矢量分析学习教案

1、会计学1矢量矢量(shling)分析分析第一页，共51页。：AAAAeA：AeAeAAA：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 ：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表矢量的几何表示示：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第1页/共51页第二页，共51页。zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeeez

2、AxAAyAzxyO第2页/共51页第三页，共51页。（1）矢量）矢量(shling)的加减法的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减两矢量的加减(ji jin)(ji jin)在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减矢量的加减(ji jin)(ji jin)符合交换律和结合律符合交换律和结合律矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：()()ABCABCABBA第3页/共51页第四页，共5

3、1页。（2 2）标量）标量(bioling)(bioling)乘矢量乘矢量（3）矢量）矢量(shling)的标积（点积）的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量矢量(shling)的标积符合交换律的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/ A BAB第4页/共51页第五页，共51页。（4）矢量）矢量(shling)的矢积（叉积）的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzy

4、xzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量用坐标分量(fn ling)表示为表示为写成行列式形式写成行列式形式(xngsh)为为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第5页/共51页第六页，共51页。（5 5）矢量的混合）矢量的混合(hnh)(hnh)运算运算CBCAC)BA(CBCAC)BA()BA(C)AC(B)CB(A C)BA(B)CA()CB(A 标量标量(bioling)三重积三重积 矢量矢量(shling)三重积三重积第6页/共51页第七页，共51页。 三维空间任意一点三维空间任意一点(y din)(y din

5、)的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为(chn wi)(chn wi)正交曲线坐标系；三条正交曲线称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为(chn wi)(chn wi)坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标轴；描述坐标轴的量称为(chn wi)(chn wi)坐标变量。坐标变量。1.2 三种常用三种常用(chn yn)的正交曲线坐标系的正交曲线坐标系z zx xy y),(111zrPrz1R第7页/共51页第八页，共51页。zeyexerzyx位置矢

6、量位置矢量面元矢量面元矢量(shling)线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第8页/共51页第九页，共

7、51页。dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量(shling)圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元第9页/共51页第十页，共51页。ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr ,r坐标坐标(zubio)变量变量 e ,e ,er坐标单位坐标单位(dnwi)矢量矢量rerr 位置矢量位置矢量dsindddr

8、ererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量(shling)球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元第10页/共51页第十一页，共51页。xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)坐标与坐标与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)与与球坐标系球坐标系zereeecossin

9、cossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系fxeyeeeoqrz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qqzeeree第11页/共51页第十二页，共51页。q如果物理量是标量，称该场为标量场。如果物理量是标量，称该场为标量场。q 例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为矢量场。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。q 例如：流速场、重力场、电场、磁场例如：流

10、速场、重力场、电场、磁场(cchng)(cchng)等。等。q如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。1.3 标量场的梯度标量场的梯度第12页/共51页第十三页，共51页。时变时变(sh bin)(sh bin)标量场和矢量场可分别表示为：标量场和矢量场可分别表示为： 、) t , z , y, x(u) t , z , y, x(F从数学上看，场是定义在空间区域从数学上看，场是定义在空间区域(qy)上的函数：上的函数：、)z ,y,x(u)z , y,x(F静态标量场和矢量场可分别静态标量场和矢量场可分别(fnbi)(fnbi)表示为：表示为：

11、1.3 标量场的梯度标量场的梯度第13页/共51页第十四页，共51页。C)z,y,x(u 常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场等值面充满场所在的整个空间；标量场等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 ：: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )第14页/共51页第十五页，共51页。00coscoscos|limMluuuuullxyz l0ul u(M)沿沿 方向增加；

12、方向增加； l0ul u(M) u(M)沿沿 方向方向(fngxing)(fngxing)减小；减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第15页/共51页第十六页，共51页。zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐

13、标系 ： ，其中，其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelu第16页/共51页第十七页，共51页。标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数标量场在某个方向上的方向导数(do sh)(do sh)，是梯度在该方向上的投影。，是梯度在该方向上的投影。 u)u(f)u(fuvvu)uv(vu)vu(uC)Cu(C0标量标量(bioling)(bioling)场的

14、梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第17页/共51页第十八页，共51页。PzyxP)zyx)(zeyexe( 22 zyx),(zyxeee)eyexe( 2222111 设一标量设一标量(bioling)(bioling)函数函数 ( x, y, z ) = x2 ( x, y, z ) = x2y2y2z z 描述了空间标量描述了空间标量(bioling)(bioling)场。求：场。求： (1) (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。

15、 (2) (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ozoyoxlcosecosecosee604560 第18页/共51页第十九页，共51页。表征其方向的单位表征其方向的单位(dnwi)(dnwi)矢量矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度(t d)之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为)eee()eyexe

16、(elzyxzyxl21222122 212 yx第19页/共51页第二十页，共51页。而该点的梯度而该点的梯度(t d)(t d)值为值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 对于给定的对于给定的P P 点，上述点，上述(shngsh)(shngsh)方向导数在该点取值为方向导数在该点取值为(1,1,1)12 21222Pxyl第20页/共51页第二十一页，共51页。)z , y,x(Fzd)z , y,x(Fyd

