空间解析几何一般二次曲线与二次曲面

1、佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔第四章一般二次曲线与二次曲面这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程 化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。其次用不变量对 二次曲线与二次曲面进行分类。§ 4.1直角坐标变换平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。因此下面先分 别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。4.1.1平面直角坐标平移设Oxy和Oxy是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P在坐标系Oxy中的坐标（x, y）和在

2、坐标系Oxy中的坐标（x , y ）有什么联系呢?设0在Oxy中的坐标为（Xo,y。），从点P向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出:x x x0（4.1.1）y y yo这就是将原点O平移到O（Xo,y。）的坐标变换，其中（x,y）和（x,y）分别是平面上同一点P在旧坐标系Oxy和新坐标系Oxy中的坐标。这种坐标变换叫做 平移。如果用旧坐标表示 新坐标，那么有xx x0（4.1.2） yy yo（4.1.1 ）和（4.1.2）都是平移公式。例1用平移化简x2 2x 4y 90 ,并画出它的图形。j4i卜彳Myy'x'NXyo*xO1xo1Txxx图 4-1-113将原点

3、0移到0 （1,2），即作平移:那么，在新坐标系 Oxy中，方程简化成4y。这是一条开口向上，焦参数为抛物线，如图4-1-2。4.1.2平面直角坐标旋转设坐标原点0不动，将坐标系的两条轴同时绕原点旋转一个角度得到一个新的坐标系Oxy （图4-1-3），那么平面上任意一点 P的新、旧坐标之间的关系又如何呢?如图1.3所示，有x OM |OP|cos MOP |OP|cos( ) y MP |OP|sin MOP |OP|sin( )利用两角和的三角展开式，我们有x | OP |cos cos |OP |cos siny | OP|cos sin |OP |sin cos但 x OM | OP |

4、cosy M P |OP|sin，以此代入上面两个展开式中，即得x x cosy siny x sin(4.1.3)y cos这就是转角为的坐标 旋转公式，其中（x, y）和（x,y ）分别是平面上同一点 P在旧坐标系Oxy和新坐标系Oxy中的坐标。如果用旧坐标表示新坐标，那么从（4.1.3）中解出x , y，则得到x xcos ysi n(4.1.4)yxsi nycos（4.1.3）和（4.1.4）都是旋转公式。例2把坐标系旋转45°，求曲线xy 8在新坐标系中的方程。解因为 sin 45 cos45这时旋转公式（4.1.3 )为I(Xy)y)22代入所给的方程即得J2.28，化

5、简后就是x y 16，这是一条等轴双曲线。4.1.3平面上的一般直角坐标变换我们现在来讨论一般坐标变换。设平面上有坐标系 Oxy，以平面另外一点 0为原点建立一个新的坐标系 Oxy，这个坐 标系坐标轴的方向与旧坐标系的方向成 角。那么这两个坐标系可以通过两步变换得到， 先将 坐标系Oxy的原点平移到 0得到一个坐标系 Oxy，再将这个坐标系旋转 角得到坐标系Oxy。假设0在旧坐标系 Oxy中的坐标为O （xo, yo），平面上任意一点P依次在Oxy、Oxy、Oxy 中的坐标为（x, y）、（x ,y ）、（x , y），那么有x x x0 y y yoxx cosy sinyx siny co

6、s从上面两组公式中消去 x , y，则得到x x cosy sinx0（4.1.5） y x siny cosy0如果要用旧坐标表示新坐标，从（4.1.5）中解出x, y，则得到x (x x0)cos(y y0)ysin(4.1.6) y (x x°)sin(y y°)cos例3将坐标系Oxy平移到点O （ 1,2），再旋转45°，写出新旧坐标之间的变换公式。解由（4.1.5）式，有x x cos45 y sin451y x sin 45 y cos45 22(xy） 1y） 2由(4.1.6 )有1 / 、 1 x . 2（x 刃，213y 2（x y）24.1

