第四章,指数函数与对数函数单元测试（基础卷）（解析版）

1、第四章,指数函数与对数函数单元测试（基础卷）（解析版） 人教版第一册第四章指数函数与对数函数单元测试 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1 4a 的 4 次方根是（ ） ） a a b a - c a ± d a 【答案】c 【解析】 【分析】 根据偶次方根的定义可以直接求解. 【详解】 4a 的 4 次方根是4 4a a ± =±. 故选：c 【点睛】 考查了偶次方根的定义,属于基础题. 2 下列各式正确的是（ ） a 8 8a a = b 01 a = c 44( 4) 4 - = - d 55( ) p p - = - 【答案】d 【解析】 【分

2、析】 根式化简及零指数意义. 【详解】 对于 a，8 8a a =，当 a 为负数时等式不成立，故 a不正确； 对于 b，01 a = ，当 0 a = 时无意义，故 b 不正确； 对于 c，44( 4) 4 - = - ，左边为正，右边为负，故 c 不正确； 对于 d，55( ) p p - = - ，故 d正确. 故选：d. 【点睛】 试卷第 2 页，总 21 页 根式化简注意根指数的奇偶性. 3 设2log 3 a = ，13log 2 b =，20.4 c = ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） ） a a bc > > b b a c > > c a

3、 c b > > d c a b > > 【答案】c 【解析】 【分析】 根据指数与对数函数的单调性，分别判定 a ， b ， c 大小，即可得出结果. 【详解】 因为函数2log y x = 在 (0, ) +¥ 上单调递增，且 2 3 < ， 所以2 2log 2 log 3 < ，即21 log 3 < ，所以 1 a > ， 因为函数13log y x =在 (0, ) +¥ 上单调递减，且 2 1 > ， 所以1 13 3log 2 log 1 0 < =，即 0 b < ， 因为函数 0.4 x

4、y = 在 r 上单调递减，且 2 0 > ， 所以2 00 0.4 0.4 1 < < =，即 0 1 c < < ， 所以 a c b > > ， 故选：c. 【点睛】 本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型. 4 在同一直角坐标系中，函数1 1, log ( 02axy y x aaæ ö= = + >ç ÷è ø且 1) a ¹ 的图象可能是（ ） ） a b c d 【答案】d 【解析】 【分析】 根据 a 的不同取值分类讨论，

5、结合两函数所过的定点进行判断即可. 【详解】 当 0 1 a < < 时，函数xy a = 过定点 (0,1) 且单调递减，则函数1xya= 过定点 (0,1) 且单调递增，函数1log2ay xæ ö= +ç ÷è ø过定点1( ,0)2且单调递减，d 选项符合；当 1 a > 时，函数xy a = 过定点 (0,1) 且单调递增，则函数1xya= 过定点 (0,1) 且单调递减，函数1log2ay xæ ö= +ç ÷è ø过定点1( ,02） 且单调递

6、增，各选项均不符合. 故选：d 【点睛】 本题考查了识别函数图象问题，考查了对数型函数和指数函数的图象，考查了分类讨论思想和数形结合思想. 5 函数2| |( )2 2x xx xf x-+=+的部分图象大致是（ ） ） a b c d 【答案】b 【解析】 试卷第 4 页，总 21 页 【分析】 研究函数的奇偶性，排除 a，探究当 x®+¥ 时，函数值的变化趋势，又排除一些选项，从而确定正确选项 【详解】 函数的定义域为 r ，因为2| |( ) ( )2 2x xx xf x f x-+- = =+，所以 ( ) f x 是偶函数，排除选项 a；当 x®+&#

7、165;时，考虑到2| | y x x = + 和 2 2x xy-= + 的变化速度，知 x®+¥ 时，( ) 0 f x ® ，故排除选项 c，d.所以选项 b 正确. 故选：b 【点睛】 本题考查由函数解析式先把函数图象，解题时可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性排除一些选项，再研究函数的特殊值，与坐标轴的交点坐标，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除选项，从而得出正确结论 6 20 世纪 30 年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺 度，就是使用测震仪衡量地震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级

