电路分析的基本方法1学习教案

1、会计学1电路分析电路分析(fnx)的基本方法的基本方法1第一页，共83页。图的概念(ginin)：对于一个由集中参数元件组成的电网络，若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓扑图，简称为图。U s1 1U s3 3R1R2R3I2I1I31 12 23 3第1页/共83页第二页，共83页。实际(shj)电路图对应(duyng)的线图线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际(shj)电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。R2R5R4R1R3R6U s1 11 12 23 36 64 45 5第2页/共83页第三页，共83页。 如果线图各

2、支路规定了一个方向（用箭头表示，一般取与电路图中支路电流方向一致），则称为有向图。回路：由若干支路组成的闭合路径。网孔回路：回路内无任何支路，则此回路称为网孔回路。 b 表示支路数 n 表示节点(ji din)数 l 表示网孔数连通平面不可分图的网孔数为 l = b-n+1有向图1 12 23 36 64 45 5第3页/共83页第四页，共83页。2 23 34 45 51 1 当图的任二节点间至少存在一条(y tio)通路时，称为连通图，否则为非连通图。非连通(lintng)图1 12 23 34 45 56 68 810109 97 7 如果图能无任何交叉地画在平面上，则称为平面图，否则为

3、非平面图。非平面图 连通图任二个节点之间至少存在一个回路，则称为不可分图，否则为可分图。第4页/共83页第五页，共83页。 树T是图G的一个子图，它包含所有节点与一些(yxi)支路的集合。树T满足下面三个条件：T是连通的；包含G的全部节点；不包含回路。1 12 23 3有向图G树T11 12 23 34 45 56 62 24 45 5树T2 有向图树的选择是不唯一的，一般(ybn)可选出多个树。第5页/共83页第六页，共83页。1 12 23 31 12 23 34 45 56 6树T所包含的支路称为(chn wi)树支；（图中支路1、2、3）图G中其余的支路称为(chn wi)连支；（图中

4、支路4、5、6）树支数 = n 1 (节点数减1）连支数=支路数 树支数 = b n1 =（网孔数）第6页/共83页第七页，共83页。1 12 23 34 45 56 61 12 23 34 41 12 23 35 51 12 23 36 6回路(hul)1回路(hul)2回路3单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。此回路称为单连支回路。回路方向与连支一致。如选1、2、3为树支，则有连支4、5、6组成的单连支回路如下第7页/共83页第八页，共83页。1 12 23 36 64 45 5 选定了有向图的树，则单连支回路的路径与方向(fngxing)也唯一确定了。1

5、12 23 34 45 56 6选1、4、6为树的单连支回路(hul)。选1、2、3为树的单连支回路(hul)。第8页/共83页第九页，共83页。1 12 23 34 45 56 6CS1CS1CS2CS2CS3CS3割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足(mnz)移去该子集，连通图分为两部分；少移去其中任一条，图保持连通。树T：支路3、4、5为树支并进行割集。 割集用符号CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电流(dinli)代数和为零。 如图，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、6支路，割集CS3包含1、4、6支

6、路。第9页/共83页第十页，共83页。1 12 23 34 45 56 6CS1CS1CS2CS2CS3CS3 选定(xun dn)一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。如图，选1、2、3支路(zh l)为树支，则单树支割集如图所示。割集1包含的支路(zh l)：1，4，6割集2包含的支路(zh l)：2，4，5，6割集3包含的支路(zh l)：3，5，6第10页/共83页第十一页，共83页。本节主要介绍(jisho)网络图论的基本知识，需掌握的主要知识点有： 节点、支路、回路、网孔 有向图 树、树支、连支、单连支回路 割集、单树支割集 网孔回路数

7、 = 单连支回路数 = 支路数节点数1 第11页/共83页第十二页，共83页。 以 支 路 电 流 作 为 未 知 量 ， 直 接 应 用(yngyng)KCL和KVL建立电路方程，然后求解所列的方程组解出各支路电流，这种方法称为支路电流法。 电路节点数为n，支路数为b. 为求b个支路电流，必须有b个独立方程。 下面介绍支路电流法求支路电流的步骤：第12页/共83页第十三页，共83页。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I5I4R5R6I6 如图所示电路，共有4个节点，6条支路，设电源(dinyun)和电阻的参数已知，用支路电流法求各支路电流。1. 对各支路、节点编号，并标出支