7、.4空间直角坐标变换1. 空间直角坐标平移x y z，那么空间中任意一点将空间中的一点 Ojxo, yo, Zo)为原点建立坐标系 。1新旧坐标系中的坐标 M (x, y, z)和M (x , y ,z )之间的关系为:xxX。yyyo（4.1.7）zzZo或xxXoyyyo（4.1.7）zzZo2. 空间直角坐标旋转在坐标系的原点，重新建立一个右手系的直角坐标架O x yz，那么空间中任意一点在新旧坐标系中的坐标 M(x,y,z)和M(x , y , z )之间的关系为：xtuxt12yt13yyt21Xt22yt23y（4.1.8）zt31xt32yt33y其中tnt12t13Tt21t2

8、2t23t31t32t33是正交矩阵，且detT 1。逆变换公式为:xtuxt21yt31yy心t22yt32yzt13xt23yt33y(4.1.8 )习题4.11. 在坐标系平移后，旧坐标系中的点P(2, 1)在新坐标系中的坐标为P( 2,1)，求新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标。2. 将坐标系Oxy旋转30°得到新坐标系 Oxy，求(1 )旧坐标系中的点 M(1,2)在新坐标系中的坐标；(2)新坐标系中的点 N(3, 2)在旧坐标系中的坐标。3. 椭圆的两焦点为 冃(2,5), F2(2, 1)，长半轴为5,求这椭圆的方程。4. 双曲线的两焦点为 Fd 2,3), F2( 2,

9、 7)，一个顶点为(2,1)，求它的方程。35. 抛物线的顶点为 A(2,1)，焦点为F(2,-)，求它的方程。46. 求双曲线16x2 9y232x 18y 1370的渐近线方程。§ 4.2二次曲线方程在坐标变换下系数的变化在中学学习的二次曲线方程是不含交叉项的二元二次方程a11x22a22 y2a13X2a23y a33F (x, y) aux22a12xy2a22y2a13 x2a23 ya330记：xa11a12a13Xy ,x(x, y,1),Aa21a22a23，1a31a32a33含有交叉项的二次曲线方程的一般形式为(4.2.1)这里ajaji； i, j 1,2,3;

10、i j，那么方程(4.2.1)可以利用矩阵运算的特征改写成a11a12a13x(x, y,1) a21a22a23ya31a32a3310，即 X AX 0(4.2.1 )本节我们讨论坐标变换对一般二元二次方程系数的变化规律。4.2.1 一般二次曲线方程在坐标平移下系数的变化将坐标平移公式（4.1.1）代入（421）Xo) 2a23( yyo) a33 02 2an(xXo)2a12(xx°)(yy°) a22(y yo)2a13(x展开整理得:a11x 2 2a12x y2a22y2( anxa12yo)x2( a12x0a22yo)y(a11xo 2a12xo yo2a

11、22 yo2a13xo2a23 yoa33 )（1）o并记展开整理后对应于（421 ）的方程为2 2a11x2a12x ya22y2a13x2a23ya33o (4.2.1 )与（1）式比较得:a11a11, a12a12 , a22a22a13ax。a12 y0a13(4.2.2)a23a12x0a22 y0a23a332a“ Xo2a12x0 y0a22 y02a13x02a23 y0a33这说明坐标平移不会改变二次项的系数。所以不能通过坐标平移消去二次曲线方程的交 叉项。利用二元函数的偏微分形式，（422）还可以表示成：a11a11 , a12a12 , a22a13a23a33?Fx(

12、Xo, yo)1Fy(xo, yo)F (xo, yo)(4.2.2 )显然，如果线性方程组a11xoa12 yoa13(4.2.3)a12xoa22 yoa23有唯一解（xo, yo），将原点移到（xo, yo），可以使方程不含一次项。这时，二次曲线有唯一的对称中心。利用线性方程组的知识，我们知道方程组（423 ）有唯一解的充要条件是系数行列式311a212c,、12a11a22a120（ 4.2.4）a12a22因此（4.2.4）是判断一个二次曲线方程是否有对称中心的判别条件。 下面我们来证明这个事实。设二次曲线（4.2.1）上任意一点为M （x, y），那么 M关于点（x0, y0）的对

13、称点为MM2xo x,2yo y)，于是F(2x0 x,2y0 y)22 a11(2x0 x)2 2a12(2x0 x)(2y0 y) a22(2y0 y)2 2a13 ( 2 x 0 x) 2a23(2y0 y) a33 04a11x08a12 x0y04a22 y0 4a13x04a23 y0F(x,y) 4a13x 4a23y 4a11xx0 4a12x0y 4a12y0x 4a22y0 y(4 4x)(a11x04a12y0 a13) (4 4y)(a12x0 a22y0 a23) F (x,y)由于 M 在二次曲线（ 4.2.1）上，所以 F（x,y） 0，且由（ 4.2.3）知，F