8、m . 其计算公式为0lg lg m a a = - ，其中 a 是被测地震的最大振幅，0a 是标准地震的振幅，5 级地震已经给人的震感已比较明显，8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的（ ） ） a 30 倍 b lg30 倍 c 100 倍 d 1000 倍 倍 【答案】d 【解析】 【分析】 设 8 级地震的最大振幅为1a ，5 级地震的最大振幅为2a ，由1 08 lg lg a a = - 和2 05 lg lg a a = - 易得1a 和2a 的倍数关系. 【详解】 解：设 8 级地震的最大振幅为1a ，5 级地震的最大振幅为2a ， 则： ( ) ( )11 2 1 0

9、 2 02lg lg lg lg lg lg lg 8 5 3aa a a a a aa= - = - - - = - = ， 所以12310 1000aa= =. 故选：d. 【点睛】 考查对数的运算以及指数式和对数式的互相转化，基础题. 7 函数 ( )4xf x e x = + - 的零点所在的区间为（ ） ） a (1,2) b ( 1,0) - c (0,1) d (2,3) 【答案】a 【解析】 【分析】 先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】 因为函数xy e = 与 yx =在 r 上均是单调增函数， 所以函数 ( ) 4xf x e x

10、 = + - 是 r 上的单调增函数， 因为 (1) 1 4 3 0 f e e = + - = - < ，2 2(2) 2 4 2 0 f e e = + - = - > ， 又函数( ) f x 的图象连续不间断， 所以函数( ) f x 的零点所在的区间为 (1,2) . 故选：a 【点睛】 本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题. 8 已知定义在 r 上的函数 ( )y f x = 对任意的 x 都满足 ( ) 2 ( ) f x f x + = ，当 1 1 x - £ < 时，( )3f x x = 若函数 ( ) ( ) log a g x

11、f x x = - 有 恰有 6 个不同零点，则 a 的取值范围是（ ） ） a ( 1 1, 5,77 5æ ùçúè û b ( 1 1, 5,75 3æ ùçúè û c ( 1 1, 3,55 3æ ùçúè û d ( 1 1, 3,57 5æ ùçúè û 【答案】a 【解析】 【分析】 根据题意作出 ( ) y f x = 与 log a y

12、x = 的图像，讨论当 1 a > 时，log 5 1log 7 1aa< ìí³î，当 0 1 a < < ， 试卷第 6 页，总 21 页 log 5 1log 7 1aa³ - ìí< -î，分别解不等式组即可求解. 【详解】 由条件可知函数 ( ) ( ) log a g x f x x = - 恰有 6个不同的零点， 转化为 ( ) y f x = 与 log a y x = 恰有 6 个不同的交点， ( ) ( ) 2 f x f x + = ， ( ) y f x = 的

13、周期 2 t = ，且 ) 1,1 xÎ - 时， ( )3f x x = ， log a y x = 是偶函数， 图象关于 y 轴对称， 如图，在同一坐标系下画出函数 ( ) y f x = 和 log a y x = 的图象， 当 1 a > 时， log a y x = 的图象如图所示， y 轴左侧有 4 个交点，右侧有 2个交点， 此时应满足log 5 1log 7 1aa< ìí³î，解得 5 7 a < £ ； 当 0 1 a < < 时， ( ) y f x = 与 log a y x =

14、在 y 轴左侧有 2 个交点， 右侧有 4 个交点， 此时应满足log 5 1log 7 1aa³ - ìí< -î ，解得：1 17 5a < £ ； 综上可知， a 的取值范围是 ( 1 1, 5,77 5æ ùçúè û 故选：a 【点睛】 本题考查了根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想以及分类与整合的思想，属于中档题. 二、多选题 9 设 设 a ，b ，c 都是正数，且 4 6 9a b c= =，那么（ ） ） a 2 ab bc ac + = b