17、)z , y,x(Fxdzyx ：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度第21页/共51页第二十二页，共51页。问题：如何定量描述矢量场的大小(dxio)？ 引入通量的概念。 ndddSSFSF eSnddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF eS穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合是闭合(b h)的，则规定曲面的法向矢量由闭合

18、的，则规定曲面的法向矢量由闭合(b h)曲面内指向外，矢量场对闭合曲面内指向外，矢量场对闭合(b h)曲面的通量是曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddn第22页/共51页第二十三页，共51页。0通过闭合通过闭合(b (b h)h)曲面有净的曲面有净的矢量线穿出矢量线穿出0有净的矢有净的矢量量(shling(shling) )线进入线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面面(qmin)(qmin)的矢量的矢量线相等线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲

19、面内产生矢量场的源的关系。建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。第23页/共51页第二十四页，共51页。 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限(jxin)方法得到这一关系：方法得到这一关系：称为称为(chn wi)(chn wi)矢量场的散度。矢量场的散度。 散度是矢量散度是矢量(shling)(shling)通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。通过包含该点的任

20、意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。F VS)z , y,x(Flim)z , y,x(FSV d0第24页/共51页第二十五页，共51页。圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)坐标系坐标系)F(sinr)F(sinsinr)Fr(rrFr 11122zFF)F(Fz 球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系 GF)GF(fFFf)Ff(k(Fk)Fk(fC)fC()C(CC为常量)为常矢量0第25页/共51页第二十六页，共51页。000000000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFxy zx0000

21、00000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFxy zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后两侧由此可知，穿出前、后两侧(lin c)面的净通量值为面的净通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积(tj)V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF第26页/共51页第二十七页，共51页。 根据定义，则得到根据定义，则得到(d do)直角坐标系中的散度直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析同理，分析(fnx)穿出另

22、两组侧面的净通量，并合成之，即得由点穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第27页/共51页第二十八页，共51页。VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义从散度的定义(dngy)出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁散度定

23、理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁(dinc)理论中有着广泛的应用。理论中有着广泛的应用。第28页/共51页第二十九页，共51页。 例如例如(lr)(lr)：流速场。：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径(ljng)的积分不为零。的积分不为零。1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度第29页/共5

24、1页第三十页，共51页。 如磁场沿任意如磁场沿任意(rny)(rny)闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 上式建立了磁场上式建立了磁场(cchng)(cchng)的环流与电流的关系。的环流与电流的关系。 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线第30页/共51页第三十一页，共51页。q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，

25、又称为(chn wi)(chn wi)保守场。保守场。ClzyxFd),( 矢量矢量(shling)场对于闭合曲线场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量的环流定义为该矢量(shling)对闭合曲线对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q如果如果(rgu)(rgu)矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。第31页/共51页第三十二页，共51页。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了

26、矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了宏观联系。为了(wi le)(wi le)给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 SCMFnFCSlFSFd1limrot0n称为称为矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向 的的。n：其值：其值与与点点M 处的方向处的方向 有关。有关。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限n第32页/共51页第三十三页，共51页。而

27、而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz第33页/共51页第三十四页，共51页。于是于是(ysh) (ysh) 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot第34页/共51页第三十五页，共51页。maxnnrotFeFF

28、eFnnrot第35页/共51页第三十六页，共51页。yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzxzzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系zyxzyxFFFzyxeee第36页/共51页第三十七页，共51页。FfFfFf)(CfCf)(0 CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第37页/共51页第三十八页，共51页。SCSFlFdd 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个(y )变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。变换关系式，也

29、在电磁理论中有广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分 从旋度的定义出发，可以从旋度的定义出发，可以(ky)得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第38页/共51页第三十九页，共51页。0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第39页/共51页第四十页，共51页。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第40页/共51页第四十一页，共51页。（1）无旋场）无旋场0d ClF： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢

30、量场，0F无旋场可以用标量无旋场可以用标量(bioling)场的梯度表示为场的梯度表示为例如例如(lr)：静电场：静电场0EEuF()0Fu 第41页/共51页第四十二页，共51页。（2）无散场）无散场(sn chng) 仅有旋度源而无散度源的矢量仅有旋度源而无散度源的矢量(shling)(shling)场，即场，即：0dSSF0 F无散场无散场(sn chng)(sn chng)可以表示为另一个矢量场的旋度可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF0)(AF第42页/共51页第四十三页，共51页。（3）无旋、无散场）无旋、无散场(sn chng)（源在所讨论（源在所

31、讨论(toln)的区域之外）的区域之外）0F（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分这样的场可分解为两部分(b fen)：无旋场部分：无旋场部分(b fen)和无散场部分和无散场部分(b fen)( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r ()0u Fu 02 u0F第43页/共51页第四十四页，共51页。 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)系系：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr圆柱坐标系圆

32、柱坐标系球坐标系球坐标系uu2)(1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理第44页/共51页第四十五页，共51页。 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF22()iiFF 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)系中：系中：如：如：22()FF (, , )ix y z)()(2FFF第45页/共51页第四十六页，共51页。 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么那么(n me)(n me)，可以证明该两个标量场，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式： SVSnV 2dd)(根据方向导数根据方向导数(do sh)(do sh)与梯度的关系，上式又可