2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：2.1 第2课时　数列的性质与递推公式 Word版含解析

1、第2课时数列的性质与递推公式目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的前几项，并能归纳出数列的通项公式；2.体会递推公式是表示数列的一种方法；3.体会数列单调性的判断及简单应用重点 利用递推公式求通项难点 递推公式含义的理解知识点一数列的递推公式 填一填一个数列若满足以下两个条件：已知数列an的第一项a1(或前几项)从第二项(或某一项)开始的任意项an与它的前一项an1(或前几项)(n2，nn*)间的关系可以用一个公式来表示则此公式就叫做这个数列的递推公式答一答1递推公式也是表示数列的一种方法吗？提示：递推公式也是表示数列的一种重要方法2所有的数列都有递推公式吗？提示：并不是所有的

2、数列都有递推公式：例如精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，就没有递推公式知识点二数列的单调性 填一填判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列an的任意相邻两项之间的大小关系来确定(1)若an1an>0恒成立，则数列an是递增数列；(2)若an1an<0恒成立，则数列an是递减数列；(3)若an1an0恒成立，则数列an是常数列答一答3数列an满足an，若ap最大，aq最小，则pq89.解析：an1.由于44<<45，则当n44时，an1<1且递减；当n

3、45时，an1>1且递减所以a44最小，a45最大，即p45，q44，故pq454489.类型一根据数列的递推公式写出数列的项例1已知数列an的第1项是2，以后的各项由公式an(n2,3,4，)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列an的通项公式分析先写出前5项，再观察这5项，找出规律写出通项解可依次代入项数进行求值a12，a22，a3，a4，a5.即数列an的前5项为2，2，.也可写为，.即分子都是2，分母依次加2，且都是奇数，所以an(nn*)数列的递推公式是数列规律的另一种表示形式.知道首项，就可求后面的各项；知道后面的项，也可求出前面的项.变式训练1(1)已知数列an满足a11

4、，a21，an2anan1(nn*)，则a68.解析：因为an2anan1，所以a3a1a22，a4a2a33，a5a3a45，a6a4a58.故填8.(2)数列an中，a11，an1a1，则此数列的前4项的和为0.解析：a11，a20，a31，a40，a1a2a3a40.类型二由递推公式求通项公式例2(1)已知数列an中，a11，an1(nn*)，求通项an.(2)设an是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式分析(1)将已知等式化简、整理，得，用累加法可求，再求an.(2)可用累乘法求通项解(1)an1，an1(an2)2an.an1an2an2an1.两边同除以2an1an，得.，.把以

5、上各式累加得.又a11，an.故数列an的通项an(nn*)(2)··········，.又a11，ana1.在一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前一项的差构成的数列能够相加，并求出和，就可用累加法求通项公式；若每一项与它前一项的商构成的数列能够相乘，并求出积，就可用累乘法求通项公式.变式训练2(1)已知数列an中，a12，anan12(n2)，则通项公式为(b)aan3n ban2ncann dann解析：由anan12，累加法可得ana12(n1)，an2n.(2)已知an中，a11，则

6、数列an的通项公式是(c)aan2n bancan dan解析：由累乘法可得an，故选c.类型三数列的性质命题视角1：数列的单调性例3设函数f(x)数列an满足anf(n)，nn*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是_分析分段数列递增首先要确保各段递增，再使得两段相邻处满足一定的条件即可解析由题意知an因为数列an递增，所以当n7时，3a>0，即a<3；当n>7时，a>1；且a7<a8，即(3a)×73<a86，解得a>2或a<9.故a的取值范围为2<a<3.答案2<a<3分段数列单调与相应的分段函数单调

7、不同，除了确保各段单调外，还要使得两段之间满足一定的条件，如本例中数列an递增要满足a7<a8，而若函数f(x)递增则要满足f(7)a76，二者有较大的区别.变式训练3已知数列an，其通项公式为an3n2n(nn*)，判断数列an的单调性解：方法一：an3n2n，an13(n1)2(n1)，则an1an3(n1)2(n1)(3n2n)6n2>0，即an1>an(nn*)，故数列an是递增数列方法二：an3n2n，an13(n1)2(n1)，则·>1.又an>0，故an1>an，即数列an是递增数列(注：这里务必要确定an的符号，否则无法判断an1与

8、an的大小)方法三：令y3x2x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x<1，则函数y3x2x在上单调递增，故数列an是递增数列命题视角2：数列的周期性例4数列an满足a13，a26，an2an1an，求a2 016.分析此题的递推公式不易直接得到通项公式，故可由递推公式求出此数列的前几项，再观察其项与项之间的特点解由a13，a26，an2an1an，得a3a2a1633，a4a3a2363，a5a4a3336，a6a5a46(3)3，a7a6a53(6)3，a8a7a63(3)6，.数列an是以6为周期的数列，a2 016a6×336a63.(1)若一个数列an中的项满

9、足对任意nn*，antan都成立(其中tn*)，则称数列an为周期数列，t为an的一个周期.(2)要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要方法是通过递推公式求出数列的前几项观察得到或由递推公式发现规律. 变式训练4在数列an中，若a1，an(n2，nn*)，则a2 007的值为(a)a1 b.c1 d2解析：a1，a22，a31，a4，a52，a61，归纳得an3an.a2 007a3×669a31.1数列an满足a11，anan1n(n2)，则a5为(c)a13 b14c15 d16解析：由anan1n(n2)，得anan1n，则a2a12，a3a23，a4a34，a5

10、a45，把各项相加得a5a1234514，a514a114115.2已知数列an<0，且2an1an，则数列an是(a)a递增数列 b递减数列c常数列 d无法判断解析：an<0，an1anananan>0.数列an是递增数列3在数列an中，a12，an1，则a2 014(b)a2b cd3解析：a12，an1，a2，a3，a43，a52.该数列是周期数列，周期t4.又2 014503×42，a2 014a2.4已知数列an对任意的p，qn*满足apqapaq，且a26，则a1030.解析：令pq2，则a42a212.再令p4q，则a82a424.再令p8，q2，则a10a8a230.5在数列an中，a1a，以后各项由递推公式an1给出，写出这个数列的前4项，并由此写出一个通项公式解：由递推公式得a2，a3·，a4·.观察各项特点，分子为2n1a，则分母为1(2n11)a，所以通项公式为an.本课须掌握的三大问题1递推公式与通项公式的对比不同点相同点通项公式可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项2.已知数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法当anan1f(n)满足一定条件时，常用an(a