15、 ab bc ac + = c 2 2 1c a b= + d 1 2 1c b a= - 【答案】ad 【解析】 【分析】 利用与对数定义求出 a ， b ， c ，再根据对数的运算性质可得 log 4 log 9 2log 6m m m+ = ，然后进行化简变形即可得到. 【详解】 由于 a ， b ， c 都是正数，故可设 46 9a b cm = = =， 4log a m = ，6log b m = ，9log c m = ，则1log 4ma= ，1log 6mb= ，1log 9mc= . log 4 log 9 2log 6m m m+ = ， 1 1 2a c b+ = ，即

16、1 2 1c b a= - ，去分母整理得， 2 ab bc ac + = . 故选 ad. 【点睛】 本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 10 己知函数 ( )2 12 1xxf x-=+，下面说法正确的有（ ） ） a ( ) f x 的图像关于原点对称 b ( ) f x 于 的图像关于 y 轴对称 c ( ) f x 的值域为 () 1,1 - d 1 2, x x r " Î ，且1 2x x ¹ ，( ) ( )1 21 20f x f xx x-<- 【答案】ac 【解析】 试卷第 8 页，总 21 页 【分析】 依次判断每个选项：判断

17、奇偶性得出 a正确，b 错误；利用换元法求( ) f x 的值域，可得出 c 正确；判断函数单调递增可得出 d正确，进而可得出答案. 【详解】 对于选项 a，( )2 12 1xxf x-=+，定义域为 r ，则2 1 1 2( ) ( )2 1 1 2x xx xf x f x- - = = =-+ +， 则( ) f x 是奇函数，图象关于原点对称，故 a正确； 对于选项 b，计算 ( )2 1 112 1 3f-= =+， ( ) ( )11121 11312f f- = = - ¹+， 故( ) f x 的图象不关于 y 轴对称，故 b 错误； 对于选项 c，2 1 2( )

18、 12 1 1 2xx xf x-= = -+ +，令 ( ) , 1 1 2 ,xt tÎ + = +¥ ，2( ) 1 y f xt= = - ， 易知 ( ,21 ) 1 1t- - Î ，故 ( ) f x 的值域为 ( 1,1) - ，故 c 正确； 对于选项 d，2 1 2( ) 12 1 1 2xx xf x-= = -+ +，令 ( ) , 1 1 2 ,xt tÎ + = +¥ ，2( ) 1 y f xt= = - ， 函数 1 2 x t = + 在 r 上单调递增，且21 yt= - 在 ( ) 1, tÎ +

19、¥ 上单调递增， 根据复合函数的单调性，可知2( ) 11 2 xf x = -+在 r 上单调递增， 故1 2, x x "r Î ，且1 2x x ¹ ，( ) ( )1 21 20f x f xx x-<-不成立，故 d错误. 故选：ac. 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用，属于中档题. 11 下列选项中说法正确的是（ ） a 函数 ( ) ( )22log 2 f x x x = -的单调减区间为 ( ) ,1 -¥ b 幂函数 ( ) f xmx a = 过点1 2,2 2

20、30; öç ÷ç ÷è ø，则32m a + = c 函数 ( ) y f x = 的定义域为 1,2 ，则函数 ( ) 2 x y f = 的定义域为 2,4 d 若函数 ( ) ( )2lg 5 4 f x ax x = + + 的值域为 r ，则实数 a 的取值范围是250,16é ùê úë û 【答案】bd 【解析】 【分析】 对于 a选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于 b 选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 c 选项：由复合