8、路电流的参考方向。第13页/共83页第十四页，共83页。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I5I4R5R6I62. 根据基尔霍夫节点(ji din)电流定律，列出节点(ji din)电流方程：节点(ji din)1：-I1-I2+I3=0节点(ji din)2：+I2+I4+I5=0节点(ji din)3： -I3-I4+I6=0节点(ji din)4： +I1-I5-I6=0注意：节点(ji din)4的电流方程为其余3个方程的线性组合，此方程为非独立方程，在计算时应删除。在用支路法计算时，只需列出 n-1 个独立的节点(ji din)电流方程。第14页/共83页第十五页，

9、共83页。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I5I4R5R6I61 12 23 33. 根据基尔霍夫回路电压定律，列出回路电压方程： 建立回路电压方程时，可选取(xunq)网孔回路或单连支回路。电路中无电流源支路时，可选择网孔回路。 图中设定三个网孔回路的绕行方向，列出回路电压方程：回路(hul)1：I1R1US1I2R2I5R5=0回路(hul)2：I3R3US3I4R4I2R2=0回路(hul)3：I4R4I6R6I5R5=0网孔回路电压网孔回路电压(diny)方程必为独立方程。方程必为独立方程。网孔回路电压网孔回路电压(diny)方程数方程数=b（支路数）（支路数）n（

10、节点数）（节点数）1第15页/共83页第十六页，共83页。4. 由n-1个节点电流(dinli)方程和b-n+1个网孔电压方程（共b个方程）可解出b个支路电流(dinli)变量。回路(hul)1：I1R1US1I2R2I5R5=0回路(hul)2：I3R3US3I4R4I2R2=0回路(hul)3：I4R4I6R6I5R5=0节点1：-I1-I2+I3=0节点2：+I2+I4+I5=0节点3： -I3-I4+I6=0由上面的六个方程可解出六个支路电流变量。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I5I4R5R6I6第16页/共83页第十七页，共83页。例1. 图示电路(dinl)，

11、US1=10V，US3=13V，R1=1 ，R2=3 ，R3=2，求各支路电流及电压源的功率。用支路电流法解题(ji t)，参考方向见图I1I2I3=0I1 R1US1 I2 R2=0I2 R2I3R3US3=0U s1 1U s3 3R1R2R3I2I1I31 12 2代入数据得： I1 I2 I3 =0I1 103 I2 =03I2 2 I3 13=0解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A 电压源US1的功率：PUS1=US1 I1 =101=10W (发出） 电压源US3的功率：PUS3=US3 I3 =132=26W (发出）第17页/共83页第十八页，共83页。例2.

12、图示电路(dinl)，US=7V，R1=1 ，R2=3 ，IS=1A。求各支路电流及电流源的功率。解：取网孔回路方向如图，列节点电流方程和网孔1的电压方程如下R1R2UsISI1I21 12 2（外围(wiwi)有电流源支路） 节点电流方程 I1I2IS=0 网孔1电压方程 I1R1I2R2US=0第18页/共83页第十九页，共83页。代入数据(shj)得 I1I21=0 解得 I1=1.5A I13I27=0 I2=2.5A电流源功率为 PIS=(I2R2) IS=7.5W (发出功率)R1R2UsISI1I21 12 2 网孔2因为存在电流源，无法列写电压方程(fngchng)。实际上由于

13、电流源支路的电流已知，支路电流变量数减少一个，该网孔电压方程(fngchng)无需列写。第19页/共83页第二十页，共83页。1 12 23 34 45 56 65) 电路(dinl)中存在电流源支路时，用支路电流法解题时电压方程的建立可选单连支回路。在选取单连支回路时，电流源支路选为连支。如选1,5,6支路为树支，则可列出回路1和2的电压方程U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I5I4R5R6I6IS21 12 23 3回路(hul)1：I3R3US3I6R6I1R1US1=0回路(hul)2：I4R4I6R6I5R5=0第20页/共83页第二十一页，共83页。单连支回路3为电流源连

