第2讲共顶点模型解析版

1、- 15 -中考数学几何模型2:共顶点模型拨开云雾开门见山名师点睛共顶点模型，亦称 手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：(1 )寻找公共的顶点(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边(3 )将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形*常见结论:连接BD、AE交于点F,连接CF,则有以下结论(1) BCD ACE(2)AE BD(3)AFBDFE(4)FC平分BFE典题探究 启迪思维探究重点例题1.以点A为顶点作等腰 Rt AA

2、BC，等腰RtAADE，其中/ BAC = Z DAE = 90°如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接 BD、CE.(1) 试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；(2) 延长BD交CE于点F试求Z BFC的度数；(3)把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、( 2)中的结论是否仍成立？请说明理由.【解答】解：(1)CE= BD，理由如下：等腰 Rt AABC，等腰 Rt AADE , AE= AD, AC = AB,在AEAC与ADAB中，居ADZEAC=ZDAB-90* ,ac=ab EACA DAB (SAS), CE= BD;(2) TA EACBA DAB ,/ EC

3、A= / DBA ,/ ECA+ / CBF = Z DBA + Z CBF = 45°/ ECA+ Z CBF + Z DCB = 45°+45° = 90° Z BFC = 180° - 90°= 90°(3) 成立，等腰 Rt AABC，等腰 Rt AADE , AE= AD, AC = AB,在AEAC与ADAB中，rAE=ADac=ab a EACBA DAB (SAS), CE= BD;EACBA DAB , Z ECA= Z DBA , Z ECA+ Z CBF = Z DBA + Z CBF = 45

4、6; Z ECA+ Z CBF + Z DCB = 45°45° = 90° Z BFC = 180° - 90°= 90°变式练习>>>1. 已知：如图， AABC 和 ADCE都是等腰直角三角形，Z ACB= Z DCE = 90 °(1) 求证：BD = AE .(2 )若/ ABD = Z DAE, AB = 8, AD = 6,求四边形 ABED 的面积.Z ACB = Z DCE = 90°/ ACB= / DCE = 90°/ ACB+ / ACD = / DCE+ / A

5、CD，即 / BCD = / ACE . rBC=AC在 ABCD 和KCE 中，,lcD=CE BCDACE ( SAS), BD = AE;(2) 由(1)得:ABCDBA ACE ,/ CBD = / CAE,/ CBP+ / BPC = 90° / BPC = Z APD ,/ EAC+ Z APD = 90° Z AHB = 90° Z BAH+ Z ABD = 90°vZ DAE = Z ABD, Z BAH+ Z DAE = 90° ,即 Z BAD = 90°/ AB= 8, AD = 6,BD = AE= 10,-

6、S四边形ABED = 10X10 吃=50.例题2.如图，等边 AABC，等边AADE，等边ADBF分别有公共顶点 A , D，且AADE , ADBF都在ADB内，求证：CD与EF互相平分. BD =由hE AiCF.所出四边a彫DECF平廿四边影.帥CD与EF互相平分.变式练习>>>PCD ,2. 已如图，已知等边三角形 ABC，在AB上取点D，在AC上取点E,使得AD = AE，作等边三角形 QAE和RAB,求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点. ABC 和 APCD都为等边三角形， AC= BC, DC = PC, / ACB = Z DCP = 60°/

7、 ACB - Z DCB = Z DCP - Z DCB ,即卩 Z ACD = Z BCP, ACD BCP ( SAS), AD = BP,又 Z RAB+Z BAC+ Z QAE= 180° , R, A, Q三点共线，又 Z CBP= Z CAD = 60°, Z RBA+ Z ABC+ Z CBP= 180°,R , B , P三点共线，又 AQ = AE = AD = BP, RQ= RA+AQ= RB+BP = RP ,又 Z R= 60° PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点.P例题3.在等边ABC与等边ADCE中，B