21、函数的定义域可判断；对于 d选项：由对数函数的值域可判断. 【详解】 对于 a选项：由22 0 x x -得 2 x 或 0 x < ，所以 ( ) ( )22log 2 f x x x = -中函数的定义域为( ) ( ) 0 2 -¥ +¥ ， ， ，又函数22 t x x = -在 ( ) ,1 -¥ 上单调递减，函数2log y t = 在 ( ) 0, ¥ + 上单调递增，所以函数 ( ) ( )22log 2 f x x x = -的单调减区间为 ( ) ,0 -¥ ，故 a不正确； 对于 b 选项：因为幂函数 ( ) f x

22、 mx a = 过点1 2,2 2æ öç ÷ç ÷è ø，所以2212maæ ö=ç ÷è ø，且 1 m = ，解得12a = ，所以32m a + = ，故 b 正确； 对于 c 选项：因为函数 ( ) y f x = 的定义域为 1,2 ，所以 12 2x£ £，解得 0 1 x £ £ ，所以函数( )2 x y f =的定义域为 0,1 ，故 c 不正确； 对于 d选项：因为函数 ( ) ( )2lg 5

23、 4 f x ax x = + +的值域为 r ， 所以当 0 a = 时， ( ) ( ) lg 5 4 f x x = + ，满足其值域为 r ， 当 0 a ¹ 时，需 0 a 且25 16 0 a d = - ³ ，解得25016a < £ ， 所以实数 a 的取值范围是250,16é ùê úë û，故 d正确， 故选：bd. 【点睛】 本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题. 12 已知偶函数 ( ) f x 对任意 xÎr 都有 (

24、) ( ) 12 12 0 f x f x - - + = ，当 0,12 xÎ 时，( )( )22 ,0 2lg 2 ,2 12x x xf xx xì - £ £ï= í- < £ï î，实数ix 是关于 x 的方程 ( ) ( ) 1,2,3,. f x m i = = 的解，且ix 互不相等. 则下列说法正确的是（ ） ） 试卷第 10 页，总 21 页 a ( ) f x 是 的最小正周期是 12 b ( ) y f x = 图象的对称轴方程为12 x k = ， k z Î

25、c 当 1 m 时，关于 x 的方程 ( )f x m = 在 0,12 xÎ 上有唯一解 d 当 0 m = 时，存在1x ，2x ，3x ，4x ，使得1 2 3 4x x x x + + + 为 的最小值为 0 【答案】bcd 【解析】 【分析】 选项a求出函数的最小正周期为24，判断选项a错误；选项b求出函数图象关于直线 ( ) 12 x x k z = Î对称，判断选项 b 正确；选项 c 先结合 ( )( )22 ,0 2lg 2 ,2 12x x xf xx xì - £ £ï= í- < £&

26、#239; î的单调性和图像判断当 1 m 时，关于 x 的方程 ( ) f x m = 在 0,12 xÎ 上只有唯一解，从而判断选项 c 正确；选择 d先判断当0 m = 时，总能找到两两关于 y 对称的四个零点，使得1 2 3 40 x x x x + + + = ，再判断若 4 个零点不关于 y 对称时，1 2 3 40 x x x x + + + > ，从而判断选项 d正确. 【详解】 选项 a：因为函数是偶函数，且 ( ) ( ) 12 12 f x f x - = + ，当 0,12 xÎ 时，函数 ( ) f x 无轴对称性，所以函数的最小正

27、周期为 24，故选项 a错误； 选项 b：因为 0 x = 是函数的对称轴，且 ( ) ( ) 12 12 f x f x - = + ，所以函数图象关于直线( ) 12 x x k z = Î 对称，故选项 b 正确； 选项 c：当 0,12 xÎ 时，结合 ( )( )22 ,0 2lg 2 ,2 12x x xf xx xì - £ £ï= í- < £ï î的单调性和图像可知，当 1 m 时，关于 x 的方程 ( ) f x m = 在 0,12 xÎ 上只有唯一解，故选

