必修1——函数总结

1、函数：定义域、值域、解析式、单调区间、奇偶性、基本初等函数、零点问题函数的三要素：定义域、值域、对应法则一：函数的定义域、值域的概念在函数，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合B叫做函数的值域。二、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。（1） 分母不为零 。 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （如果 ax=N（a>0,且a1）,那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）,记作 x=logaN .其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.且a>o,a1,N>0）（4）指数、对数的底数大于

2、0，且不等于1 （5）y=tanx中xk+/2； ( 6 )中x例1：求函数的值域例2： 函数定义域是，则的定义域是？ 例3、设函数y=f(x)的定义域为0，1，求y=f(定义域巩固训练1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为_。（2）函数的定义域为_。2、已知函数的定义域为，则的定义域为_。3、若函数的定义域为，则的定义域为 。三、值域1、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域常见函数的值域：（1） 一次函数的值域为R（2）二次函数，当时的值域为，当时的值域为（3）反比例函数的值域为（4）指数函数的值域为（5)对数函数的

3、值域为R(6)正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R2求函数值域（最值）的常用方法（1）、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）例1、求的值域解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：例2、求函数的值域分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案解：0+11，0，函数的值域为（0，1（2）、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 例1、求函数的值域解：设，配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：例2、若，试求的最大值。解

4、：本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值易得：，y=1时，取最大值2（3）、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。例1、求函数的值域解：因本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。反解得即故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域）例2、求函数的值域解答：，因为，所以，算出值域为（4）、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经

5、过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断）例1、求函数的值域解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足，即此时方程有实根即，注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验将分别代入检验得不符合方程，所以例2、求函数的值域解答：先将此函数化成隐函数的形式得：，(1)这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式，解得：（5）、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）例1、求函数的值域解

6、：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误例1、求函数的值域解答：观察分子、分母中均含有项，可利用部分分式法；则有不妨令：从而注意：在本题中应排除，因为作为分母。所以故例2、如对于函数，利用恒等变形，得到：，容易观察得出此函数的值域为注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域四、函 数 解 析 式 的求 法（1)待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例1 设是一次函数，且，求解：设，则， （2）配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的

7、运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域例2 已知 ，求 的解析式解：， ， （3）、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化例3 已知，求解：令，则， ， ， （5）、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例5 设求解 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：（6）、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式 例7 已知：，对于任意实数x、y，

8、等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令 得函数解析式为：配 套 练 习求函数的解析式例1已知f (x)= ，求f ()的解析式 （ 代入法 / 拼凑法 ）变式1已知f (x)= ， 求f ()的解析式 变式2已知f (x+1)，求f (x)的解析式 例2若f f (x)4x3，求一次函数f (x)的解析式 （ 待定系数法 ）变式1已知f (x)是二次函数，且，求f (x)例3已知f (x)2 f (x)x ，求函数f (x)的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式1已知2 f (x) f (x)x1 ，求函数f (x)的解析式变式2已知2 f (x)f 3x ，求函数

9、f (x)的解析式例4设对任意数x，y均有，求f（x）的解析式 （ 赋值法 / 特殊值法）变式1已知对一切x，yR，都成立，且f（0）=1， 求f（x）的解析式求函数的值域例6求下列函数的值域 ， x1，2，3，4，5 ( 观察法 ) ，x( 配方法 ：形如 )( 换元法：形如 )( 分离常数法：形如 ) ( 判别式法：形如 )变式1求下列函数的值域 y 135、 单调区间（2） 单调区间： 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。例2(2011·江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是？ 6

10、、 奇偶性（1） 函数奇偶性的定义设函数y=f（x），x属于D，对任意的x属于D都有f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数；若对任意的x属于D，都有f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数 a 奇偶函数的必要条件：定义域关于原点对称； b 函数为奇函数且在x=0处有定义，则f（0）=0 C偶函数的图像对称关系:奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称（2）判断函数奇偶性的一般方法 （a）先判断定义域是否关于原点对称（b）若定义域关于原点对称 1.定义判断f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数。 2.等价形式判断：f（-x）-f（x）=0，则f（x）为

11、偶函数；f（-x）+f（x）=0 则f（x）是奇函数。 或者，等于1 时f（x）为偶函数，等于-1时 f（x）为奇函数（3）函数奇偶性的应用（a）常用结论：1.函数奇偶性满足下列性质：奇+/-奇=奇；偶+/-偶=偶；奇乘以奇=偶；偶乘以偶=偶；奇乘以偶=奇 2.奇函数在对称区间单调性相同，偶函数则相反。（b）任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）均可以写成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）和的形式，则g（x）= f（x）-f（-x）/2， h（x）=f（x）+f（-x）/2（4）常见题型题型一：判断函数的奇偶性（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR).7、 基础初等函

12、数1、指数、指数函数、幂函数（1）根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且*1111111111111111111111111111111111111111111111111111111（2）分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：（3）实数指数幂的运算性质（1）· ；（2） ；（3） （4）、图形a>10<a<1定义域 R定义域 值域 （0，+穷）值域在R上单调递在R上单调递函数图象都过定点（0,1）函数图象都过定点（5）、底数对指数函数的影响2、 对数与对数函数（1）对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：