2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程

1、第 1 讲直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识梳理1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角(2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0(3)范围：直线 l 的倾斜角的范围是0，)2直线的斜率(1)直线 l 的倾斜角为2，则 l 的斜率 ktan_(2)两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1x2x13直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式yy0k(xx0)不能表示斜率不存在的直线斜截式ykxb两点式yy1y

2、2y1xx1x2x1不能表示平行于坐标轴的直线截距式xayb1不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式axbyc0(a，b 不同时为零)可以表示所有类型的直线常用结论1直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率(2)不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 ktan ，当0，2 时，越大，斜率 k 就越大，同样2，时也是如此，但当0，)且2时就不是了2识记几种特殊位置的直线方程(1)x 轴：y0.(2)y 轴：x0.(3)平行于 x 轴的直线：yb(b0)(4)平行于 y 轴的直线：xa(a0)(5)过原点且斜率存在的直线：ykx.二、教材衍化1经过点 p(2，3)，倾

3、斜角为 45的直线方程为_答案：xy502经过点 a(1，0)，b(2，2)两点的直线方程为_答案：2x3y203若过点 m(2，m)，n(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为_解析：由题意得m42m1，解得 m1.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点 p(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(x

4、x1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常见误区|(1)对倾斜角的取值范围不清楚；(2)忽略截距为 0 的情况1直线 x 3y10 的倾斜角是()a6b3c23d56解析：选 d由直线的方程得直线的斜率为 k33，设倾斜角为，则 tan 33，所以56.2过点 p(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_解析：当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x2y0；当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得 a5.所以直线方程为 xy50.答案：3x2y0 或 xy50考点一直线的倾斜角与斜率(基础型)复习指导|1.在平面直角坐标系中

5、，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式核心素养：数学抽象，数学运算(1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是()a0，)b0，4 34，c0，4d0，4 2，(2)直线 l 过点 p(1，0)，且与以 a(2，1)，b(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_【解析】 (1)设直线的倾斜角为， 则有 tan sin .因为 sin 1， 1， 所以1tan1，又0，)，所以 04或34，故选 b(2)如图，因为 kap10211，kbp3001 3，所以直线 l 的斜率 k(， 31，).【答案】(1

6、)b(2)(， 31，)【迁移探究 1】(变条件)若本例(1)的条件变为：直线 2xcos y30 6，3的倾斜角的变化范围为_解析：直线 2xcos y30 的斜率 k2cos .由于6，3 ，所以12cos 32，因此 k2cos 1， 3设直线的倾斜角为，则有 tan 1， 3由于0，)，所以4，3 ，即倾斜角的变化范围是4，3 .答案：4，3【迁移探究 2】(变条件)若将本例(2)中 p(1，0)改为 p(1，0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围解：因为 p(1，0)，a(2，1)，b(0， 3)，所以 kap102(1)13，kbp300(1) 3.由图可知，直线 l 斜率

7、的取值范围为13， 3.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤求出斜率 ktan 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据 ktan 求斜率；公式法：若已知直线上两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率1若点 a(4，3)，b(5，a)，c(6，5)三点共线，则 a 的值为_解析：因为 kac53641，kaba354a3.由于 a，b，c 三点共线，所以 a31，即 a4.答案：42 若直线 l 的斜率为 k， 倾斜角为

8、， 且6，4 23， 则 k 的取值范围是_解析：当6，4 时，ktan 33，1；当23，时，ktan 3，0)综上得 k 3，0)33，1.答案： 3，0)33，1考点二直线的方程(基础型)复习指导|根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系核心素养：数学运算(1)若直线过点 a(1，3)，且斜率是直线 y4x 的斜率的13，则该直线的方程为_(2)若直线经过点 a(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为_【解析】(1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k41343.又直线经过点 a