14、支，因此(ync)该回路不列电压方程。U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I5I4R5R6I6IS21 12 23 3由上面2个单连支回路电压(diny)方程和3个节点电流方程即可解出5个支路电流变量。节点电流(dinli)方程为 -I1-IS2+I3=0 IS2+I4+I5=0 -I3-I4+I6=0第21页/共83页第二十二页，共83页。R1Us1 1IS2Us2 2R4IS4R5I1I5R3I3例3. 图示电路，US1=1V，US2=5V，IS2=2A，IS4=4A，R1=1 ，R3=3 ，R4=4，R5=5 ，求各支路(zh l)电流及电流源的功率。解：支路及节点(ji din

15、)见图，对节点(ji din)1，2列电流方程 I1IS2I3=0 I3IS4I5=0第22页/共83页第二十三页，共83页。R1Us1 1IS2Us2 2R4IS4R5I1I5R3I3电路中存在两条电流源支路，选取支路1，3为树支，则连支5的单连支回路电压(diny)方程为I5R5I1R1US1I3R3=0 代入数据(shj)得： I12I3=0 I34I5=0 5I5I113I3=0解得 I1=3.89A I3=1.89A I5=2.11A第23页/共83页第二十四页，共83页。电流源IS2、 IS4两端的电压UIS2、 UIS4为UIS2=US1R1I1US2=11(3.89)5=0.1

16、1VUIS4=R5I5R4IS4=52.1144=26.55V电流源IS2、 IS4的功率为PIS2= UIS2IS2=0.22W (吸收(xshu)功率）PIS4= UIS4IS4 106.2 W (发出功率）R1Us1 1IS2Us2 2R4IS4R5I1I5R3I3U Is2 2U Is4 4第24页/共83页第二十五页，共83页。例4. 图示电路，US1=1V，R1=1 ，R2=2 ，R3=3，=3，求各支路(zh l)电流。解：电路中存在一个电压控制电压源（VCVS），对于存在受控源电路，用支路电流法解题时，受控源先当作(dn zu)独立电源，列节点和网孔方程 I1I2I3=0 I1

17、R1I2R2US1=0 I2R2 U1I3R3=0 补充受控源控制变量关系式 U1=R1I1Us1 1R1R2R31 12 2I1I2I3U1 1U1 1第25页/共83页第二十六页，共83页。代入数据(shj) I1I2I3=0 I12I21=0 2I23U13I3=0 U1=I1解得 I1=1A，I2=0A，I3=1AUs1 1R1R2R31 12 2I1I2I3U1 1U1 1第26页/共83页第二十七页，共83页。1） 支路电流法是以支路电流为变量，应用KCL和KVL列出节点(ji din)和回路方程求解电路的方法。 2）对n-1个节点(ji din)列KCL方程，可得n-1个独立方程

18、， 对b-n+1条回路列KVL方程，可得b-n+1个独立方程，共得b个线性方程组。解此方程组得b个支路电流变量。3）在选择回路时，如果电路无电流源，则可选择网孔回路；如果存在电流源，则选择单连支回路，电流源支路选为连支。 4）如果存在受控源，在列方程时把受控源当作独立电源，然后列补充方程，把受控源的控制变量用支路电流来表示。第27页/共83页第二十八页，共83页。 回路电流法是以选定的回路电流作为变量来分析计算电路的一种方法； 当电路存在电流源时（不全在外部周界上），用回路电流法解题比网孔法方便； 回路电流法在选择(xunz)独立回路时，一般选择(xunz)单连支回路，通过选择(xunz)特定

19、的树可简化存在电流源电路的计算； 选择(xunz)单连支回路电流作为求解变量，建立的回路电压方程必定是独立方程； 网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况。第28页/共83页第二十九页，共83页。1 12 23 34 45 56 6 如图电路(dinl)，用回路电流法求各支路电流。1）选择回路电流并标出方向。 回路的选择要保证能建立足够数量的独立方程来解出电路(dinl)变量。 网孔回路和单连支回路都为独立回路。 选择单连支回路时，具有电流源的支路选为连支。 如图电路(dinl)，选择2，4，6支路为树支，则单连支回路的路径和方向如图所示。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R

