函数； mm2)当 m 3 时， x2 ,在区间(，1),(1,)±g(x) 0,即 f(x) 0,又 f(x)在x 1处连续，所以f(x)在区间(，)上是减函数；33)当 m 3时，x1 x2,在区间(,1),( 一，)上 g(x) 0 ,即 f (x) 0 , m3所以f(x)在区间(，1),(±,)上是减函数；m33 在区间(1,一)上，g(x) 0,即f (x) 0,所以f(x)在区间(1,一)上是增函 mm解：F (x) f (x) kx练习1.kx,x 1,1 x,F '(x),x 1 kx, x 121 k 1 x-,x 11 x1 2k、x

10、1，x 12 x 1考虑导函数F '(x) 0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。(一)若 x 1,则 F'(x)21 k 1 x21 x由于当k0时，F'(x) 0无实根，而当k 0时，F '(x) 0有实根,因此，对参数k分k0和k 0两种情况讨论。(1)当k 0时，F '(x) 0在(，1)上恒成立，所以函数F(x)在(，1)上为增函(2)当 k 0 时，F '(x)21 k 1 x21 x11k增函数。由 F'(x) 0,得 x1由 F'(x) 0,得 111k11 x1 k，x21,k1-,因为k .k1 ;由

11、F '(x)因此，当k 0时，函数F(x)在(1,1 广)上为减函数,.k(二)若 x 1 ,则 F '(x)2.x 1当k 0时，F '(x)0有实根，因此，对参数(1)当 k0时,0 ,所以 x11x2。1Jk在(11疝:，助上为由于当k 0时，F'(x) 0无实根，而k分k 0和k 0两种情况讨论。F '(x) 0在1,上恒成立，所以函数 F(x)在1, 上为减函当k 0时，F '(x)k x 1 -2k,x 1由 F'(x) 0,得 x 11,一，；由 F '(x) 0,得 1 x 1 4k214k2一， ，一，一，、，1

12、,1因此，当k 0时，函数F(x)在1,1 -±-上为减函数，在 1 4k24k2为增函数。综上所述:(1)当k 0时，函数F(x)在(1,1 尸)上为减函数, k在(11，一去，1)上为增函数,在1,上为减函数。 当k 0时，函数F(x)在(，1)上为增函数，在 1,上为减函数。(3)当k 0时，函数F(x)在(1，一 一 ，,1)上为增函数，在1,1 一2上为减函数，在4k11 -,上为增函数。4k2I ) 函数的定义域为 0,f x3 x3x a32.x 2,xax 0,由 f(x) 0 得 x 一。3a'一考虑一是否洛在导函数f (x)的定义域0,3两种情况进行讨论。

13、内，需对参数a的取值分a 0及a 0(1)当 a 0 时，则 f (x) 0在 0,上恒成立，所以 f x的单调递增区间为0,。 当a 0时，由f'(x) 0,得x与；由f'(x) 0 ,得0 x旦。 33因此，当a 0时，f x的单调递减区间为0,a , f x的单调递增区间为3（n） （ i）由第（i）问的结论可知:0时,在0,上单调递增，从而 f x在0,2上单调递增,所以0。0时,上单调递减，在a,上单调递增，所以:30,26时,x 在 0,3上单调递减，在 -,2上单调递3增,2a 'a2a, 3ao92,0,2上单调递减，所以综上所述,0,若a 0,无解;若

14、0 a 6,由2a3 , 、2 23,02。2a32解得3若a 6,由6衣22解得6综上所述，a的取值范围为33，,2。曲线y2,f处的切线方程为6x 25 y 32 0。（n）由于a 0,所以f2ax2 122x 2ax ax2 1 2i12a x a x -2- a。x 1(1)区间1由f x 0,得X1-,X2 a。这两个实根都在定义域 R内，但不知它们之间的大a小。因此，需对参数 a的取值分a 0和a 0两种情况进行讨论。当a 0时，则为x2。易得f x在区间a,内为减函数，在在X2(2)间(a,1一，,，一，一，-,a为增函数。故函数f x在x1 aa处取得极大值f a当a 0时，则

15、x11、, 一）为减函数。a故函数X2a处取得极大值4、解：由题意可得fX2。易得ff X 在 X11。的定义域为1,的分母X1在定义域1,方程2x22x b(1)当4 8b0,即所以g x22x2 2x b在 1,上恒成立，则f调递增,从而函数f X在4 8b 0,即 b实根:X11,1 2b2,x21 一，一 一处取得极小值a在区间（，a）,1，一处取得极小值f aa2;函数(-,a0是否有实根，需要对参数1,、仙 2一时，方程2x 2x b2x 0在 1,上恒成立,1,上无极值点。12_,一时，方程2x 2x b2）内为增函数,a2;函数f在区2x2 2x b 一,f xb的取值进行讨论。0无实根或只有唯一根这两个根是否都在定义域1,i ） 当b 0时，X1所以函数f X在 1,上单0 ,即f x0有两个不相等的内呢？又需要对参数 b的取值分情况作如下讨论:1. 1 2b /112b,一； 142 ； 122由此表可知：当b 0时，f X有唯一极小值点x21 、J 2b2ii1 112b)当 0 b 一时， x1 221,X21,所以2Xi1,