高一数学复习提纲

1、高一数学知识与方法复习提纲集 合1、集合的三个特征：确定性、互异性、无序性2、集合的不同分类： 有限集与无限集 数集的分类：自然数包括零3、元素与集合的关系：与关系4、与、的区别5、集合的表示方法：列举法、描述法6、集合运算中一定要分清代表元素的含义：特别要区别数集与点集7、集合的区间表示8、集合对某种运算的封闭性：（1）封闭性：任取集合中两个元素，对某种运算的结果仍然属于该集合（2）不封闭性：（举反例）取其中两个特殊元素，对某种运算的结果不属于该集合数1、数的概念（1）偶数：可用（是整数）表示，正偶数俗称为“双数”。奇数：可用（是整数）表示，正奇数俗称为“单数”。（2）质数：亦称“素数”。一

2、个大于的正整数，只能被和本身整除，不能被其它正整数整除的。合数：一个正整数除了能被和本身整除以外，还能被另外的正整数整除。两个自然数互质，如果它们除了没有其它公约数，则称这两个自然数互质。（3）有理数：整数和分数的统称。可以用分数（其中、为整数且互质，且）表示。（整数可以表示成分母为1的分数）有限小数或无限循环小数也称为有理数，无限循环小数可以表示成分数的形式 无理数：无限不循环小数叫无理数。2、数的分类 整数还可以分为正整数（自然数）、零、负整数 3、有理数的三大特征（1）有理数的稠密性稠密性：任意两个相异的有理数之间，存在着无限多个有理数。（2）有理数的不连续性 任意两个有理点之间，存在无

3、数个无理点。任意两个无理点之间，存在无数个有理点。（3）有理数的可数性有理数和自然数个数“一样多”，有理数的这个特性，称为有理数的可数性，也称“可数的”。无理数就不具备可数性。4、无理数（1）无理数是客观存在，存在于有理数之间，无理数是稠密的，不连续，但不可列的，不可数的。（2）无理数的证明：反证法（3）无理数的数轴表示：借助直角三角形5、实数（1）是稠密的、连续的，但不可数的 （2）实数可以比较大小。方程1、方程：含有未知数的等式称为方程，必须保证每一步所得的方程与原方程同解2、方程类型（1）一元一次方程：标准式 当时，方程有唯一解 当且时，方程为，方程无解 当且时，方程为，方程有无穷多个解

4、（2）二元一次方程组： 方法： 代入消元法 加减消元法（3）一元二次方程 解法：因式分解、配方法 、公式法 韦达定理（根与系数的关系）前提： （4）含字母的一元二次方程：注意讨论（首项系数、判别式）（5）可化为一元二次方程的方程： 分式方程、无理方程等：换元转化为一元二次方程。分式方程、无理方程的根要检验，字母讨论的目的就是分清解的情况绝 对 值1、绝对值的意义（1）绝对值的定义： （2）绝对值的几何意义绝对值的几何意义：在数轴上，这个数所表示的点到原点的距离。， 几何意义是：在数轴上表示一个数的点到的距离。2、绝对值的主要性质：(1)(2) 对任何实数，有（3）(4) ，3、绝对值的应用（1

5、）含绝对值的代数式的化简：按绝对值的零点进行分类讨论（2）含字母的绝对值的分类讨论4、绝对值的方程的几种常见类型（1）型 （2）含有二个（或以上）绝对值的方程：按绝对值的零点进行分类讨论特别： 注：两边开方要带绝对值（3）含字母的绝对值方程：按绝对值的零点进行分类讨论多项式、根式1、因式分解： 提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法 形如：双十字相乘法2、多项式除法（1）步骤： 把被除式和除式按同一个字母的降幂排列（若缺项则用零补齐） 用竖式进行运算 当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式说明：分子、分母均按同一个字母的降幂排列，缺项补零 （2）被除

6、式为关于的多项式，除式 ，商式，余式，则（其中 次数低于 的次数）当 ，则称 整除 ，记 | （3）余数定理：关于的多项式 ，除以 所得的余数 因式定理：若 ，则 为 的一个因式 3、指数与根指数（1）如果 ，那么叫作的次方根，记为：（2） 时， 当为奇数时， 当为偶数时，（3） 根指数相同的根式叫做同次根式 根指数相同，根号内多项式相同的根式叫做同类根式 中与互质（）的根式叫做最简根式（4）指数定义的扩充二次函数（1）1、二次函数的基本表达形式（1）一般式：（2）顶点式：，其中为顶点坐标（3）交点式：，其中为的两根2、二次函数与一元二次方程之间关系：二次函数图象与轴交点的横坐标即为一元二次方

7、程的根3、二次函数 以直线为对称轴，则有对任意实数均成立。* 为的对称轴 4、二次函数的有关参数 （1）：决定开口的大小与方向（2）：确定对称轴的位置（3）：表示在轴上的截距，又是所对应的函数值（4）：确定图象与轴交点的个数（5） 其他（对应相应的函数值）：如，5、函数的图像与图象的关系平移：抛物线向左（）或向右（）平移个单位，得，再向上（）或向下（）平移个单位，得到6、韦达定理在二次函数中的应用（1）（2）（3）（4）（5）二次函数(2)1、求二次函数的最值必须先确定其定义域2、二次函数在区间上的最值问题 考虑对称轴与区间的位置关系并结合图形（注意端点的开闭），指出最值取到的条件3、含参数的