20、6I6Is5IL1IL2IL3第29页/共83页第三十页，共83页。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R6I6Is5IL1IL2IL3（R2R3R4）IL1（R2R4）IL2R4IL3 = US3 自回路压降 互回路压降代数和 = 回路电压(diny)源代数和 上式 1. 第一部分是自回路电流产生的压降。 2. 第二部分是其余回路电流在该回路上产生的电压(diny)降, 方向与主回路电流一致时为正，反之为负。 3.等式右边是回路中所有电压(diny)源的电压(diny)升代数和。 确定回路电流和参考(cnko)方向以后，根据KVL，可建立各回路的回路电压方程。回路1 的电

21、压方程为第30页/共83页第三十一页，共83页。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R6I6Is5IL1IL2IL3 同理可写出回路2 的回路电压方程 （R1R2R4R6）IL2（R2R4）IL1（R4R6）IL3 = US1 回路3中有电流源存在(cnzi)，由于选择支路5为单连支回路，因此回路电流即为该连支电流 IL3 = IS5列写回路电压方程时应注意(zh y)：1. 选 b(n1) 个独立回路电流；2. 列写互回路压降时注意(zh y)不要漏写；3. 方程右边电压源是以电压升为正。4. 电流源支路的回路电压方程无需列写，可直接写出回路电流值。第31页/共83页第三

22、十二页，共83页。 由上面(shng min)三个方程即可解出三个回路电流 IL1，IL2，IL3。 由回路电流可写出各支路电流为 I1 = IL2 I2 = IL1IL2 I3 = IL1 I4 = IL1 IL2 IL3 I5 = IL3 = IS5 I6 = IL2 IL3U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R6I6Is5IL1IL2IL3第32页/共83页第三十三页，共83页。R1R4R3R2IS5I3I1I4I2IL1IL2IL3IS6例1 已知R1=1 ，R2=2，R3=3 ，R4=4 ，IS5=6A，IS6=6A，用回路(hul)电流法求各支路电流。解：电路包

23、含两个电流源，选支路1、3、4为树支，回路电流及方向(fngxing)如图，此时只需列一个回路方程 IL1=IS2， IL2 = IS6 (R1R2R3)IL3R1 IL1 R3 IL2 = 0 代入数据解得 IL3 = 2A第33页/共83页第三十四页，共83页。R1R4R3R2IS5I3I1I4I2IL1IL2IL3IS6各支路(zh l)电流为 I1 = IL1IL3 =8A I2 =IL2 = 2A I3 = IL2 IL3 = 4A I4 = IL1IL2 =12A 从该例题可看出，当电路包含较多的电流源支路(zh l)时，用回路电流法解题较方便。第34页/共83页第三十五页，共83

24、页。(含受控源电路(dinl)分析)例2 已知R1=R3=R4=R6=2 ，US4=US6=2V，IS2=1A，g=0.5,用回路(hul)电流法求各支路电流。Us4 4Us6 6IS2gU6 6R6R1R3R41 12 23 3U6 6I1I4I5解：1) 对于包含受控源的电路，在用回路电流法解题时，先把受控源当作独立电源来列写回路电压方程。 该电路包含两个电流源支路（一个独立源和一个受控源），因此选择支路3、4、6为树支，三个回路电流及参考方向见图所示。第35页/共83页第三十六页，共83页。Us4 4Us6 6IS2gU6R6R1R3R41 12 23 3U6I1I4I5列回路电压方程(

25、fngchng)如下 IL1 = IS2 IL2 = gU6(R1R4R6)IL3R6IL1R4IL2 = US6US4 2) 把受控源的控制变量用回路(hul)电流来表示（列补充方程） U6 = R6（ IL1IL3）代入数据得 6IL3 2120.52（1 IL3）= 0 IL3 =0.5A， IL2 = gU6 = 0.5A第36页/共83页第三十七页，共83页。U3 3R3Us4 4R4U3 3I5R5R2I5R5I1I41 12 23 3例3 已知R2=2，R3=3 ，R4=4 ，R5=5 , R6=6 , =2, US4=4V，用回路(hul)电流法求 I1 和 I4。解：该电路包

26、含受控源，取回路(hul)电流及参考方向如图，列写各回路(hul)电压方程 IL1 = I5 (R2R3)IL2R2IL1R3IL3 = U3 (R3R4R5)IL3R5IL1R3IL2 = US4第37页/共83页第三十八页，共83页。U3 3R3Us4 4R4U3 3I5R5R2I5R5I1I41 12 23 3列补充方程，把控制变量U3 和 I5 用回路电流来表示(biosh)U3 = R3(IL3IL2)I5 = IL1IL3代入数据得 IL1 = 2I5, 即 IL1 = 2 IL3 5IL22IL13IL3 = 2U3 12IL35IL13IL2 = 4 U3 = 3 (IL3IL