8、, C , E三点共线，连接BD , AE交于点F连接CF.(1)如图 1,求证：BF=AF+FC , EF=DF+FC ;(2)如图2,若ABC , DCE为等腰直角三角形，ZACB= Z DCE=90° ,则(1)的结论是否成立？若不成立,写出正确结论并证明.卿I 略杯案L HF =.讣十占EP r 十FX I ( 1 Hu ffl lift/FCi R 也心車 于住+12)如用I氛打点C ft CK L F(理lift -也K ACFKt W AHCK aacBK 一 V 罠旳 i*F - ffK KF F t £ FT* 同叩 «f i* -"F

9、4-疗 F:向 ji? = in4同畀f»i阳 tr=rjF+i+Ff阳】闍2例题4.【问题探究】(1)如图已知锐角ABC ,分别以AB、AC为腰，在ABC的外部作等腰 RtAABD 和RtACE ,连接CD、BE ,试猜想 CD、BE的大小关系 CD = BE ;(不必证明)【深入探究】（2）如图ABC、ADE都是等腰直角三角形，点 D在边BC上（不与B、C重合），连接EC,则线段BC, DC, EC之间满足的等量关系式为BC= CE+CD ;（不必证明）线段AD2, BD2, CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图，在四边形 ABCD中，/ ABC =

10、Z ACB = Z ADC = 45°若BD = 9, CD = 3，求AD的长. AB= AD, AE = AC,且 Z DAB = Z EAC = 90° Z DAB+ Z BAC = Z EAC+Z BAC,即卩 Z BAE = Z DAC ,在ADAC和BAE中，rAD=AB 2砧 gBAE,tAC=AE DACBA BAE (SAS), CD = BE,故答案为：CD = BE.(2) ABC、ADE都是等腰直角三角形， AB= AC, AD = AE, Z BAC = Z DAE = 90° Z BAD+ Z DAC = Z CAE+ Z DAC ,即

11、 Z BAD = Z CAE,在ABAD和CAE中，tAD=AE BAD CAE (SAS), CE= BD, Z ACE = Z B = 45°又 BC = BD+CD , Z ACE= 45° BC= CE+CD , Z DCE = 90° CD2+CE2= DE2 ,/ BD = CE , DE = TAD , CD2+BD2= 2AD2.故答案为：BC= CE+CD .(3)作討E丄Q, .4E=AD?连接 CE. DE/ U 吓 ZCW 二 ZDALKJAD,即- ZC.4F,在MAD与CiE圧卜&氓C ZBAD=ZCAE.(AD-AESAS)f

12、!.£DCZr.ADC-45a , £ED4 二右 f丄厶QU二财二 a *2AD-A£ - D£= 6.2【解答】解：（1） ABD和ACE是等腰直角三角形,例题5.如图1 ,在ABC中，BC = 4,以线段AB为边作ABD ,使得AD = BD ,连接DC,再以DC为边作CDE ,使得 DC = DE , Z CDE = Z ADB = a(1) 如图2,当/ ABC = 45°且 a 90°时，用等式表示线段 AD , DE之间的数量关系;(2) 将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段 EF，连接BF，AF . 若a= 90

13、°依题意补全图3,求线段AF的长； 请直接写出线段 AF的长(用含a的式子表EAE,解：(1) AD+DE = 4,(DE=ECrAD=BDZADEZBDC,示).【解答】理由是：如图1, Z ADB = Z EDC = Z a= 90° AD+DE = BC = 4;(2)补全图形，如图2,设DE与BC相交于点H，连接 交BC于点G, Z ADB = Z CDE = 90° Z ADE = Z BDC, 在ADE与BDC中，AD = BD, DC = DE ,ADE BDC, AE= BC, / AED = Z BCD . DE与BC相交于点H ,Z GHE =

14、 Z DHC ,Z EGH = Z EDC = 90°, 线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段 EF,EF = CB= 4, EF / CB,AE= EF,CB / EF,Z AEF = Z EGH = 90°AE= EF, Z AEF = 90°Z AFE = 45°AF =砸；cos45如圍h过E侄于M, 丁 由知：Z.AEM=盘如FM、2:.AF= 2FAf=£F X sin= Ssini ,2 2领悟提升强化落实达标检测1.如图，在等边 ABC与等边ADCE中，B , C , E三点共线，BD交AC于点G , AE交DC于点H ,连