28、项 c 正确； 选择 d：当 0 m = 时，总能找到两两关于 y 对称的四个零点，使得1 2 3 40 x x x x + + + = ，若 4 个零点不关于 y 对称时，1 2 3 40 x x x x + + + > ，故选项 d正确. 故选：bcd. 【点睛】 本题考查函数的周期性、函数的对称性、函数的零点，是中档题. 三、填空题 13 若函数( ) y f x = 与10 x y = 互为反函数，则 ( )22 y f x x = -的单调递减区间是_. 【答案】 ( ,0) -¥ 【解析】 【分析】 由反函数求出( ) f x 解析式，进而求出其单调性，结合二次函数

29、的性质及复合函数单调性的性质，可求出所求的单调递减区间. 【详解】 解：由题意知，10( ) log lg f x x x = = 在 ( ) 0, ¥ + 上单调递增，设 ( )22 g x x x = - ， 令22 0 x x - >，解得 0 x < 或 2 x > ，由二次函数的性质， ( ) g x 在 ( ) ,0 -¥ 单调递减， 在 ( ) 2,+¥ 上单调递增.则 ( )22 y f x x = -的单调递减区间是 ( ) ,0 -¥ . 故答案为: ( ) ,0 -¥ . 【点睛】 本题考查了反函数的应用

30、，考查了函数单调性的求解.本题的易错点是忽略了函数的定义域. 14 化简：11 2 30 7 2 10 - + - = _. 【答案】6 2 - 【解析】 【分析】 将二次根式的被开方数化为完全平方式，然后利用根式的性质可计算出结果. 【详解】 原式( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 2 6 5 5 5 2 5 2 2 = - ´ + + - ´ ´ +( ) ( )2 26 5 5 2 6 5 5 2 6 5 5 2 6 2 = - + - = - + - = - + - = -. 试卷第 12 页，总 21 页 故答案为：6 2 -. 【点睛】 本

31、题考查根式的化简计算，解题的关键就是将二次根式的被开方数化为完全平方的形式，考查计算能力，属于基础题. 15 用二分法求函数 f(x) 3 x x 4 的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)0.200 f(1.587 5)0.133 f(1.575 0)0.067 f(1.562 5)0.003 f(1.556 2) 0.029 f(1.550 0) 0.060 据此数据，可得方程 3 x x 4 0 的一个近似解为_( 精确到 0.01) 【答案】1.56 【解析】 注意到 f(1.5562)0.029 和 f(1.5625)0.003，显然 f(1.5562)f(1.5625)

32、0，故区间的端点四舍五入可得 1.56. 16 已知函数 ( )( ) 3 2 4 , 1log , 1aa x a xf xx xì - + <= í³î对任意不相等的实数1x ，2x ，都有( ) ( )1 21 20f x f xx x-<-，则 a 的取值范围为_. 【答案】2 2,7 3é ö÷êë ø 【解析】 【分析】 首先根据题意得到 ( ) f x 在 r 上为减函数，从而得到3 2 00 13 2 4 log 1aaaa a- < ìï&

33、lt; <íï- + ³î，再解不等式组即可. 【详解】 由题知：对任意不相等的实数1x ，2x ，都有( ) ( )1 21 20f x f xx x-<-， 所以 ( ) f x 在 r 上为减函数， 故3 2 00 13 2 4 log 1aaaa a- < ìï< <íï- + ³î，解得：2 27 3a £ < . 故答案为：2 2,7 3é ö÷êë ø 【点睛】 本题主要考查分

34、段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题. 四、解答题 17 求下列各式的值. （ （1） ）( ) ( )210 300.25 3 4351.8 2021 27 2 3 39-´ - - ´æ öçè-÷ø+ ´. （ （2） ）7log 52 2 9814log log 7 log 3.43- + + (3)2 22lg5 lg8 lg5 lg20 lg 23+ + × + (4)27 64 9 4log 32 log 27 log 2 log 27 × + 