27、2) I5 = IL1IL3解得 IL2 = 0.8 A, IL3 = 0.8A, IL1 = 1.6A I1 = IL2 = 0.8 A, I4 = IL3 = 0.8A第38页/共83页第三十九页，共83页。1.回路电流法以回路电流为变量来求解电路;2.独立回路的选择一般可选取单连支回路,电流源支路选为连支;3.受控源在列电路方程时先作为独立源处理,然后把控制变量表示(biosh)为回路电流变量;4.当电路存在较多电流源时,用回路电流法解题较方便.第39页/共83页第四十页，共83页。 支路电流法直接应用KCL，KVL解电路，很直观，其电路方程个数为支路数b。但是当支路数很多时，必须建立b

28、个方程，求解工作量颇大。网孔电流法分析解决问题的出发点是：对于电路中实际流动的支路电流，用一组假设的网孔电流来替代。以网孔电流作为(zuwi)独立变量求解，然后求取支路电流，这种方法称为网孔电流法。 第40页/共83页第四十一页，共83页。U s1 1R1R2R3U s3 3R4R6Im1Im2Im3U s5 5支路(zh l)电流与网孔电流的关系： I1=IM2， I2=IM1IM2， I3=IM1 I4=IM3-IM1， I5=IM2IM3， I6=IM3U s1 1R1R2R3U s3 3R4R6U s5 5I3I2I4I6I5I1 如图所示，实际流动的支路电流(dinli)I1I6，用

29、一组假设的网孔电流(dinli)Im1、 Im2 、 Im3来替代。以网孔电流(dinli)作为独立变量求解，然后求取支路电流(dinli)。 第41页/共83页第四十二页，共83页。 如图所示电路,用网孔电流法求各支路电流。1）选定各网孔电流的参考方向，一般参考方向可选为一致（全为顺时针或逆时针）。2）根据KVL，列写各网孔回路(hul)的电压方程。网孔1：(R2R3R4) Im1R2Im2R3Im3=Us3 自回路电流(dinli)压降 互回路电流(dinli)压降 回路电压源电压升U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R6I6Im1Im2Im3U s5 5I5R5第42

30、页/共83页第四十三页，共83页。网孔1：(R2R3R4) Im1R2Im2R3Im3=Us3 自回路电流压降 互回路电流压降 回路电压源电压升网孔回路电压方程可分为三部分。第一部分为本身网孔电流产生的压降。第二(d r)部分为相邻网孔电流在该回路上产生的压降，互回路电流方向与网孔回路电流参考方向一致时为正，反之为负。列写互回路时注意不要漏写。第三部分为回路电压源代数和，以电压升为正，反之为负。 第43页/共83页第四十四页，共83页。以此规律(gul)可列写出另两个网孔的方程：网孔2： R2Im1 (R1R3R5) Im2R5Im3=Us1Us5 网孔3：R4Im1R5Im2 (R4R5R6

31、) Im3 =Us5U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R6I6Im 1Im 2Im 3U s5 5I5R5第44页/共83页第四十五页，共83页。U s1 1R1I1R2I2R3I3U s3 3R4I4R6I6Im1Im2Im3U s5 5I5R5 由上面三个方程(fngchng)可解出三个网孔回路电流变量 Im1，Im2，Im3。 支路电流为： I1= Im2 I2= Im1 Im2 ，I3= Im1 I4= Im3 Im1 ，I5= Im2 Im3 I6= Im3第45页/共83页第四十六页，共83页。例1. 图示电路(dinl)，US=27V，Is=2A，R1=1

32、，R2=2 ，R3=3， R4=4 ，R5=5 ，R6=6， 求各支路电流。解：电路中最外围支路存在一个电流(dinli)源，取网孔回路如图，对网孔1和2列回路电压方程（R2R3R6)Im1R3Im2R2Is=Us (R1R3R4)Im2R3Im1R4Is=Us网孔回路3的回路电流可直接写出 Im3=Is =2R6R1R2R4R5ISI6I1I3R3I2I3Im1Im2Im3Us第46页/共83页第四十七页，共83页。R6R1R2R4R5ISI6I1I3R3I2I3Im1Im2Im3Us代入数据(shj)得11Im13Im24=27 8Im23Im18=27解得 Im1=1A, Im2=4A,

