简单的线性规划问题附答案

1、简单的线性规划问题附简单的线性规划问题学习目标1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本槪 念.2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变疑x, y的一次不等式(组)线性约束条件关于x, y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x, y的函数解析式线性目标函数关于变疑x, y的一次解析式可行解满足线性约朿条件的解(X, V)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1.

2、目标函数的最值线性目标函数z=ax+by (方工0)对应的斜截式直线方程是尸一朱+赤在V轴上的截距是务当Z变 化时，方程表示一组互相平行的直线.当b>0,截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值:当处0,截距最大时，2取得最小值,截距最小时，z取得最大值.2. 解决简单线性规划问题的一般步骤在确左线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为："画、 移、求、答”四步，即，(1) 画：根搦线性约朿条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平而图形准确地画出来，可行域 可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平而区域.(2) 移：运用数形结

3、合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界) 便是最优解.(3) 求：解方程组求最优解，进而求岀目标函数的最大值或最小值.(4) 答：写出答案.知识点三简单线性规划问题的实际应用1. 线性规划的实际问题的类型(1) 给泄一泄数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最 大；(2) 给泄一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.常见问题有： 物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知 两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小

4、产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的 数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产 品的生产，才能使每月获得的总利润最大 下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小2. 解答线性规划实际应用题的步骤(1) 模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习 有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.(2) 模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选左可行域中的特殊点作为最优解.(3) 模型应用：将求解岀来的结论

5、反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.题型一 求线性目标函数的最值例1已知变Mx, y满足约朿条件*+序1，则z=3A-+y的最大值为()一yWl,A12 B11C. 3 D 一 1答案B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上,分析最值点,然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y二3x十z经过点A时，zy 二2,取得最大值由|二 1x+y2W0,跟踪训练1 (l)x, y满足约束条件卜一2$2W0,若z=y-Q取得最大值的最优解不唯一，则实 .2x-y+2 鼻 0,数“的值为()或-1 B. 2或*C. 2或 1D. 2 或一 1一y+l

6、WO,(2)若变量x, y满足约束条件,x+2y8 WO,则z=3x+y的最小值为.答案(1)D (2)1解析(1)如图，由y二祇+ z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当"X)时，要使z二y - q取得最大值的最优解不唯一，则"二2 ；当“<0时，要使z二)一必取得最大值的最优解不唯一，则"二-1.由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z = 3x + y,即尸-3"z过点(0.1)时z取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题xy2W0,例2设实数x, y满足约朿条件“+2>，4豪0,求2y-3W0,(1) x2+y2的

7、最小值；(2) ¥的最大值.解 如图,画出不等式组表示的平面区域ABC,令"二扌十尸，具几何意义是可行域ABC内任一点(x ,刃与原点的距离的平方x + 2y-4 = 0 ,/4 8过原点向直线卄2厂4二0作垂线y二2.则垂足为_的解，即所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为IOC1二寸1十(詐二2 ，所以，宀 尸的最小值为苧v亠y - o令x* ,其几何意义是可行域ABC内任一点(x , y)与原点相连的直线/的斜率为0 ,即。二匚由人x - 0图形可知，当直线/经过可行域内点C时 川最大，由知c(l , I),所以 皿二扌，所以F的最大值为x

8、MO,跟踪训练2已知x, y满足约朿条件)90,贝妆+3)2+尸的最小值为.,x+y>l,答案10解析 画出可行域(如图所示).("3)2*2即点川_ 3.0)与可行域内点(刃之间距离的平方显然AC长度最小，:.AC2 = (0 + 3)2 + (1 0)2= 10,即(x + 3)2+y2 的最小值为 10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生 产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是 400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A, B原料都不

9、超过12千克.通过合理安 排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少 + 2><12 ,2v + y< 12 ,解 设每天分别生产甲产品X桶，乙产品y桶，相应的利润为z元,于是有<z二xO,yO,300.v + 400.v ,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300a + 400v = 0 ,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(4.4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z二300.V + 400)、取得最大值，最大嚴乙二 300X4 + 400X4 二 2 800 ,即该公司可获得的最大利润是2 800元.反思与感悟