14、（2x0 x,2y0 y） 02所以，当 a11a22 a12 0时，曲线（ 4.2.1）关于点 （x0, y0 ）对称。即二次曲线（ 4.2.1）是中心型曲线。 这种情形下的坐标平移变换（ 4.1.1）叫做 中心变换 。4.2.2一般二次曲线方程在坐标旋转下系数的变化4.1.3）代入（ 4.2.1 ）将坐标旋转公式（a11(x cos y sin )22a13 ( x cos y sin2a12(x cos) 2a23 ( x siny sin )(x sin y cos ) a3y cos )0a22 (x siny cos )2展开整理得：(a11 cos 2 (a11(a11 sin2

15、2(a13 cos2a12 sin cosa22 )sin cos2 a22 sin a12(cos2a12 sin cos a23 sin ）x 仍然记展开整理后对应于（4.2.1)2 a22 cos 2( a13 sin的方程为)x2sin2 )x y)y2a23 cos )ya33 02）a11x 22a12 xya22 y2a13 x2a23 y a33(4.2.1 )与（ 2）式比较得：a11a11 cos2a12 sincos a22a12(a11a22 )sin cosa12(cosa222 a11 sin2a12 sincos a22a13a13 cosa23 sina23a1

16、3 sina23 cosa33a332 sin 22 sin2cos4.2.5)这说明坐标旋转不会改变常数项，同时二次项系数的改变只与二次项系数有关，一次项 系数的改变只与一次项系数有关。利用三角变换， （ 4.2.3）可以改写成：an2(ana22)(ana22)cos 2asin 2a1212 (ana22)sin 2a12cos2a22J2(an1a22) 11a22)cos2a12 cos2a13a3 cosa23 sina23a13sina 23 cosa33a3311满足:(425 )显然，当旋转角cot 2ana 222a12("时，旋转后的新方程不含交叉项，所以只有通

17、过坐标旋转才能消去二次方程的交叉项。 利用二倍角公式（4.2.6）可以改写成：tan 2鱼 屯 tan 10(4.2.6 )a12的旋转变换（4.1.3），称为二次曲线的 主轴变换。在主轴变换下,旋转角满足（4.2.6） 新方程的二次项系数变成：anana12ta na12 cota22a120(4.2.7)a22ana12 cota12 tana22一次项系数满足:a13a23a3 cosa13sina23 sin(4.2.8)a?3 cos习题4.21. 判断下列二次曲线方程是否是中心型曲线，如果是，求出对称中心:(1)6xy2y 6x 2 y 10 ；(2)3x22xy23y 4x 4y

18、 40(3)4xy24y 2x 2y 102. 旋转角取多大时，可以消去下列方程的交叉项?(1)26xy 9y 12x14y70 ；(2)2xy y 2x 3y 30(3)5x223xy y 3x 2 y 504.3 二次曲线方程的化简4.3.1 中心型曲线的化简2通过 4.2.1 的学习，我们知道，当 a11a22 a122 0 时，二次曲线方程( 4.2.1)22F(x,y) a11x2a12 xy a22 y2a13 x 2a23 y a33 0是中心型曲线。对于中心型曲线，通过先平移后旋转的顺序要比先旋转后平移的顺序简单 些。具体步骤是：第一步，先解方程组a11x0 a12 y0 a1

19、34.2.3)a12x0 a22 y0 a23求出曲线的中心 (x0,y0)，第二步，将坐标原点平移到中心(x0, y0 )处，由于平移不会改变二次项的系数，因此得到一个不含一次项的二次曲线方程：22a11x2a12x y a22 ya33 0 (1)其中 a33 F(x0, y0) 。第三步，利用( 4.2.6)确定旋转角，消去( 1)式的交叉项，得到方程：2a11x2a22 ya33 02)其中 a11 a11 a12 tan， a22a11a12 cot， a33F(x0,y0)例 3 化简方程 5x2 4xy 2y224x 12y 18 0 ，并作出它的图形。解 由于 a11a22 a

