第二章初等函数微分法ppt课件

1、初等函数微分法初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数常函数、幂函数、一些较简单的函数的导数常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数数初等函数的导数，从而是初等函数的求初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。导问题系

2、统化，简单化。一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(1)(1)、(2)(2)略略. .证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()(

3、)()(lim0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf注注 （1即是和、差的导数等于导数的和、差即是和、差的导数等于导数的和、差（2即是乘积的导数等于第一个因子的导数即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数第二个因子的导数（3即是商的导数等于

4、分子的导数乘以分母即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方的平方 （1可推广到任意有限个可导函数的情形可推广到任意有限个可导函数的情形; )( )(11 niiniixfxf （2也可推广到任意有限个函数的情形也可推广到任意有限个函数的情形wuvwvuvwuuvw )(; )()()()()()()()( )(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf 作为作为2的特殊情况的特殊情况uccucv )(，则则若若);( )(xfCxCf 或或即常数因子可以提到导数符号的外面即常数因子可以提

5、到导数符号的外面)( )(11xfkxfkniiiinii 即线性组合的导数等于导数的线性组合即线性组合的导数等于导数的线性组合说明求导是一线性运算说明求导是一线性运算作为作为3的一种特殊情况，的一种特殊情况，2)1(, 1vvvu 则则若若二、例题分析二、例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 .cos x 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cos

6、sin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例4 4yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 例例5 5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,0时时当当 x, 1)( xf,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0时时当当 xhhf

7、h)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf三、反函数的导数三、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例6 6.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且

8、且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例7 7.log的导数的导数求函数求函数xya 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax, 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特别地特别地.1)(lnxx 四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算的结果

9、有限次四则运算的结果的导数，但是像的导数，但是像12sin,tanln22 xxexx等函数复合函数是否可导，可导的话，如何求等函数复合函数是否可导，可导的话，如何求它们的导数它们的导数先看一个例子先看一个例子例例8 yxy ，求求22)1(22)1(xy 4221xx 344xxy )1(42xx 这里我们是先展开，再求导，若像这里我们是先展开，再求导，若像10002)1(xy 求导数，展开就不是办法，再像求导数，展开就不是办法，再像521xy 求导数，根本无法展开，又该怎么办？求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构仔细分析一下，这三个函数具有同样的复

10、合结构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。22)1(xy 复复合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 再如再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到注意到xy2sin xuuy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上两例可见：由由以上两例可见：由)(),(xuufy 复合复合而成的函数而成的函数)(xfy 的导数的导数xy 恰好等于恰好等于y对中间变

11、量对中间变量u的导数的导数uy 与中间变量与中间变量u对自变量对自变量x的导数的导数xu 的乘积的乘积xuxuyy 这就是链式法则这就是链式法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则)dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上上可可导导，且且有有在在

12、则则复复合合函函数数上上可可导导在在上上可可导导，在在若若)(,)(,)()(11 证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导”2.注意中间变量注意中间变量推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数

13、xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy )0( a解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 例例1111.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例

14、1212.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例13.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例例14 求幂函数的导数求幂函数的导数)( xy xeln )ln(ln xex xx1 1 x例例1515.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx)

15、.(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 注注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，

16、在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。数是否存在。例例16 0001)(1xxexxfx)(xf 求求解解时时0 x xexxf11)(2111)1(11xxxeexe 时时0 x0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 1 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 0 )0()0( ff处处不不可可导导在在0)( xxf 00)1(11)(2111xxeexexfxxx不存在不存在五、初等函数的求导问题五、初等函数的求导

17、问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，那么可导，那么（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)

18、0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. .4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxxcoshsinhtanh xxxx222coshsinhcosh)(tanh 即即xx2cosh1)(tanh )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar)11(1122xx