10、线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线)求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整,以确定最优解跟踪训练3预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌子、椅子0买多少才行解 设桌子、椅子分别买X张、y把，目标函数z = A- + y ,把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为5O.r + 20y = 2 000 , 由丿二x = 25 r75所以A点的坐标为|弓，葺岁50.v + 20v = 2 000 ,由解得丿

11、二r所以B点的坐标为（25号）所以满足条件的可行域是以A罗，翠,B（25 , yl ,0（0.0）为顶点的三角形区域（如图）由图形可知，目标函数2 “十y在可行域内的最优解为B（25 , y j ,但注意到xWN，yWN，x = 25 .故取y = 37.J故买桌子25张,椅子37把是最好的选择.卜+y3W0,1. 若直线y=2、上存在点（x, y）满足约束条件x-2y-3W0, 则实数加的最大值为（）A一 1B1D23x-lly$ 22,2x+3yM9,2. 某公司招收男职员x爼，女职员x和y需满足约束条件彳：则z =10x+2&11,.yGN yGN10y的最大值是（）A. 80

12、B 85C. 90 D 95yW 1 >则z=/+F的最小值为3 已知实数x, y满足rWl,一、选择题1. 若点（x, y）位于曲线y=Ld与y=2所围成的封闭区域，则2ay的最小值为（）A 一6 B. 一2 C 0 D 21,2. 设变量x, y满足约束条件L+y4£0,则目标函数z=3x-y的最大值为（）lr-3y+4£0,A一4 B0D4心1,v 13. 实数x, y满足心0，则的取值范围是（）丸一&0,A. 一 1,0 B. (一8, 0C. 一 1, +oo)D. 一1,1)IXy0> x+y - 2W0,的整点（x, y）（整点是指横、纵坐

13、标都是整数的点）恰有9个，则整数“的值为()A. 3 B2 C1 D 01,5.已知x, y满足*+応4,目标函数z=2x+y的最大值为7,最小值为1,则b, c的值分别为（）A 一 1,4C一2, -1B一1, 3D 一1, -26.已知x, y满足约朿条件“一），+5豪0, 使z=x+q（“>0）取得最小值的最优解有无数个，则“ 的值为（）C. 1D1A. 一 3 B. 3二、填空题bW2,7. 若x, y满足约朿条件応2,则z=x+2y的取值范围是.x+y22,8. 已知一且2£x-W3,则z=2x-3y的取值范围是(答案用区间表示).9. 已知平而直角坐标系xOy上的区

14、域D由不等式组S给定.若M(x, y)为D上的动IxW 返y点，点A的坐标为(返，1),则z=QJ/页的最大值为10. 满足Lvl + lvl<2的点(x,刃中整点(横纵坐标都是整数)有个.x-y+220,11. 设实数x, y满足不等式组H-y5W0,则z=Lt+2y-4l的最大值为.x+y420,三、解答题x_4応 _3,12. 已知x, y满足约束条件*x+5W25,目标函数z=2x-y,求z的最大值和最小值.1 ,jx+y 1120,13. 设不等式组< 3x-y+320,表示的平面区域为。若指数函数y=/的图象上存在区域D上的.5x-3y+9W0点，求"的取值范

15、围.14. 某家具厂有方木料90m五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要 方木料mU五合板2 nF,生产每个书橱需要方木料m3,五合板1 m?,岀售一张方桌可获利润80 元，岀售一个书橱可获利润120元.(1) 如果只安排生产书桌，可获利润多少(2) 如果只安排生产书橱，可获利润多少(3) 怎样安排生产可使所得利润最大当堂检测答案1.答案B解析如图， 当y二2v经过且只经过x + y - 3 = 0和a二m的交点时,m取到最大值f此时，即伽加)在直线x + y -3 二 0 上，则 w = l.2.答案C 解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由于x ,