15、接 GH.求证：GH / BE.AA-4CWk2AiJCG< ASAr. sf CG- CH.所UACC/f为等边三冷托，閘2.如图，在正方形ABCD内取一点E,连接AE , BE，在ABE外分别以AE , BE为边作正方形AEMN 和EBFG，连接 NC , AF，求证：NC / AF.C1"If ft ND, CF.由 “CBF 幻必 ££ 百:博 Z：片 UW -ZCBFf>/D=HF月瓦=FG 所 W Z W* = ZFBA,从雨?. WgJSBA 圻 U NC=Af所以的边形NCFA是平打四迪影.3.如图，在等腰 RtAABC与等腰 RtAD

16、CE中，/ ABC= / DCE=90°，连接 AD , BE，求证:AB 2+DE2=AD 2+BE2.tJ> J J 如压.逢废沖E.HDSJ于点F.I1 AE丄削j书可 腔定抨可碍 AH1, * Dr -(AF + 忖尸 l + fDF-EFJJD + HP - <+ DD + < /JF + EF ), I# U 4却 + DE=Air 4 er.4.如图，在 AABC 中，AB=AC=10 ,连接AD，求AD的长./ BAC=45°，以 BC 为腰在 AABC 外部作等腰 Rt ABCD，/ BCD=90° ,7. 103.喘'

17、1 ii戌r岸CE丄赴C捷得E十AC,AE.II匚刚二.1门比厶M E,序以 Ht-AD.5.【发现问题】如图1，已知AABC，以点A为直角顶点、AB为腰向AABC外作等腰直角 AABE .请你以A为直角顶点、AC为腰，向AABC外作等腰直角AACD （不写作法，保留作图痕迹）.连接BD、CE .那值.解：延长CA到M，作/ MAC的平分线 AN,在AN上截取AD = AC,连接CD，即可得到等腰直角 AACD ;31BD与CE的数量关系是 BD = CE .【拓展探究】如图 2,已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形 AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE, 试判断BD与CE之间的数量关

18、系，并说明理由.【解决问题】如图 3,有一个四边形场地 ABCD , / ADC = 60° BC = 15, AB = 8, AD = CD，求BD的最大连接BD、CE,如图1所示： ABE与AACD都是等腰直角三角形， AB= AE, AD = AC, / BAE = Z CAD = 90°/ BAD = Z EAC,在 ABAD 和 AEAC 中， ZBADZ EAC ,Iad=ac BAD BA EAC (SAS), BD = CE,故答案为：BD = CE;【拓展探究】解：BD = CE;理由如下：四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形， AB= AE, AD

19、= AC, Z BAE = Z CAD = 90° Z BAD = Z EAC,Cab=ae在 ABAD 和 AEAC 中，EAC ,Iad=ac BAD BA EAC (SAS), BD = CE;【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形 ABE，连接CE，如图3所示:则 Z BAE = 60° BE = AB= AE = 8,/ AD = CD, Z ADC = 60° ACD是等边三角形， Z CAD = 60° , AC = AD , Z CAD+ Z BAC = Z BAE+Z BAC , 即 Z BAD = Z EAC ,rAB=A

20、3;在 ABAD 和 AEAC 中，* ZBAD二WEAC，lAD=AC BAD BA EAC (SAS), BD = CE;当C、B、E三点共线时， CE最大=BC+BE = 15+8= 23, BD的最大值为23.6.已知线段AB丄直线l于点B，点D在直线I上，分别以AB、AD为边作等边三角形 ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线I于点F .(1) 当点F在线段BD上时，如图，求证：DF = CE - CF;(2) 当点F在线段BD的延长线上时，如图 ；当点F在线段DB的延长线上时，如图 ，请分别写出 线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图 、图中选一个进行证明；(3) 在(1 )、(2)的条件下，若 BD = 2BF, EF = 6，则 CF = 2 或 6 .【解答】(1)证明：如图中，设AD交EF于O. ABC, AADE都是等边三角形， AB= A