9、(1，3)，因此所求直线的方程为 y343(x1)，即 4x3y130.(2)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 ykx，将(5，2)代入 ykx中，得 k25，此时，直线方程为 y25x，即 2x5y0.当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x2aya1，将(5，2)代入所设方程，解得 a12，此时，直线方程为 x2y10.综上所述，所求直线的方程为 x2y10 或 2x5y0.【答案】(1)4x3y130(2)x2y10 或 2x5y0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，

10、则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在 x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在 x 轴、y 轴上的截距为 0 的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程注意(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为 0 时，可将直线方程设为 xmya；(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为 ykxa；(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为 ykx.1已知abc 的三个顶点坐标为 a(1，2)，b(3，6)，c(5，2)，m 为 ab 的中点，n 为ac 的中点，则中位线 m

11、n 所在直线的方程为()a2xy120b2xy120c2xy80d2xy80解析：选 c由题知 m(2，4)，n(3，2)，中位线 mn 所在直线的方程为y424x232，整理得 2xy80.2经过点 b(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为_解析：由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3，4)，由点斜式得 y4(x3)所求直线的方程为 xy10 或 xy70.答案：xy10 或 xy70考点三直线方程的综合应用(综合型)复习指导|求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值(一题多解)已知直线 l 过点 m

12、(2，1)，且分别与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于a，b 两点，o 为原点，当aob 面积最小时，求直线 l 的方程【解】 法一： 设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)， a21k，0， b(0， 12k)， saob12(12k)21k 124(4k)1k12(44)4，当且仅当4k1k，即 k12时，等号成立故直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y40.法二：设直线 l：xayb1，且 a0，b0，因为直线 l 过点 m(2，1)，所以2a1b1，则 12a1b22ab，故 ab8，故 saob的最小值为12ab1284，当且仅当2a1b12时取等号，此时 a4，b

13、2，故直线 l 为x4y21，即 x2y40.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，当|oa|ob|取最小值时，求直线 l 的方程解：由本例法二知，2a1b1，a0，b0，所以|oa|ob|ab(ab)2a1b3ab2ba32 2，当且仅当 a2 2，b1 2时等号成立，所以当|oa|ob|取最小值时，直线 l 的方程为 x 2y2 2.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程

14、，再结合函数的单调性或基本不等式求解已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y 轴相交于 a，b 两点，若动点 p(a，b)在线段 ab 上，则 ab 的最大值为_解析：直线方程可化为x2y1，故直线与 x 轴的交点为 a(2，0)，与 y 轴的交点为 b(0，1)，由动点 p(a，b)在线段 ab 上，可知 0b1，且 a2b2，从而 a22b，故 ab(22b)b2b22b2b12212，由于 0b1，故当 b12时，ab 取得最大值12.答案：12基础题组练1倾斜角为 120，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是()a 3xy10b 3xy 30c 3xy 30d 3xy 30解析：选 d由

15、于倾斜角为 120，故斜率 k 3.又直线过点(1，0)，所以方程为 y 3(x1)，即3xy 30.2直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足()aab0，bc0bab0，bc0cab0，bc0dab0，bc0解析：选 a由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为 yabxcb.易知ab0 且cb0，故 ab0，bc0.3 (多选)过点 a(1， 2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零， 则该直线方程可能为()axy10bxy30c2xy0dxy10解析：选 ac当直线过原点时，可得斜率为20102，故直线方程为 y2x，即

16、2xy0.当直线不过原点时，设直线方程为xaya1，代入点(1，2)，可得1a2a1，解得 a1，所以直线方程为 xy10，故所求直线方程为 2xy0 或 xy10.故选 ac4直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是()a2，2b(，22，)c2，0)(0，2d(，)解析：选 c令 x0，得 yb2，令 y0，得 xb，所以所求三角形的面积为12|b2|b|14b2，且 b0，14b21，所以 b24，所以 b 的取值范围是2，0)(0，25在等腰三角形 mon 中，momn，点 o(0，0)，m(1，3)，点 n 在 x 轴的负半轴上，则直线 mn