16、 yGN* ,计算区域内与(¥ ,刘最 近的点为(5,4),故当z5 , y二4时，z取得最大值为90.3 .答案*解析实数x , $满足的可行域如图中阴影部分所示,则:的最小值为原点到直线的距离的平方， 故亦11二(迈课时精练答案一、选择题1. 答案A解析 画出可行域，如图所示，解得A(- 2,2),设z =,把 z 二变形为 y 二2x-z ,则直线经过点A时z取得最小值；所以 Zmin = 2X( - 2) - 2= - 6 ,故选 A.2. 答案D解析作出可行域，如图所示.X + V - 4 = 0,X = 2,联立'解得x 3y 十 4 二 0 ,y = 2当目标函

17、数z二3a - y移到(22)时,z = 3a- - y有最大值4.3. 答案D解析作出可行域，如图所示，V - 1丁的几何意义是点(X ,刃与点(0)连线I的斜率，当直线I过B(l,0)时A最小f最小为1.又直线I不能与直线.Y-y = 0平行,*.kt< 1.综上，圧-1,1).4. 答案C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当“二0时，只有4个整点(1,1), (0.0) , (1.0), (2Q) 当“二 1 时,正好增加( 1 , - 1), (0r -1),(1 , - 1) , (2 , - 1) # (3 z - 1)5 个整点故选 c.5. 答案D解析 由题意

18、知，直线十c二0经过直线加十)=7与直线x十y二4的交点，且经过直线2x + y二1和直线x二1的交点,即经过点(3,1)和I点(1 , - 1),3 + /? + c = 0 ,b- - 1 ,V解得1 - b + c = O , 上二-2.6. 答案D解析 如图，作出可行域，作直线l：x + ay = O.要使目标函数 ©(“>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将/向右上方平移后与直线x + y二5重合，故“二1 ,选D.二、填空题7. 答案2,6解析如图，作出可行域，作直线I ： x + 2y = 0 ,将/向右上方平移，过点A(2.0)时，有最/J值2 ,过点B(2,

19、2)时，有最大值6 ,故z的取值范围为【26 8. 答案3,8解析作出不等式组-1 Wx + yW4 ,<表示的可行域，如图中阴影部分所示2Wx - yW3在可行域內平移直线加_ 3，二0 ”当直线经过工-y二2与x + y二4的交点A(3.1 )时，目标函数有最/J值znUn = 2X3 -3X1=3；当直线经过“y二-1与x-)u3的交点B(1 , -2)时，目标函数有最大值znm二2X1+3X2二&所以©3,8.9. 答案4解析由线性约束条件00* ,)W2 ,画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z二商页二返x + y ,将其化为 严-xW姻迄十,结合图形可知，

20、目标函数的图象过点(迈，2)时，z最大，将点(也，2)代入z = x + y ,得 z的最大值为4.10. 答案13解析1x1十lylW2可化为作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个.11. 答案21解析 作出可行域(如图)，即8BC所围区域(包括边界)，具顶点为A(1.3) , B(7.9) , C(3,l)方法一可行域内的点都在直线a- + 2y - 4 = 0上方，Ax + 2y - 4 > 0 r则目标函数等价于z = x + 2y - 4 ,易得当直线乙二x + 2y- 4在点B(7.9)处，目标函数取得最大值zmax = 21.k + 2y-4l 厂

21、方法二 z = Lv + 2y - 41 =书5 t令Pg刃为可行域内一动点,走直线x + 2y-4 = 0,则z = y/5d ,其中d为P(x ,刃到直线.v + 2y-4 = 0的距离.由图可知，区域内的点B与直线的距离最大,17 + 2X9-41 故d的最大值为一击一21故目标函数Zmax =三、解答题12解Z二2,)、可化为y二2, Z ,辽的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数f故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最和最大截距的时候作一组与/<)： 2, y二0平行的直线系I t经上下平移，可得：当/移动到1 ,即经过点A(5,2)时r znux = 2X5 -2 = 8.