33、 Im3=2A支路电流(dinli)为I1=Im2=4A, I2=Im3Im1=3A, I3=Im2Im1=5AI4=Im3Im2=2A, I5=Im3=2A, I6=Im1=1A注意：电路的最外围支路存在电流(dinli)源时，仍旧可用网孔电流(dinli)法求解支路电流(dinli)。第47页/共83页第四十八页，共83页。（包含(bohn)受控源电路）例2. 图示电路，US3=7V，R1=R2=1 ，R4=2， R5=4，a =2，求各支路(zh l)电流。R1R2R4R5U2 2Us3 3I3I5I4I2I6I1U2 2解：取网孔回路参考方向为顺时针方向，对于受控电源，在列网孔回路电压

34、方程时，先作为独立电源处理，然后再把受控变量表示为网孔电流。 1）列各回路电压方程 (R1R2)Im1R2Im2 = U2 2 R2R2Im1Im1(R2(R2R4)Im2R4)Im2R4R4Im3 = Us3Im3 = Us3 R4R4Im2Im2(R4(R4R5) =R5) =U2 2第48页/共83页第四十九页，共83页。R1R2R4R5U2 2Us3 3I3I5I4I2I6I1U2 22）方程中受控源控制变量U2表示为网孔电流(dinli) U2=R2(Im2Im1)代入数据得 2Im1Im2=2U2 Im13Im22Im3=7 2Im26Im3=2U2 U2= Im2Im1解得解得

35、Im1=3A, Im2=4A, Im3=1A支路支路(zh l)电流电流 I1=Im1=3A, I2=Im2Im1=1A, I3=Im2=4A I4=Im2Im3=3A, I5=Im3=1A, I6=Im3Im1=2A第49页/共83页第五十页，共83页。 网孔电流法以电路的网孔电流作为变量求解(qi ji)电路，比支路法方程个数减少；网孔电压方程的一般内容为： 自回路电流压降 相邻回路电流压降之和 = 回路电压源电压升之和 受控源在网孔电流法列方程时先当作独立电源处理，然后把控制变量表示成网孔电流变量（补充方程）； 当电路中存在电流源时（不全为最外围支路），网孔法分析不方便（用回路电流法）。

36、第50页/共83页第五十一页，共83页。 以节点电压作为独立变量，建立节点电压方程，求解(qi ji)节点电压再确定支路电流，称为节点电压法。第51页/共83页第五十二页，共83页。1）节点电压：设电路有n个节点，取其中任一节点作为参考节点，令参考节点的电位为零，则其余(qy)各节点相对于该参考点的电位（该节点与参考节点之间的电压降）就是节点电压。如图，选取(xunq)节点4为参考节点，则 节点1的电压U = U1， 节点2的电压 U = U5， 节点3的电压 U = U6，节点2和1之间的电压 U2= U U U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2U1U5U6

37、第52页/共83页第五十三页，共83页。3）在用节点电压法解题时，对于n个节点，因为已选定一个节点为参考点，则有n -1个独立节点电压变量，必须建立n -1个独立方程(fngchng)才可求解。 2）如果各节点(ji din)电压已经求出，则各支路电流便可确定。 如对于电流 I5，有 I5 = U /R5第53页/共83页第五十四页，共83页。如图电路，取节点4为参考(cnko)节点。则节点电压与支路电流关系为： U=Us1+I1R1 U=I5R5 U=I6R6 U U =I3R3 Us3如节点电压(diny)已知，则可计算支路电流，对于I1该支路电压(diny)为： UU = US1R1I1

38、 得 I1= (U Us1)/R1= G1(U Us1) U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2第54页/共83页第五十五页，共83页。同理，可写出其余各支路(zh l)电流 I3= G3 (U U Us3) I4= G4（U U ） I5= U/R5=G5 U I6= U/R6=G6 U U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2第55页/共83页第五十六页，共83页。U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2 节点电压方程的形式可由KCL方程导出，对于节点列写KCL方程 I1I2I3=0 代入用节点电压