20、1210 16 0 ，所以曲线是中心型曲线，先解方程组：5x 2y 12 02x 2y 6 0得中心坐标为 (2,1) ，作坐标平移： xx 2, y y 1此时 F(2,1) 20 8 2 48 12 18 12所以平移后的方程为： 5x 2 4x y 2y 2 12 0佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔其次，由于cot 22a1222ta n3tan0 ,解之得tan（tan2舍去），曰 于疋sin1占cos作坐标旋转：x2x y52y由于 3h3ha12 tan6 ， a?2a?2a2 tan所以化简后的方程为：6x（如图4-1-3。y42120。这是一个椭圆10154.3.2非中心

21、型曲线的化简2（4.2.3）没有唯一解，这时二次曲线是非中心型曲线。对当a“a22 a120时，方程组于非中心型曲线，化简的步骤就要先旋转、后平移才相对简单。具体步骤是：第一步：利用（1.2.6）确定旋转角，消去（421）式的交叉项，由于曲线是非中心型曲线，旋转后的新方程两个平方项不会同时出现。利用（4.2.6 ），选取适当的，使新方程不含y2 （或x2）得到方程:2an x2a3X 2a23 y a33 0 （或2a22 y2a13 x2a23 ya33 0 ） （ 3）其中3h3ha12 ta n，a22 a11312 COta3a3 cosa23 s in）,a23323 COSa13

22、s in。215第二步，对（3）式配方成为2an（xh）2a23（yk）0 （或 a22（yk）22a13（x h） 0）的形式，再作平移:x h, y就可以将方程（421 ）标准化为a11x2a23 y0 （或 a22y2a13X0 ）。佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔例4化简方程9x2 24xy216y20x 15y 500 ,并作出它的图形。解由于aii a22a129161220，所以曲线是非中心型曲线。利用（4.2.6)得:2424即12ta n27 ta n12 0解之得丄3tan(tan4舍去）43十日34于是sin,cos55作旋转4x 3yx3x ,y4y55代入9x2

23、24xy 16y220 x15y 500 得:29 4x 3y5244x 3y3x 4y 163x 4y5展开整理得:再作平移这是一条抛物线,2025x 2, y15± 仅 5005图形如图610习题84.3化简下列二次曲线方程，并作出其图像:2 21. x 4xy 4y 20x10y5002. 8x2 12xy 17y2 20.,5y 20 023. 6xy 8y 12x26y 1104. 40x2 36xy 25y2 8x 14y1025. 6xy 8y12x 26y 11 02 26. x 2xy y 8x 4 0§ 4.4二次曲线方程的不变量与半不变量对于二次曲线方

24、程（421）（ XAX 0），它完全由系数矩阵a21a31a32a33(ajaji； i, j 1,2,3; i17唯一确定。这个矩阵是对称矩阵。现用它的元素引进下列记号:I1a11a22 ,a11a21a12a22a11a12a13a21a22a23a31a23a33,1 3(441)a11a31a13a33a22a32容易验证，I3与J2还可以写成:a33 1 22a11 a232a22a132a12a13a232 2a33I 1a13a23(442)利用这些量构造一个方程:I1I 20( 4.4.3)这个方程叫做二次曲线的特征方程。4.4.1二次曲线的不变量对于给定的二次曲线方程（4.2

25、.1）,有时我们并不想通过繁琐的坐标变换来寻求其标准方 程，而是想知道它的图形形状。那么，能否直接根据方程的系数结构来进行判断与运算呢？ 为此我们先来看看二次曲线（4.2.1）在坐标变换下，那些性质得到保留（或不变）：首先，我们来观察在坐标平移下，|1, I 2, I 3的变化特点。由于坐标平移不会改变二次项系数，所以,I1和丨2都在坐标平移下保持不变，即它们是佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔平移不变量。其次，在坐标平移下，（421）的系数矩阵的行列式变成aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a333ailxoai2 y0ai3 , a23ai2X0 a22 y0a23， a3