8、二次函数的最值问题（1）分类讨论：考虑对称轴与区间的位置关系并结合图形（2）二次函数在闭区间上一定存在最大与最小值，而且最值只能在三个位置上取到 * 若二次函数的开口不定，可以按三个位置上的最值情况进行分类讨论一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的基本解法：首项系数化正，计算并求根，结合图象写出解集2、一元二次不等式解集的端点即为方程的解，所以转化为方程问题3、一元二次不等式恒成立问题：结合图象及根的分布问题4、含参数不等式的解法：分类讨论（依次为：首项系数、两根的大小比较）一元二次方程根的分布1、一元二次方程 两根为（1）两个正根 （2）两个负根（3）一正一负（可以省略）2、两根与某些常数

9、之间的关系：数形结合（列出符合条件的所有图象） 依次考虑：开口、对称轴、判别式、区间端点函数值符号（注意是否取到等号） * 中判别式在以下几种情形可以省略： 存在，使得 存在，使得* 区间端点是否取到等号：可以通过检验的方法加以判断3、注意两个根与两个不同根的区别其他不等式的解法1、基本思想：把其他方程转化为简单不等式2、基本类型（1）分式不等式 基本形式： 一般解法：移项、通分、转化（强调分母不为零）（2）高次不等式利用数轴标根法求解，基本步骤如下： 首项系数化为正 求出方程的所有根 数轴标根法求解（从右上方开始画图）（3）无理不等式 偶次被开方数非负 去根号前先判别不等式两边是否非负：若是

10、，平方去根号；若不是，分类讨论（4）绝对值不等式 一般按零点分类讨论 以下几种特殊类型可以直接求解：或（5）注意用数形结合解不等式也是一种很有效的方法（两边函数图象比较简单）3、不等式解集的端点：或者是不等式有意义的区间端点或者是方程的解4、元素属于解集，则代入不等式成立；元素不属于解集，代入则不等式反号或不等式无意义5、不等式恒成立问题：可以转化为函数的最值或值域问题子 集1、子集反映的是集合与集合之间的关系 任取，则称是的子集2、真子集：任取，且存在3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（在子集讨论中要优先考虑，不要遗漏）4、真子集、子集个数：设原集合中元素个数为，则子集个数为，

11、真子集的个数为5、集合相等 （1）（元素较少）列举：两个集合元素完全相同（从已知元素入手）（2）（无限集）包含关系的证明：6、子集的其他表示形式：交集、并集、补集1、交集、并集、补集表示的是集合之间的运算2、集合之间的运算要注意代表元素的含义3、数集的运算：结合数轴4、补集的运算必须明确全集的含义5、两个转化公式：，6、文氏图与集合运算之间的互相表示 用集合表示文氏图中的阴影部分：写出阴影部分的元素与所有集合之间的属于关系，用交集表示7、集合元素的计数公式：（1）两个集合（2）三个集合命题1、命题：判断事件真假的语句，由条件与结论组成，分真命题与假命题2、真命题必须严格加以证明，假命题只需举出

12、反例3、命题的四种形式：具有相对性，有互逆、互否、互为逆否三种关系；只有互为逆否的两个命题具有同真同假性，其他关系视具体情况加以判断否命题中：（1）或与且（2）都是与不都是（3）一定与一定不（4）至少个与至多个（5）任意与存在4、等价命题：同真同假性；互为逆否的二个命题是等价命题，反之亦然5、反证法原理与一般应用：一般用于否定语句，或出现至少、至多的语句充分必要条件1、充分必要条件类型：（1）充分条件：条件成立结论成立，称条件是结论的充分条件（2）必要条件：结论成立条件成立，称条件是结论的必要条件（3）充要条件：条件成立结论成立，且结论成立条件成立，称条件是结论的充要条件（4）非充分非必要条件

13、：条件成立不能推出结论成立，结论成立不能推出条件成立称条件是结论的非充分非必要条件2、充分必要条件的两种表达形式：（1）* 是 * 的 * 条件（2）* 的 * 条件 是 *3、充分必要条件的判断（1）首先区别什么是条件，什么是结论；然后利用推出关系加以说明（2）如果条件与结论可以用集合表示，则利用子集与推出关系加以说明 条件对应集合，结论对应集合 若，则条件是结论的充分条件 若，则条件是结论的必要条件 若，则条件是结论的充要条件 若不是的子集，不是的子集，则条件是结论的非充分非必要条件4、充分必要性的证明：必须先给出充分必要性的区别，再加以证明（不具备充分必要性只要举出反例）5、充分必要性的

14、选项问题：按充要条件求解，利用子集关系加以区别（充分必要性的条件选项不是唯一的）6、否定性的命题充分必要性的判断：一般判别它的逆否命题的充分必要性更方便7、充分必要性的表达一定要合适，明确推出关系的表达要完整，不等式性质1、不等式比较大小的依据： 2、不等式的基本性质（1）（不等式的“传递性”）（2）（不等式的加法性质）（3）；（不等式的乘法性质）（4）（同向不等式的加法性质）（5）（6）（7）（8）3、利用不等式求变量范围时（1）利用同向不等式相加及不等式的“传递性”求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。（2）利用等量关系（换元）求变量范围4、同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘5、不等式比较大小必须指出等号取到的条件基本不等式1、基本不等式： 若、R，则2， 若、，则2、常用不等式： ； 若， 若，则或 若、，则 若、，则43、用基本不等式求最值时要关注变量的符号、