39、表示(biosh)的各支路电流表达式：G1(U Us1) Is2 G3 (U U Us3)=0整理(zhngl)后得：U(G1G3) U G3=G1 Us1G3 Us3 Is2此式即为节点的节点电压方程第56页/共83页第五十七页，共83页。 U(G1G3) U G3=G1 Us1G3 Us3 Is2上式是从节点电流方程出发推导出的节点电压方程，从此方程式可总结如下节点方程的列写规律：上式是从节点电流方程出发推导出的节点电压方程，从此方程式可总结如下节点方程的列写规律：1）方程第一项为主节点电压）方程第一项为主节点电压U与主节点相连的各支路电导之和的乘积。由于支路与主节点相连的各支路电导之和的

40、乘积。由于支路2中电流源中电流源Is2为理想电流源，内阻为为理想电流源，内阻为，故支路，故支路2电导为零，所以电导为零，所以U的系数的系数(xsh)中只有支路中只有支路1,3电导电导G1,G3之和。之和。 与主节点相连的各支路电导之和称为自电导，对于主节点记为与主节点相连的各支路电导之和称为自电导，对于主节点记为G11。自电导永远为正。自电导永远为正。 第57页/共83页第五十八页，共83页。U(G1G3) U G3 = G1 Us1G3 Us3 Is2 2）节点通过支路3与主节点相邻(xin ln)，主节点与相邻(xin ln)节点之间相联接的各支路电导之和称为互电导。节点和之间只有支路3相

41、连，因此相邻(xin ln)节点的互电导为G3。 节点电压方程中第二项为相邻(xin ln)节点电压U与互电导乘积的负值。 注意：节点也与主节点相邻(xin ln)，但由于其互电导为零（电流源支路），因此式中未出现该项。 节点电压方程中应包含所有与主节点相邻(xin ln)的节点电压与互电导的乘积项（其值恒为负）。第58页/共83页第五十九页，共83页。U(G1G3) U G3 = G1 Us1G3 Us3 Is2 3）节点电压方程(fngchng)中右边第一项为与主节点相连的各支路上的独立电压源与该支路电导的乘积之代数和，电源正极性指向主节点时为正，反之为负。U s1 1R1I1R3I3U

42、s3 3R4I4R6I6I5R5Is2第59页/共83页第六十页，共83页。U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2U(G1G3) U G3 = G1 Us1G3 Us3 Is2 4）节点电压方程中右边第二项为与主节点相连的各支路上(l shng)的独立电流源代数和，电流源的电流流入主节点时为正，反之为负。第60页/共83页第六十一页，共83页。U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2可见每个节点电压方程(fngchng)包含四个部分，据此可分别写出节点2和3的电压方程(fngchng)为：节点(ji din)2 ： （G4G5)UG

43、4 U = 0节点(ji din)3： （G3G4G6) UG3 UG4 U = G3US3第61页/共83页第六十二页，共83页。U(G1G3) U G3=G1 Us1G3 Us3 Is2（G3G4G6) UG3 UG4 U = G3US3（G4G5)UG4 U = 0U s1 1R1I1R3I3U s3 3R4I4R6I6I5R5Is2 由三个节点电压方程(fngchng)，即可解出三个节点电压，然后根据节点电压和支路电流的关系求出支路电流。第62页/共83页第六十三页，共83页。例1 已知R11=R12=0.5，R2=R3=R4=R5=1 ，US1=1V，US3=3V，IS2=2A，IS

44、6=6A，用节点电压(diny)法求各支路的电流。解：取节点(ji din)3为参考节点(ji din)，列出节点(ji din)1和2的电压方程 1321111111() 1 ()2()1112343411123SSSUUUUIRRRRRRRRRR11Us1 1IS2R12R3Us3 3R4R5IS6I5I1IS4I3R2注意：节点1 的自电导中没有包含 项，尽管该支路有电阻R2，但电流源内阻为无穷大，该支路的总电导为零。电流源支路中串联电阻在列节点方程时不起作用。21R第63页/共83页第六十四页，共83页。R11Us1 1IS2R12R3Us3 3R4R5IS6I5I1IS4I3代入数据