26、3 F ( X0 , y0 )将行列式的第一列、第二列分别乘以x0、 y0后都加到第三列,由于 ai3X0 a23 y0F ( xo , y0 )a33，这时再将后面一个行列式的第aiiai2cli3丨3a2ia22C23a3ia32ai3 X0C23 y0 C33、第二行分别乘以Xo、y0加到第三行，aiiai2ai3I 3a2ia22a23I 3a3ia32a33ai3X0a23 y0那么从而丨3也是平移不变量。即I i, I 2, I 3都是坐标平移不变量。其次，再来看坐标旋转的情形。对于（4.2.5 ）aiii(aiia22)i(aiia22 )cos 2ai2sin 2Ci2i2(a

27、iia22)sin 2ai2cos2a22i(aiia22)*(aiia22 )cos 2ai2 sin 2将首尾两个等式相加，即得aiia22aiia22:，所以Ii是旋转不变量。同时i212ai2aiia2222aiia222aiia222aii a22cos222aiia222 ,cos 222sin2 2ai2sin22a12 sin 2a： sin2 2aiia222ai2aiia2222盹空aii a22一 cos2ai2 sin 22竺 sin 2 cos22 sin 2 cos2aiia222育sin22応丁池 COs22 2 、ai2 cos 2'于是 an a?22

28、ai2a： sin2 2a cos2 2aiia22aiia222ai22所以12aiia22ai212，即12也是旋转不变量。由此立即得到特征方程（4.4.3）的解也是坐标旋转变换不变量。这个方程的根叫做二次曲线（4.2.i ）的特征根。限于教学时限和篇幅，I3的旋转不变性这里就不证明了，留给读者自己证明。 又有平面上的一般坐标变换总可以分解成一个平移与一个旋转的复合，所以我们有: 定理4.4.i :二次曲线（4.2.i）的Ii, I2,I3和特征根都是坐标变换不变量。4.4.2二次曲线的半不变量对于J?，在一般情形下，它不是一个坐标变换不变量，但是在一定的前提下，这个量还是保持了坐标变换的

29、不变性。F面我们在l2130的条件下来讨论J2在坐标变换下的性质。首先，在主轴变换下，由（4.2.9）及a33, li的旋转不变性，得2 2a331 i ai3a23a33 1 ia3 cos2a23 sin2a 23 cosa3 sina33 1 iJ2所以J 2是主轴变换不变量。其次，当方程（4.2.i ）经过主轴变换后，得到2 2aiixa22y2ai3X2a23ya330 （4.2.i） 2（否则曲线是中心型， 那么有由于12 I30，所以方程（4.2.i）2的平方项不能同时出现I2 0的矛盾），不失一般性，不妨设 aii 0。由于I3 I3 0,所以213a22ai30ai30，即方

30、程(4.2.i)2 成为：此时J2a22a23a22a332a23方程（4.2.1）2可以配方成:2a?3 2a22(y)a222a22a33a23a22作坐标平移：xx , y y ，方程（4.2.1）2化成a22此时a22y2a330 ， a33a22a33a222a2300a22022 J2a22ai3a22a33a23J 20a330a33即 J2 J2所以，当丨2I30时，J?是上述平移变换的不变量,我们把所满足的这两种特殊的坐标变换下的不变性叫做半不变性。J 2叫做半不变量4.5用不变量确定二次曲线的标准方程同一条曲线在不同的坐标系中有不同的方程，对二次曲线来说，这表现为它们方程系

31、数 的不同。而这些不同的方程既然要表示同一条曲线，那么它们的系数就应该有某些共同特点， 也就是它们的系数应该有某些不因为坐标变换而改变的共同的东西。2 2 2 2 2由于 1 141 2 （ai1 a22 ）4（aiia22 ai2 ）（ai1 a22）4ai20 ，所以二次曲线（4.2.i）的特征方程（443）2 Ii I 2 0 一定有两个实数根。即定理4.5.i:二次曲线（4.2.i）的特征方程2I i I 20 （ 4.4.3）一定有两个实数根有了不变量及特征根做基础，我们就可以用来解决二次曲线（4.2.i）的标准方程用不变量表示的问题了。定理4.5.2二次曲线（4.2.i）的标准方程