35、5; 】 【答案】（1） 2 - ；（2）294. 【解析】 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质即可求出； （2）运用对数的运算性质即可得出. 【详解】 （1）原式( )11 221 13 334 49 51 3 3 15 9-轾骣 骣犏琪 琪 = ? ? - 犏琪 琪桫 桫 犏臌 1 13 35 53 1 29 9骣 骣琪 琪 = - + - =-琪 琪桫 桫； （2）原式( ) 2 2 214log 3 log 81 log 4 54= - - + + 2 21 294log 3 4log 3 2 54 4= - + + + = . （3） ( )2 2 2 3 2 22 2lg5 lg

36、8 lg5 lg20 lg 2 lg5 lg2 lg5 lg5 lg2 lg 23 3+ + × + = + × + + + ( ) ( )22 222lg5 3lg2 lg 5 2lg5lg2 lg 2 2 lg5 lg2 lg5 lg23= + ´ + + + = + + + 2 1 3 = + = . （4）27 64 9 4lg32 lg27 lg2 lg 27log 32 log 27 log 2 log 27lg27 lg64 lg9 lg4× + × = × + × 试卷第 14 页，总 21 页 3lg3lg

37、32 lg 27 5lg22lg64 2lg9 6lg2 2 2lg3= + = +´ 5 3 296 8 24= + = . 【点睛】 本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题. 18 在 ( )22 1xf x a = -+， ( )( )24log f x x a x = + + ， ( )( )( )33log 1 , 0log 1 , 0x xf xax xì + >ï= í -+ £ï î，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 已知_ ，若函数 ( ) f x 为奇函数，

38、且函数 ( ) y f ax m = - 的零点在区间 ( ) 2,3 - 内，求 m 的取值范围. 【答案】条件选择见解析，答案见解析. 【解析】 【分析】 分别对条件逐个分析，利用函数是奇函数，确定出 a 的值，之后可以判断出函数是 r 上的增函数，从而得到其零点只能是 0，从而求得结果. 【详解】 选 ( ) f x 是奇函数， ( )2 2( ) 02 1 2 1x xf x f x a a- + = - + - =+ +， 得 1 a = . 2( ) 12 1xf x = -+，易知 ( ) f x 在 r 上是增函数， ( ) f x 有唯一零点 0. 函数 ( ) y f x

39、m = - 的零点在区间 ( ) 2,3 - 内， 0 x m - = 在 ( ) 2,3 - 上有解， m x = ，即 ( ) 2,3 mÎ - ； 选 ( ) f x 是奇函数， ( ) ( )( ) ( )2 24 4log log 0 f x f x x a x x a x - + = + - + + + = ， 得 1 a = . ( )( )24log 1 f x x x = + + ，易知 ( ) f x 在 r 上是增函数， ( ) f x 有唯一零点 0. 函数 ( ) y f x m = - 的零点在区间 ( ) 2,3 - 内， 0 x m - = 在 ( )

40、 2,3 - 上有解， m x = ，即 ( ) 2,3 mÎ - 选 当 0 x < 时， 0 x - > ， ( ) ( )3log 1 f x x - = - + ， 函数 ( ) f x 是定义在 r 上的奇函数， ( ) ( )3log 1 f x x - = - + ， ( ) ( )( )3log 1 0 f x x x =- - + < ，得 1 a = - . ( )( )( )33log 1 , 0log 1 , 0x xf xx xì + >ï= í - + £ï î，易知 (

41、) f x 在 r 上是增函数， ( ) f x 有唯一零点 0. 函数 ( ) y f x m = - - 的零点在区间 ( ) 2,3 - 内 0 x m - - = 在 ( ) 2,3 - 上有解， m x =- ，即 ( ) 3,2 mÎ - . 【点睛】 该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用奇函数确定参数的值，根据解析式判断函数的单调性，根据函数的零点求参数的取值范围，属于简单题目. 19 过 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 10 万元时，按销售利润的 15%过 进行奖励；当销售利润超过 10 万元时，若超出 a 万元，则超出部分按52