17、 的方程为()a3xy60b3xy60c3xy60d3xy60解析：选 c因为 momn，所以直线 mn 的斜率与直线 mo 的斜率互为相反数，所以 kmnkmo3，所以直线 mn 的方程为 y33(x1)，即 3xy60，选 c6已知三角形的三个顶点 a(5，0)，b(3，3)，c(0，2)，则 bc 边上中线所在的直线方程为_解析：bc 的中点坐标为32，12 ，所以 bc 边上中线所在直线方程为y0120 x5325，即 x13y50.答案：x13y507直线 l 过原点且平分abcd 的面积，若平行四边形的两个顶点为 b(1，4)，d(5，0)，则直线 l 的方程为_解析：直线 l 平

18、分abcd 的面积，则直线 l 过 bd 的中点(3，2)，则直线 l：y23x.答案：y23x8 设点a(1， 0)， b(1， 0)， 直线2xyb0与线段ab相交， 则b的取值范围是_解析：b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 a(1，0)和点 b(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值所以 b 的取值范围是2，2答案：2，29已知abc 的三个顶点分别为 a(3，0)，b(2，1)，c(2，3)，求：(1)bc 边所在直线的方程；(2)bc 边的垂直平分线 de 的方程解：(1)因为直线 bc 经过 b(2，1)和 c(2，3)两点，所以 bc 的方程

19、为y131x222，即 x2y40.(2)由(1)知，直线 bc 的斜率 k112，则直线 bc 的垂直平分线 de 的斜率 k22.因为 bc 边的垂直平分线 de 经过 bc 的中点(0，2)，所以所求直线方程为 y22(x0)，即 2xy20.10已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点 a(3，4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线 l 的方程为 yk(x3)4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是4k3，3k4，由已知，得(3k4)4k36，解得 k123或 k283.故直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120.

20、(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y16xb，它在 x 轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，所以 b1.所以直线 l 的方程为 x6y60 或 x6y60.综合题组练1直线 l 经过点 a(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()a1k15bk1 或 k12ck15或 k1dk12或 k1解析：选 d设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，令 y0，得直线 l 在 x轴上的截距为 12k，则312k3，解得 k12或 k1.2若直线 l：kxy24k0(kr)交 x 轴负半轴于点 a，交 y 轴正半轴于点 b，

21、则当aob 的面积取最小值时直线 l 的方程为()ax2y40bx2y80c2xy40d2xy80解析：选 b由 l 的方程，得 a24kk，0，b(0，24k)依题意得24kk0，24k0，解得 k0.因为 s12|oa| |ob|12|24kk|24k|12(24k)2k1216k4k1612(2816)16，当且仅当 16k4k，即 k12时等号成立此时 l 的方程为 x2y80.3.已知实数 x， y 满足 yx22x2(1x1)， 则y3x2的最大值为_，最小值为_解析： 如图， 作出 yx22x2(1x1)的图象(曲线段 ab)， 则y3x2表示定点 p(2，3)和曲线段 ab 上

22、任一点(x，y)的连线的斜率 k，连接 pa，pb，则 kpakkpb.易得 a(1，1)，b(1，5)，所以 kpa1(3)1(2)43，kpb5(3)1(2)8，所以43k8，故y3x2的最大值是 8，最小值是43.答案：8434已知直线 l：xmy 3m0 上存在点 m 满足与两点 a(1，0)，b(1，0)连线的斜率 kma与 kmb之积为 3，则实数 m 的取值范围是_解析：设 m(x，y)，由 kmakmb3，得yx1yx13，即 y23x23.联立xmy 3m0，y23x23，得1m23x22 3mx60.要使直线 l：xmy 3m0 上存在点 m 满足与两点 a(1，0)，b(1，0)连线的斜率kma与 kmb之积为 3，则2 3m2241m230，即 m216.所以实数 m 的取值范围是，66