32、通过适当的坐标变换后，其标准方程可以用不变 量给出如下：i ）当120时，曲线是中心型（椭圆或双曲线型）曲线，曲线方程是：佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔22I 3ix 2y 0（ 4.5.1）I 22 ）当|2 0, |30时，曲线是非退化的抛物线型，曲线方程是：Iiy 20（ 4.5.2），曲线方程是:3 ）当I2 I3 0时，曲线是退化的抛物线型（一对平行或重合的直线）023|°2 半 011（4.5.3）证明我们只需证明（ 和半不变量相同即可。4.5.1 ）、（ 4.5.2）、（4.5.3）在各自的前提条件下与4.2.1）的不变量1 ）当0时，由于2 I10的根，所以1

33、1,I12 I 1, I 2I22 ）当0,3 ）当I2I3I3I30时，显然有0时，显然有I1I3I3ITI3 II3I1I1I1I1I10I 1，I 21 1, 1 20J2I110例4不通过坐标变换，直接写出二次曲线 40x2 36xyI1I1I325y2I28x14y10的标准佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔方程，并判定曲线类型。解计算方程的不变量:29解特征方程：2 65所以曲线的标准方程是这是一个椭圆。丨1402565I24018676182540184丨3182576764716760，即(13)(52)0 得 113, 252。13x 252y 2126xy 8y 12

34、x 26 y110的标准方程,例5不通过坐标变换，直接写出二次曲线 并判定曲线类型。解计算方程的不变量：I,0 88036I3381381613 11解特征方程:90，即 卩（9)(1)0得 19, 2所以曲线的标准方程是2 2 9x y 9这是双曲线。0的标准方程，并判例6不通过坐标变换，直接写出二次曲线x2 2xy y2 8x 4定曲线类型。解计算方程的不变量：1 1I1 1 1 2，I2 1 1 0所以曲线的标准方程是y 22.2x 016这是抛物线。例7不通过坐标变换,直接写出二次曲线2xy2x2y 40的标准方程,并判定曲线类型。解计算方程的不变量:112，丨2所以曲线的标准方程是2

35、y20,丨310这是两条平行直线。利用不变量可以细致地判定二次曲线的类型,并且直接写出标准方程,参见表4-1。表4-1类型曲线名称不变量特征标准方程1)椭圆1 30，1 3 1 10椭圆型12 02)虚椭圆1 30 ,1 3 1 103)占八、丨302 2 1 3 n1X2y"j-01 2双曲型4)双曲线丨3012 05) 一对相交直线丨306)抛物线丨30'1y2 2 片 0抛物型7)一对平行直线1 30, J 2012 08)一对平行虚直线1 30, J 202 J 2hy I2 0119)一对重合直线1 30, J 20习题4.5利用不变量判定下列曲线的类型，并写出它的

36、标准方程:2 21) x 6xy y 6x 2y 102 22) 3x2xy y4x4y402 23) x4xy 3y2x2y02 24) x xy y x y 05) 9x26xyy26x2y02 26) 4x4xyy4x2y104.6*二次曲面的不变量与标准方程简介在第三章我们已经在比较特殊的坐标系中介绍了二次曲面的标准方程和曲面形状以及一 些主要几何性质。在这一节我们将简要介绍一般二次曲面方程在坐标变换下的不变量以及用 这些不变量来确定二次曲面的标准方程及其类别。一个三元二次方程总可以写成下面的形式：(461 )F(x,y,z) ax2 a22y2 a33z2 2ai?xy 2%xz 2

37、a23yz2a14x 2a24y 2a34z a440ana12a13a14x如果记Aa21a22a3a24当,ajaji 当i j 时，Xya31a32a33a34za41a42a43a441那么方程（4.6.1）可以用矩阵表示为F(x,y,z) X AZ 0(4.6.1 )4.6.1二次曲面的不变量记：1ana22a33,I 2a11a12a133a21a22a23a31a32a33ana12a21a 2214 det Aana31a13a33a22a 23a32 a 33(4.6.2)称打、I 2、I 3、I 4为二次曲面（461 ）的不变量。佛山科技学院自用教材教育科学学院王豫黔J 2J3ai1 ai4a22a24a42a44a41 a44a41a42a44a33a34a43a44a31a33a34a41a43a44a22a32a42a23a33a43a24a34a44(463 )称J2、J3为二次曲面（461 ）的半不变量。由I,、12、丨3确定的方程:Il 2I30(4.6.4)叫