42、log ( 1) a+ 进行奖励. 记奖金为 y （单位：万元），销售利润为 x （单位：万元）. （ （1 ）写出该公司激励销售人员的奖励方案； （ （2 ）如果业务员小王获得了 3.5 万元的奖金， 那么他的销售利润是多少万元？ 】 【答案】（1）( )50.15 ,0 101.5 2log 9 , 10x xyx x£ £ ì= í+ - >î；（2）14万元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分别写出 0 10 x £ £ ， 10 x > 对应的解析式，即可得出结果； （2）根据（1）的结果，直接计

43、算，即可得出结果. 【详解】 （1）由题意，当 0 10 x £ £ 时，奖金 15% 0.15 y x x = = ； 当 10 x > 时， ( ) ( )5 515% 10 2log 10 1 1.5 2log 9 y x x = ´ + - + = + - ； 试卷第 16 页，总 21 页 即该公司激励销售人员的奖励方案为： ( )50.15 ,0 101.5 2log 9 , 10x xyx x£ £ ì= í+ - >î； （2）由（1）知，当 0 10 x £ £ 时

44、， 0 0.15 1.5 x £ £ ， 因为业务员小王获得 35万元的奖金，即 3.5 y = ，所以 10 x > . 因此51.5 2log ( 9) 3.5 x + - = ，解得 14 x = . 所以业务员小王的销售利润是 14 万元. 【点睛】 本题主要考查分段函数模型的应用，属于基础题型. 20 已知函数 ( )lg 2af x xxæ ö= + -ç ÷è ø，其中 a 是大于 0 的常数 （ （1 ）求函数 ( ) f x 的定义域； （ （2 ）当 ( )1,4 aÎ时，求函数

45、 ( ) f x 在 ) 2,+¥ 上的最小值； （ （3 ）若对任意 ) 2, xÎ +¥ 恒有 ( ) 0 f x > ，试确定实数 a 的取值范围 】 【答案】（1）答案见解析；（2） lg2a；（3） ( ) 2,+¥ 【解析】 【分析】 （1）根据分类讨论法，分 1 a > ， 1 a = ， 0 1 a < < 三种情况，解不等式220x x ax- +> ，即可得出结果； （2）先判断函数单调性，进而可得出函数在给定区间的最值； （3）由题意，得到23 a x x > - 在 )2, xÎ +&

46、#165; 上恒成立，令 ( )23 h x x x = - ， ) 2, xÎ +¥ ，求出其最大值，即可得出结果 【详解】 （1）由 2 0axx+ - > ，得220x x ax- +> . 当 1 a > 时， ( )222 1 1 0 x x a x a - + = - + - > 恒成立，所以 ( ) f x 的定义域为 ( ) 0, ¥ + ； 当 1 a = 时，不等式可化为( )210xx->，所以 0 x > 且 1 x ¹ ，所以 ( ) f x 的定义域为 ( ) ( ) 0,1 1,+

47、5; ； 当 0 1 a < < 时，由220x x ax- +> 可得：22 00x x axì - + >í>î或22 00x x axì - + <í<î，解得：0 1 1 x a < < - -或1 1 x a > + -，即函数 ( ) f x 的定义域为 ( ) ( ) 0,1 1 1 1 , a a - - È + - +¥ ； 综上，当 1 a > 时， ( ) f x 的定义域为 ( ) 0, ¥ + ； 当 1 a =

48、时， ( ) f x 的定义域为 ( ) ( ) 0,1 1,+¥ ； 当 0 1 a < < 时， ( ) f x 的定义域为 ( ) ( ) 0,1 1 1 1 , a a - - È + - +¥ ； （2）设 ( ) 2ag x xx= + - ，则 ( )21ag xx¢ = -， 当 ( )1,4 aÎ， ) 2, xÎ +¥ 时，显然 ( )21 0ag xx¢ = - >， 所以 ( ) 2ag x xx= + - 在 ) 2,+¥ 上是增函数； 因此 ( ) lg 2a