45、整理得3U12U2 = 43U22U1 = 9解得节点(ji din)电压为U1 = 1.2V, U2 = 3.8V各支路电流(dinli)分别为 I1=（US1U1）/ (R11R12) = (1-1.2)/(0.5+0.5)=0.2A I3=（U1U2 US3 ）/ R3 = 0.4A I4=（U1U2 ）/ R4 = 2.6A I5=U2/ R5 = 3.8A36111111()2() 1345343SSUUURRRRRRI第64页/共83页第六十五页，共83页。Us1 1Us4 4IS2R1R3R4I3 当电路只包含(bohn)两个节点时，若设节点2为参考节点，则节点1的电压表达式可由

46、节点法直接列写为：142141341111SSSUUIRRURRR齐尔曼定理(dngl)的一般表达式为:1iiiUsiIsiRiURi第65页/共83页第六十六页，共83页。Us1 1R1Us2 2R4Us4 4IS3R5I4例2 如图电路(dinl)，已知US1=4V，US2=4V，US4=10V，IS3=1A，R1=R4=R5=2 ，试求支路电流I4。解：该电路包含一条纯电压源支路，该支路的电导为无穷大，因此无法(wf)列写节点1 和3的节点电压方程。 取纯电压源支路的任一节点为参考节点。设节点3为参考节点，则节点1的电压可直接得到 U = US2 = 4V 第66页/共83页第六十七页，

47、共83页。列出节点2的电压方程(fngchng)为 (1/R41/R5)U U /R4 = US4/R4IS3代入数据解得 U = （US4/R4IS3 US2 /R4）/ (1/R41/R5) = 4V I4 = （ U U US4）/R4 = 1AUs1 1R1Us2 2R4Us4 4IS3R5I4注意：包含一条纯电压源支路的电路，在用节点电压法解题时，参考节点应选为纯电压源支路的任一节点上。这样(zhyng)纯电压源支路两端的节点均无需列写方程。第67页/共83页第六十八页，共83页。例3 已知R3=R4=4，=3，g=1S，IS2=0.5A，用节点电压(diny)法求I4的电流。（包含

48、（包含(bohn)受控源支路）受控源支路）1）对于受控源，在用节点法计算时，先把受控源当作独立电源来处理，按一般方法列节点电压方程。应用齐尔曼定理，令节点2为参考节点，则节点1的电压为U3 3gIS2I4R3r rI4U3 3R443231134SIgUIRRRU第68页/共83页第六十九页，共83页。U3 3gIS2I4R3r rI4U3 3R42）把受控源的控制变量转化为节点(ji din)电压表达式。I4=U/R4U3= U I4 = (1 /R4) U把上面(shng min)三式代入数据，得I4=U /R4 = U /4U3 = U /4解得 U =8V， I4 = U1/R4 =

49、2A43231134SIgUIRRR= 4331/ 241144IUU第69页/共83页第七十页，共83页。Us1 1Us2 2R5R4R6I2I4I6I5I1R3例4 已知R3=2，R4=4 ，R5=1 ，R6=6 ，US1=8V，US2=4V，用节点电压(diny)法求支路电流I1和I2 。解：取节点(ji din)4为参考节点(ji din)，则有 U = US1，U = US1US2 节点(ji din)2：111()345RRRU13RU14RU = 0代入数据解得第70页/共83页第七十一页，共83页。U = 8V，U = 12VU = 4VUs1 1Us2 2R5R4R6I2I4

50、I6I5I1R3I5 = U / R5 = 4AI6 = U / R6 = 2AI4 = （ U U ）/ R4 = 2AI1 = I5I6 = 6AI2 = I6 I4 = 4A第71页/共83页第七十二页，共83页。a ab bc cUs1 1R1R2R3gU3U3R5Us5 5例5 已知R1=1 ，R2=2，R3=3 ，R5=5 ，US1=1V，US5=5V，要使Uab = 0，试求g的值。解：用节点(ji din)法求解，设 b 点为参考节点(ji din)，列节点(ji din)方程51311111()()1251251UUUaUcgURRRRRRRss111111()()123121UsUcUaRRRRRR补充(bchng)方程 U3 = Uc第72页/共83页第七十三页，共83页。a ab bc cUs1 1R1R2R3gU3U3R5Us