49、f x xxæ ö= + -ç ÷è ø在 ) 2,+¥ 上是增函数； ( ) ( )min22 lg 2 2 l2ga af x fæ ö= = + - =ç ÷è ø； （3）若对任意 ) 2, xÎ +¥ 恒有 ( ) 0 f x > ， 则 2 1axx+ - > 对任意 ) 2, xÎ +¥ 恒成立23 a x x > - 在 )2, xÎ +¥ 上恒成立 设 ( )23 h x

50、 x x = - ， ) 2, xÎ +¥ ， 则 ( )23 h x x x = - 是开口向下，对称轴为32x = 的二次函数， 所以 ( )23 h x x x = - 在 ) 2, xÎ +¥ 上单调递减， 因此 ( ) ( )max2 2 h x h = = ， 即实数 a 的取值范围是 ( ) 2,+¥ 【点睛】 本题主要考查求具体函数的定义域，考查求函数在给定区间的最值，以及由不等式恒成立求参数的问题，涉及分类讨论法解不等式，以及导数的方法判定函数单调性，属于常考题型. 21 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大

51、农作物. 云南人爱吃土豆，在云南土豆 也称洋芋，昆明人常说 " 吃洋芋，长子弟' '. 2021 年 3 月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的 " 山货 ' 试卷第 18 页，总 21 页 代言，他自豪地说： " 北京人吃的醋溜土豆丝， 5 盘里有 4 盘是我们澜沧种的！ ' （ （1： ）在菜市上，听到小王叫卖： " 洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三 斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！ ' 结果一群人都在买六元五斤的. 由此得到如

52、下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论； （ （2： ）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下： 投资金额固定； 投资年数可自由选择，但最短 3 年，最长不超过 10 年； 投资年数 ( )*x xÎn与总回报 y 的关系，可选择下 述三种方案中的一种：方案一：当 3 x = 时， 6 y = ，以后 x 每增加 1 时， y 增加 2 ；方案二：213y x = ；方案三：( )33xy = . 请你根据以上材料， 结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案. 】 【答案】（1） ( ) ( )*11 5,xf x x xx+= 

53、3; £ În ；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为 ( ) f x 元，根据题意可得出( ) ( )*11 5,xf x x xx+= £ £ În ，化为 ( )11 f xx= + ，利用该函数的单调性可得出结论； （2）求出方案一中函数模型的解析式，列表得出三种方案所有年数的总回报，根据表格中的数据可得出结论. 【详解】 （1）设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为 ( ) f x 元， 由题意知： ( ) ( )*11 5,xf x x xx+= £ £

54、 În ， 因为 ( )1 11xf xx x+= = + ，所以 ( ) y f x = 在 1,5 为单调递减函数. 说明一次购买的斤数越多，单价越低； （2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案. 由题意可知方案一对应的解析式为： ( ) 6 3 2 2 y x x = + - ´ = . 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论： 投资年数 x 总回报 y 3 4 5 6 7 8 9 10 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方案二 3 163 253 12 493 64

55、3 27 1003 方案三 3 343 533 9 373 833 27 1033 当投资年数为 3 5 年时，选择方案一最佳； 当投资年数为 6 年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为 7 年或 8 年时，选择方案二最佳； 当投资年数为 9 年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为 10 年时，选择方案三最佳. 【点睛】 本题考查函数模型的选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22 已知函数2( ) 2 1 ( 0) g x ax ax b a = - + + > 在区间2， ，3 上有最大值 4 和最小值 1 ，设( )( )g xf xx= . （ （1 ）求 a ， b 的值 （ （2 ）若不等式 ( )2 2log 2 log 0 f x k x - × ³ 在 2,4 xÎ 上有解，求实数 k 的